第一課有限元基本理論及軟件介紹(西交大)

1、有限元方法及有限元方法及CAE軟件軟件 劉恒劉恒由NordriDesign提供XYZ課程安排西安交通大學(xué)研究生課程教學(xué)計(jì)劃進(jìn)度表西安交通大學(xué)研究生課程教學(xué)計(jì)劃進(jìn)度表課程代碼：課程代碼：012183 課程名稱(chēng)：有限元方法及課程名稱(chēng)：有限元方法及CAE軟件軟件 總學(xué)分：總學(xué)分：4 學(xué)時(shí)：學(xué)時(shí)：80 開(kāi)課季節(jié)：秋上開(kāi)課季節(jié)：秋上周次上課時(shí)間任課教師教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)上課地點(diǎn)教學(xué)形式備注(均晚19:00開(kāi)始,100臺(tái)機(jī))2周五晚上(9.16)劉恒教授有限元基本理論及軟件介紹3主樓B203室講課75%，討論25%周六(9.17)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)3周五晚上(9.23)劉恒教授ANSYS及其基本操作3主樓B203

2、室講課75%，討論25%周六(9.24)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)4周五晚上(9.30)耿海鵬講師ANSYS建模3主樓B203室講課75%，討論25%周六(10.8)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)6周五晚上(10.14)耿海鵬講師ANSYS求解3主樓B203室講課75%，討論25%周六(10.15)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)7周五晚上(10.21)耿海鵬講師動(dòng)力學(xué)分析13主樓B203室講課75%，討論25%周六(10.22)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)8周五晚上(10.28)耿海鵬講師動(dòng)力學(xué)分析22主樓B203室講課75%，討論25%周六(10.29)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)2學(xué)時(shí)9周五晚上(11.4)耿海鵬講師熱分析13主樓B203室講課75%，討論

3、25%周六(11.5)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)10周五晚上(11.11)耿海鵬講師熱分析22主樓B203室講課75%，討論25%周六(11.12)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)2學(xué)時(shí)11周五晚上(11.18)耿海鵬講師熱分析32主樓B203室講課75%，討論25%周六(11.19)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)2學(xué)時(shí)12周五晚上(11.25)耿海鵬講師ANSYS workbench3主樓B203室講課75%，討論25%周六(11.26)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)13周五晚上(12.2)孫巖樺副教授非線性有限元13主樓B203室講課75%，討論25%周六(12.3)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)14周五晚上(12.9)孫巖樺副教授非線性有限元23主樓B203室講課7

4、5%，討論25%周六(12.10)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)15周五晚上(12.16)孫巖樺副教授非線性有限元32主樓B203室講課75%，討論25%周一(12.12)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)2學(xué)時(shí)16周五晚上(12.23)孫巖樺副教授耦合場(chǎng)分析3主樓B203室講課75%，討論25%周四(12.22)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)3學(xué)時(shí)17周五晚上(12.30)孫巖樺副教授優(yōu)化分析2主樓B203室講課75%，討論25%周六(12.31)晚上機(jī)實(shí)驗(yàn)2學(xué)時(shí)考試安排平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)40%1次大作業(yè)次大作業(yè)閉卷考試占總成績(jī)閉卷考試占總成績(jī)60%1、填空；、填空；2、選擇；、選擇；3、問(wèn)答題、問(wèn)答題交流群：西安交大有限元交流群：西

5、安交大有限元2016群號(hào)：群號(hào)： 581365633參考書(shū)目先修課：先修課：材料力學(xué)、彈性力學(xué)、振動(dòng)力學(xué)、計(jì)算方法。參考書(shū)目：參考書(shū)目：R. D. 庫(kù)克，有限元分析的概念和應(yīng)用，程耿東等譯，北京：科學(xué)出版社，1989王勛成，邵敏，有限單元法基本原理和數(shù)值方法，北京：清華大學(xué)出版社，1995李人憲.有限元法基礎(chǔ). 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004，ISBN 7-118-03562-9/TB138美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS入門(mén)手冊(cè)，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS結(jié)構(gòu)分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS熱分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事

6、處，ANSYS動(dòng)力學(xué)分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS非線性分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS耦合場(chǎng)分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS高級(jí)分析技術(shù)指南，1998有限元網(wǎng)絡(luò)資源 http:/ - A website created to educate people in the latest engineering technologies, manufacturing techniques and software tools. Exellent FEM links, including links to all com

7、mercial providers of FEM software. http:/ - Extensive FEM links, categorized by analysis type (mechanical, fluids, electromagnetic, etc.) - Extensive collection of elementary and advanced material relating to the FEM. http:/www.engr.usask.ca/%7Emacphed/finite/fe_resources/fe_reso

