高中數(shù)學(xué)：弧度制

1、1.1.角度制的定義角度制的定義規(guī)定周角的規(guī)定周角的1/3601/360為為1 1度的角，這種用度做單位來(lái)度量角的度的角，這種用度做單位來(lái)度量角的制度叫角度制制度叫角度制. .2 2、弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式、弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式180n Rlp=2360n RSp= 我們把用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角我們把用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制，在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常度制，在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到一種度量角的制度用到一種度量角的制度 在角度制下，當(dāng)把兩個(gè)帶著度、分、秒在角度制下，當(dāng)把兩個(gè)帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時(shí)，由于運(yùn)算進(jìn)率各單位的角相加、相減時(shí)，由于運(yùn)算

2、進(jìn)率非十進(jìn)制，總給我們帶來(lái)不少困難那么非十進(jìn)制，總給我們帶來(lái)不少困難那么我們能否重新選擇角單位，使在該單位制我們能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去做呢？法一樣去做呢？ 弧度制弧度制 ：?jiǎn)挝环?hào)單位符號(hào) ：rad讀作：讀作：弧度弧度 定義：定義： 我們把長(zhǎng)度等于我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的的弧所對(duì)的圓心角圓心角叫做叫做1弧度的角弧度的角，即用弧度制度量時(shí)，即用弧度制度量時(shí)，這樣的圓心角等于這樣的圓心角等于1rad。 AOB=1radoABrad1Ol =rroACrad2Orrl2= = AOC=2rad圓心角

3、圓心角AOBAOB的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于它所對(duì)的弧的長(zhǎng)與半徑長(zhǎng)的比它所對(duì)的弧的長(zhǎng)與半徑長(zhǎng)的比. .1弧度弧度Rl=ROAB1弧度弧度 rl=rOAB與半徑長(zhǎng)有關(guān)與半徑長(zhǎng)有關(guān)的一個(gè)比值的一個(gè)比值若圓心角若圓心角AOBAOB表示一個(gè)負(fù)角，且它所對(duì)的弧的長(zhǎng)為表示一個(gè)負(fù)角，且它所對(duì)的弧的長(zhǎng)為3r3r，則則AOBAOB的弧度數(shù)的絕對(duì)值是的弧度數(shù)的絕對(duì)值是lr=3，即即AOB=lr=3弧度弧度l=3rOABr-3弧度弧度 (1)正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零角的弧度數(shù)是0(2)角角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值的弧度數(shù)的絕對(duì)值 )(為

4、半徑為弧長(zhǎng)rlrl=（(4)用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但量數(shù)相同（都是但量數(shù)相同（都是0）(5)用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同單位不同，量數(shù)也不同。 (3)以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做 弧度制弧度制 lr= 則則AOB= 2弧度弧度此角為周角此角為周角 即為即為360360= 2 弧度弧度180= 弧度弧度l=2 rOA(B)r若若l=2 r，角度與弧度間的換算角度與弧度間的換算把角度換成弧度把角度換成弧度rad2360=rad180 = =r

5、adrad01745.01801=把弧度換成角度把弧度換成角度 185730.571801=rad角度與弧度間的換算角度與弧度間的換算例例1把下列各角化為弧度把下列各角化為弧度（1）30（2）5（3）-45角度制與弧度制互化時(shí)要抓住角度制與弧度制互化時(shí)要抓住弧度這個(gè)關(guān)鍵弧度這個(gè)關(guān)鍵=180例例2把下列把下列 各角化為度：各角化為度：rad65) 1 (）精確到1 . 0(2)2(rad特殊角的角度與弧度換算表：特殊角的角度與弧度換算表：643223345607654433253741162Oxy06432233456765443325374116注意幾點(diǎn)： 1度數(shù)與弧度數(shù)之間換算。2今后在具體

6、運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦3一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記住。 4.4.用弧度來(lái)度量角，實(shí)際上角用弧度來(lái)度量角，實(shí)際上角的集合與實(shí)數(shù)集的集合與實(shí)數(shù)集R R之間建立一之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：一對(duì)應(yīng)的關(guān)系： 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R 角的集合角的集合正角正角零角零角負(fù)角負(fù)角正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)零零負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)角的對(duì)應(yīng)角的弧度數(shù)弧度數(shù)弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”為單位度量角的制度，角度制為單位度量角的制度，角度制是以是以“度度”為單位度量角的制度；為單位度量角的制度； 的大小，而是圓的所對(duì)的圓心角的大小，而是圓的所對(duì)的圓心角136

