含參變量的反常積分

1、 含參變量的反常積分一致收斂的定義n形如 的積分，稱為含參變量 的反常積分n定義1、若對任意給定的 存在 （此 僅與 有關(guān)），當(dāng) 時，對一切 ，成立 就稱 關(guān)于 為一致收斂n定義2、設(shè) 對于 上的每一 值，有一個奇點(diǎn) ，又設(shè)對每一個 ，這個有奇點(diǎn)的反常積分存在，如果對于任意 ，存在與 上的 無關(guān)的 ，使當(dāng) 時 成立，就稱 關(guān)于 在 上一致收斂 adxyxf),(y0 ,dcy )( A 0,AAA aA )(0 AAAdxyxfdxyxf),(),(或 adxyxf),(,dcy badxyxf),(,dcybx y0 ,dcy)(0 )(,00 bbbbdxyxfdxyxf),(),(或 b

2、adxyxf),(y,dc二、一致收斂積分的判別法n魏爾斯特拉斯判別法 設(shè)有函數(shù) ，使 如果積分 收斂，那么 關(guān)于 在 上一致收斂 例1、證明 在 內(nèi)是一致收斂的。 )(xF,),(),(dycxaxFyxf adxxF)(y,dc adxyxf),(xdxexsin0 )0)(,00 三、一致收斂積分的性質(zhì)n1、連續(xù)性定理 設(shè) 在 上連續(xù)， 關(guān)于 在 上一致收斂 ，那么 是 在 上的連續(xù)函數(shù)n2、積分順序交換定理 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)， 關(guān)于 一致收斂，那么 在 上的積分可以在積分號下進(jìn)行 或者說，積分順序可交換。),(yxf,;,dca adxyxf),(y,dc adxyxfyI),()(

3、y,dc),(yxf,;,dca adxyxf),(,dcy adxyxfyI),()(,dc dcaadcdyyxfdxdxyxfdy,),(),(n定理3、積分號下求導(dǎo)的定理 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)， 存在， 關(guān)于 在上一致收斂，那么 的導(dǎo)數(shù)存在，且 或者說，求導(dǎo)和積分可交換。 例2、計(jì)算 之值 ),(yxf),(yxfy,;,dca adxyxf),( aydxyxf),(y adxyxfyI),()(dxyxfydxyxfdydaa),(),( )0(2cos)(022 ayxdxeyIxa阿貝爾判別法、狄立克雷判別法n1、阿貝爾判別法 設(shè) 關(guān)于 為一致收斂， 對 單調(diào)（即對每一個固定的

4、， 作為 的函數(shù)是單調(diào)的），并且關(guān)于 為一致有界，即存在數(shù) ，對所討論范圍內(nèi)的一切 ， 成立 那么積分 關(guān)于在上一致收斂。 adxyxgyxf),(),(,dcy ,dcy adxyxf),(),(yxgxy),(yxgxLxyLyxg ),(n2、狄立克雷判別法 設(shè)積分 對于 和 一致有界，即存在正數(shù) ，使對上述 ， 成立 又 關(guān)于 為單調(diào)，并且當(dāng) 時， 關(guān)于 上的 一致趨于零，即對任意給定的正數(shù) ，有 ，當(dāng) 時，對一切 成立 那么積分 關(guān)于在上一致收斂。 adxyxf),(aA KA x, dcy y adxyxgyxf),(),(KdxyxfAa ),(),(yxgx),(yxg, dc

5、y 0A0Ax , dcy ),(yxgn例3 例4、求狄立克雷積分內(nèi)一致連續(xù)在關(guān)于), 0sin0 dxxxexdxxxI 0sin五、歐拉積分， 函數(shù)和 函數(shù)它們依次稱為第一類和第二類歐拉積分1、 函數(shù)和 函數(shù)的連續(xù)性（1） 函數(shù)的連續(xù)性 對任何 ，常有 使 ；因?yàn)?而 收斂，所以 在 上一致收斂，從而 在 時連續(xù)B ,)1 (),(1011dxxxqpBqp ,)(01dxexsxs B B0, 0 qp00,qp0, 000 qqpp,)1 ()1 (111100 qpqpxxxxdxxxqp110100)1 ( ),(qpB);,00 qp),(qpB0, 0 qp(2)函數(shù)的連續(xù)性 在任 何 上一致收斂.事實(shí)上,對 ,而 收斂,所以 關(guān)于 在 上一致收斂 . 對 ,而 收斂 ,所以 關(guān)于 在 上一致收斂.因此 在 的范圍內(nèi)連續(xù),00Ss,)(01dxexsxs )0(00Ss ),()()(2111101sIsIdxexdxexsxsxs ,1110 xsxsexexI ,1010dxexxs 1I2I,00Ss,00SsssxSxsexexI 1120,dxexxS 110)(s 0 s2、 函數(shù)的遞推公式 )0(),() 1( ssss3、 函數(shù)的另一表達(dá)式（換元，令 即得。）B 201212sincos2),( dqpBqp 2cos x