8、urces.html - Lists many public domain and shareware programs. http:/sog1.me.qub.ac.uk/dermot/ferg/ferg.html#Finite - Home page of the the Finite Element Research Group at The Queens University of Belfast. Excellent set of FEM links. http:/ - Hundreds of links to useful and interesting CAE cited, inc

9、luding FEM, CAE, free software, and career information.http:/ - Extensive FEM links. / - National Agency for Finite Element Methods and Standards (NAFEMS).幾點(diǎn)建議作為大型有限元分析軟件，作為大型有限元分析軟件，ANSYSANSYS相當(dāng)難學(xué)相當(dāng)難學(xué): : 一、需要學(xué)習(xí)者有比較扎實(shí)的力學(xué)理論基礎(chǔ)，對(duì)一、需要學(xué)習(xí)者有比較扎實(shí)的力學(xué)理論基礎(chǔ)，對(duì)ANSYSANSYS分析結(jié)果分析結(jié)果能有個(gè)比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)和判斷，可

10、以說(shuō)，理論水平的高低在很大程度能有個(gè)比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)和判斷，可以說(shuō)，理論水平的高低在很大程度上決定了上決定了ANSYSANSYS使用水平；使用水平； 二、需要學(xué)習(xí)者不斷摸索出軟件的使用經(jīng)驗(yàn)不斷總結(jié)以提高解決二、需要學(xué)習(xí)者不斷摸索出軟件的使用經(jīng)驗(yàn)不斷總結(jié)以提高解決問(wèn)題的效率。問(wèn)題的效率。幾點(diǎn)建議：幾點(diǎn)建議：（1 1）將）將ANSYSANSYS的學(xué)習(xí)緊密與工程力學(xué)專(zhuān)業(yè)結(jié)合起來(lái)；的學(xué)習(xí)緊密與工程力學(xué)專(zhuān)業(yè)結(jié)合起來(lái)；（2 2）多問(wèn)多思考多積累經(jīng)驗(yàn)（一是要多問(wèn)但不要不懂就問(wèn)；二是要有）多問(wèn)多思考多積累經(jīng)驗(yàn)（一是要多問(wèn)但不要不懂就問(wèn)；二是要有耐心，不要郁悶，多思考；三是注意積累經(jīng)驗(yàn)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)）；耐心，不要

11、郁悶，多思考；三是注意積累經(jīng)驗(yàn)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)）；（3 3）練習(xí)使用）練習(xí)使用ANSYSANSYS最好直接找力學(xué)專(zhuān)業(yè)書(shū)后的習(xí)題來(lái)做（三點(diǎn)）；最好直接找力學(xué)專(zhuān)業(yè)書(shū)后的習(xí)題來(lái)做（三點(diǎn)）；（ 4 4 ）保持帶著問(wèn)題去看）保持帶著問(wèn)題去看ANSYSANSYS是怎樣處理相關(guān)問(wèn)題的良好習(xí)慣；是怎樣處理相關(guān)問(wèn)題的良好習(xí)慣；（ 5 5 ）熟悉）熟悉GUIGUI操作之后再來(lái)使用命令流。操作之后再來(lái)使用命令流。第一講 有限元方法概述引言偏微分方程偏微分方程的解有限元分析的實(shí)例有限元基礎(chǔ)知識(shí)有限元中數(shù)學(xué)原理各種有限元軟件引言各門(mén)力學(xué)學(xué)科分支間的關(guān)系中學(xué)力學(xué)中學(xué)力學(xué)對(duì)象；質(zhì)點(diǎn)對(duì)象；質(zhì)點(diǎn)特征；無(wú)變形特征；無(wú)變形 無(wú)形狀無(wú)

12、形狀變量：變量： 1 1）質(zhì)點(diǎn)描述質(zhì)心）質(zhì)點(diǎn)描述質(zhì)心 2 2）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述 3 3）力平衡描述）力平衡描述方程：方程： 質(zhì)點(diǎn)牛頓三定律質(zhì)點(diǎn)牛頓三定律求解：積分方法求解：積分方法理論力學(xué)理論力學(xué)對(duì)象；質(zhì)點(diǎn)及剛體對(duì)象；質(zhì)點(diǎn)及剛體特征；無(wú)變形特征；無(wú)變形 形狀復(fù)雜的體形狀復(fù)雜的體變量：變量： 1) 1)剛體描述剛體描述轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 2) 2)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述 3) 3)力平衡描述力平衡描述方程：方程： 質(zhì)點(diǎn)和剛體的牛頓質(zhì)點(diǎn)和剛體的牛頓三定律三定律求解：積分方法求解：積分方法材料力學(xué)材料力學(xué)對(duì)象；簡(jiǎn)單變形體對(duì)象；簡(jiǎn)單變形體特征；變形小特征；變形小 簡(jiǎn)單形狀的體簡(jiǎn)單形狀的體變量：變量：