7、011弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角的大?。坏拇笮?；不論是以不論是以“弧度弧度”還是以還是以“度度”為單位的角的大小都為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值終邊相同的角終邊相同的角（1）用角度表示）用角度表示（2）用弧度表示）用弧度表示ZkkS=,2|與與 終邊相同的角可以表示為：終邊相同的角可以表示為： Zkk，360Zkk，2它們構(gòu)成一個(gè)集合：它們構(gòu)成一個(gè)集合： ZkkS=,360|與與 終邊相同的角可以表示為：終邊相同的角可以表示為： 它們構(gòu)成一個(gè)集合：它們構(gòu)成一個(gè)集合： 把下列各角化成把下列各角化成的形式：的形式：k

8、k，202（1）；（）；（2）；（）；（3）316315711說(shuō)明：說(shuō)明：在用四則運(yùn)算表示角時(shí)，單位要統(tǒng)一，不能出在用四則運(yùn)算表示角時(shí)，單位要統(tǒng)一，不能出現(xiàn)例如現(xiàn)例如300+2k , ,或或 /2+k/2+k. .3603600 0等等錯(cuò)誤表示法錯(cuò)誤表示法！ 用弧度制表示用弧度制表示弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)及及扇形面積扇形面積公式：公式： 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積的絕對(duì)值與半徑的積. 弧長(zhǎng)公式：弧長(zhǎng)公式：= rl由公式：由公式：=rl= rl比公式比公式 簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單.180rnl= 扇形面積公式扇形面積公式 lRS21=其中其中l(wèi)是扇形弧長(zhǎng)，是扇形弧

9、長(zhǎng)，R是圓的半徑。是圓的半徑。證明：設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為證明：設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為n(rad)，則，則2213602nSRR=又又 R=l，所以，所以lRS21=例例4. 在半徑為在半徑為R的圓中，的圓中，240 的中心角所對(duì)的的中心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為 ，面積為，面積為2R2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度?；《?。解：（解：（1）240= ，根據(jù)，根據(jù)l=R，得，得4343lR=（2）根據(jù)）根據(jù)S= lR= R2，且，且S=2R2.2121所以所以 =4.例例5 5 已知扇形的周長(zhǎng)為10cm, 面積為4cm2,求扇形的圓心角.解: 設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為 , 弧長(zhǎng)為l,半徑為R,

10、(02 )分析:要求圓心角,根據(jù)公式 ,需求弧長(zhǎng)l及半徑R.|lR=根據(jù)題意:210 lR=14 2lR =由得 ,102lR=代入得2540RR=12解得 R =1,R =4當(dāng)R=1時(shí),l=8cm時(shí),82lR=當(dāng)R=4時(shí),l=2cm時(shí),12lR=舍去所求扇形的圓心角的弧度數(shù)為12已知扇形已知扇形OABOAB的圓心角為的圓心角為4 4，其面積，其面積2cm2cm2 2，求扇形的周長(zhǎng)和弦，求扇形的周長(zhǎng)和弦ABAB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 1 1、已知扇形周長(zhǎng)為、已知扇形周長(zhǎng)為6cm6cm，面積為，面積為2cm2cm2 2，則扇形，則扇形圓心角的弧度數(shù)為圓心角的弧度數(shù)為 A A、1 B1 B、4 C4 C、1

11、 1或或4 D4 D、2 2或或4 4C 2 2、當(dāng)圓心角、當(dāng)圓心角=-216=-216o o，弧長(zhǎng)，弧長(zhǎng)l l =7cm=7cm時(shí)，其半徑時(shí)，其半徑r=_r=_35cm6 3 3、在半徑為、在半徑為 的圓中，圓心角為周角的的圓中，圓心角為周角的 的角的角所對(duì)圓弧的長(zhǎng)為所對(duì)圓弧的長(zhǎng)為_30 2340 4 4、若、若2 rad2 rad的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是4cm4cm，則這個(gè)，則這個(gè)圓心角所在扇形的面積為圓心角所在扇形的面積為_4cm28.8.已知扇形的周長(zhǎng)為已知扇形的周長(zhǎng)為20 cm20 cm，當(dāng)扇形的中心角，當(dāng)扇形的中心角為多大時(shí)，它有最大面積，最大面積是多少為多大時(shí)，它