第9節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室一.最大值和最小值定理二.介值定理高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室 , , 00 xfxfxfxf 都都有有使使得得若若上上有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè),0IxIxIxf . 最最小小值值最最大大值值 上上的的在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱Ixfxf0最值：最值： 最大值和最小值定理高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室設(shè) f (x) C ( a, b ), 則 (i) f (x) 在 a, b 上為以下四種單調(diào)函數(shù)時 aObxyaObxyOab xyO

2、abxy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max,bfxfbax, )()(min,afxfbax， )()(max,afxfbax. )()(min,bfxfbax此時, 函數(shù) f (x) 恰好在 a, b 的 端點(diǎn) a 和 b 處取到最大值和最小值.則則高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室 (ii) y = f (x) 為一般的連續(xù)函數(shù)時,maxmax654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm,minmin654321,baaaaa

3、aabaxmmmmmmmmxya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O1am2am3am4am5am6am高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室(最大值和最小值定理)若 f (x) C ( a, b ) , 則它在該閉區(qū)間上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室 .,值值內(nèi)內(nèi)既既無無最最大大值值又又無無最最小小但但在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在babaxy 21110 311 xxxxxxfy , 12 0 x上上有有間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，在在.2 , 0大大值值又又無無最最小小值值上上既既

4、無無最最它它在在閉閉區(qū)區(qū)間間.定定有有最最大大值值或或最最小小值值則則函函數(shù)數(shù)在在該該區(qū)區(qū)間間上上不不一一,在定理中 閉區(qū)間的條件是很重要的.若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù) 或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，注注。.1122oxy例例高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室若 f (x)C( a, b ), 則 f (x) 在 a, b 上有界. xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O1am2am3am4am5am6am 看圖就知道如何證明了.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室 f (x) 在 a, b 上可取到它的最大值 M

5、 和 f (x)C ( a, b )故 m f (x) M , xa, b,| f (x) | M* , xa, b,令 M* = max |m|, | M| , 則即 f (x) 在 a, b 上有界.最小值 m ,證高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室二.介值定理axyy = f (x)f (a)bf (b)Of (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0, f ( )0.先看一個圖 描述一下這個現(xiàn)象高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室(根存在定理或零點(diǎn)定理)則至少存在一點(diǎn) (a, b), 使得 f ( )0.

6、設(shè) f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,axyy = f (x)f (a)bf (b)O高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室f (a) =Af (b) =Byy = f (x)Cy f ( ) = C下面看看, 坐標(biāo)平移會產(chǎn)生什么效果.xxxxOabxabxO如何描述這個現(xiàn)象?高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室(介值定理)設(shè) f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 則對于 A, B 之間的任意一個數(shù) C, 至少存在一點(diǎn) (a, b), 使得 f () =

7、C.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室令 (x) = f (x) C 故由根存在定理, 至少存在一點(diǎn) (a, b) 使 則 (x)C ( a, b ) C 在 A, B 之間 (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C )= ( A C ) ( B C ) 0yBCAOabbxx證 ( )= 0, 即 f ( ) = C .高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室最大、最小值定理介質(zhì)定理？ 引入設(shè) f (x) C ( a, b ), 則 f (x) 取得值 m 之間的任何一個值. 推論推論介于其在 a, b 上

8、的最大值 M 和最小高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室證證 ,1 , 0上上連連續(xù)續(xù)是是多多項項式式，在在閉閉區(qū)區(qū)間間xf . 021 , 010 ff且且 . 0,1 , 0 , f使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)由由介介值值定定理理知知 .1 , 001423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個個根根在在區(qū)區(qū)間間即即方方程程 xx .1 , 001423內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個個根根在在證證明明方方程程 xx例例 1423 xxxf設(shè)設(shè)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室證明方程 x5 3x =1, 在 x =1 與 x =2 之間令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,則 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 與 x =2 之間至少有一根.故 至少存在一個 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.例2證高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室.)()()()(21nxfxfxffn設(shè) f (x)C ( a, b ), 證明: 至少存在一點(diǎn) x1 , xn , 使得例1a x1 x2 xn 0, b 0 )