13、 1 1）材料物性描述）材料物性描述 2 2）變形方面描述）變形方面描述 3 3）力的平衡描述）力的平衡描述方程：方程： 1 1）物理本構(gòu)方程）物理本構(gòu)方程 2 2）幾何變形方程）幾何變形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程求解：簡(jiǎn)化求解方法求解：簡(jiǎn)化求解方法結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)對(duì)象；簡(jiǎn)單多變形體對(duì)象；簡(jiǎn)單多變形體特征；變形小特征；變形小 簡(jiǎn)單形狀的多體簡(jiǎn)單形狀的多體變量：變量： 1 1）材料物性描述）材料物性描述 2 2）變形方面描述）變形方面描述 3 3）力的平衡描述）力的平衡描述方程：方程： 1 1）物理本構(gòu)方程）物理本構(gòu)方程 2 2）幾何變形方程）幾何變

14、形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程求解：簡(jiǎn)化求解方法求解：簡(jiǎn)化求解方法彈性力學(xué)彈性力學(xué)對(duì)象；任意變形體對(duì)象；任意變形體特征；變形小特征；變形小 任意形狀的體任意形狀的體變量：變量： 1 1）材料物性描述）材料物性描述 2 2）變形方面描述）變形方面描述 3 3）力的平衡描述）力的平衡描述方程方程( (微體微體dxdydz):dxdydz): 1 1）物理本構(gòu)方程）物理本構(gòu)方程 2 2）幾何變形方程）幾何變形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程求解求解: :解析半解析法解析半解析法彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)對(duì)象；任意變形體對(duì)象

15、；任意變形體特征；變形特征；變形( (屈服屈服) ) 任意形狀的體任意形狀的體變量：變量：1) 1)材料彈塑物性描述材料彈塑物性描述2) 2)變形方面描述變形方面描述3) 3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程( (微體微體dxdydz):dxdydz): 1 1）物理本構(gòu)方程）物理本構(gòu)方程 ( (屈服、非線性屈服、非線性) ) 2 2）幾何變形方程）幾何變形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程求解求解: :解析半解析法解析半解析法非變形體（剛體）非變形體（剛體）變形體變形體引言變形體及其受力情況的描述基本變量：基本變量： u u = u ui i ij ij

16、 ij ij ( (位移位移) ) ( (應(yīng)變應(yīng)變) ) ( (應(yīng)力應(yīng)力) ) ( (如研究如研究xyzxyz三個(gè)方向，對(duì)應(yīng)張量描述三個(gè)方向，對(duì)應(yīng)張量描述) )基本方程：基本方程： 1 1）材料方面）材料方面 2 2）幾何方面）幾何方面 3 3）力平衡方面）力平衡方面求解方法：求解方法： 1 1）經(jīng)典解析方法）經(jīng)典解析方法 2 2）半解析方法）半解析方法 3 3）傳統(tǒng)數(shù)值求解方法）傳統(tǒng)數(shù)值求解方法 4 4）現(xiàn)代數(shù)值求解）現(xiàn)代數(shù)值求解( (規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)?；⒂?jì)算機(jī)化規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)?；⒂?jì)算機(jī)化) )三大類(lèi)變量三大類(lèi)方程引言有限元的思路和發(fā)展過(guò)程思路：以計(jì)算機(jī)為工具，分析任意變形體以獲得

17、所有力學(xué)信息。思路：以計(jì)算機(jī)為工具，分析任意變形體以獲得所有力學(xué)信息。技術(shù)路線：技術(shù)路線：標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化 ( (任意復(fù)雜問(wèn)題理論研究任意復(fù)雜問(wèn)題理論研究=標(biāo)準(zhǔn)化分解，單元建模標(biāo)準(zhǔn)化分解，單元建模- -有限種標(biāo)準(zhǔn)單元有限種標(biāo)準(zhǔn)單元) )規(guī)范化規(guī)范化( (前處理：前處理：CADCAD幾何、力學(xué)建模、求解、后處理結(jié)果顯示幾何、力學(xué)建模、求解、后處理結(jié)果顯示) )計(jì)算機(jī)化計(jì)算機(jī)化( (標(biāo)準(zhǔn)程序、模塊標(biāo)準(zhǔn)程序、模塊) )應(yīng)用規(guī)?；?、普及化應(yīng)用規(guī)?；?、普及化( (可求解大型問(wèn)題：可求解大型問(wèn)題：1010的的8 8次到次到1111次次DOF)DOF)有限種類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)件有限種類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)件構(gòu)造任意復(fù)雜對(duì)象構(gòu)造任意復(fù)雜對(duì)象

18、目前常用的計(jì)算方法包括第一原理從頭計(jì)算法、分子動(dòng)力學(xué)方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。引言計(jì)算仿真的幾個(gè)層次引言有限元的思路和發(fā)展過(guò)程發(fā)展過(guò)程：發(fā)展過(guò)程：工程師工程師，boeingboeing公司公司TurnerTurner、CloughClough分分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)析飛機(jī)結(jié)構(gòu)( (采用自然離散采用自然離散) )19601960，CloughClough處理平面連續(xù)彈性問(wèn)題，處理平面連續(xù)彈性問(wèn)題，提出提出“有限單元法有限單元法”名稱(chēng)名稱(chēng)1956-1956- ，Argyris(Univ. of Stuttgart)Argyris(Univ. of Stuttgart)，Zienkiewicz(Zie

19、nkiewicz(英國(guó)英國(guó)SwansanSwansan大學(xué)大學(xué)) )，ToppTopp等學(xué)者的大量理論及應(yīng)用等學(xué)者的大量理論及應(yīng)用工作工作連續(xù)體離散體自然離散(桁架)逼近離散(連續(xù)體)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家19431943，CourantCourant研究分片連續(xù)與最小研究分片連續(xù)與最小勢(shì)能問(wèn)題勢(shì)能問(wèn)題1963-19641963-1964，Besseling,Melosh,JonesBesseling,Melosh,Jones研研究究FEMFEM與與RitzRitz法的關(guān)系及變分法的關(guān)系及變分原理原理1951-1951- 至今，我國(guó)湖海昌、馮康、至今，我國(guó)湖海昌、馮康、匡振邦?？镎癜睢Ｔ趯ふ疫B續(xù)系統(tǒng)求解

20、方法的過(guò)程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩種不同的路線得到在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過(guò)程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩種不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)5050年代，來(lái)源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法年代，來(lái)源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺(jué)判斷。從固體力學(xué)的角度來(lái)看，桁架結(jié)的發(fā)展和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺(jué)判斷。從固體力學(xué)的角度來(lái)看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性。性。19561956年年M.J

21、.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin,M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.ToppL.J.Topp在紐約舉行的航空在紐約舉行的航空學(xué)會(huì)年會(huì)上介紹了一種新的計(jì)算方法，將學(xué)會(huì)年會(huì)上介紹了一種新的計(jì)算方法，將矩陣位移法矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問(wèn)推廣到求解平面應(yīng)力問(wèn)題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形的題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形的“單元單元”，利用單元中近似位，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃?。移函?shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?954-19551954-1955

22、年，年，J.H.ArgyrisJ.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。析論文。1960 年年 ， Clough 在在 他他 的的 名名 為為 “ The finite element in plane stressanalysisanalysis”的論文中首次提出了的論文中首次提出了有限元（有限元（finite elementfinite element）這一術(shù)語(yǔ)。這一術(shù)語(yǔ)。引言有限元的思路和發(fā)展過(guò)程數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加

23、權(quán)余量法。分原理和加權(quán)余量法。在在19631963年前后，經(jīng)過(guò)年前后，經(jīng)過(guò)J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones,J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones,R.H.Gallaher,R.H.Gallaher, T.H.PianT.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到有有限元法就是變分原理中限元法就是變分原理中RitzRitz近似法的一種變形近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。19651965年年O.C.Zienki

24、ewiczO.C.Zienkiewicz和和Y.K.CheungY.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫(xiě)成（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫(xiě)成變分形式的所有場(chǎng)問(wèn)題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步變分形式的所有場(chǎng)問(wèn)題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步驟求解。驟求解。1969 年年 B.A.Szabo 和和 G.C.Lee 指指 出出 可可 以以 用用 加加 權(quán)權(quán) 余余 量量 法法 特特 別別 是是GalerkinGalerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過(guò)程來(lái)求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題。法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過(guò)程來(lái)求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題。引言有限元的思路和發(fā)展過(guò)程我國(guó)的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其我國(guó)的力

25、學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢(qián)令希（余能原中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢(qián)令希（余能原理），錢(qián)偉長(zhǎng)（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮理），錢(qián)偉長(zhǎng)（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從康（有限單元法理論）。遺憾的是，從19661966年開(kāi)始的近十年期間，年開(kāi)始的近十年期間，我國(guó)的研究工作受到阻礙。我國(guó)的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程問(wèn)題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái)，有限元法得到了

26、巨大的發(fā)問(wèn)題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái)，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法?？蓮V泛應(yīng)用于各種微分方程描述有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法?？蓮V泛應(yīng)用于各種微分方程描述的場(chǎng)問(wèn)題的求解。的場(chǎng)問(wèn)題的求解。引言有限元的思路和發(fā)展過(guò)程有限元法分析計(jì)算的基本思想對(duì)象離散化單元特性分析選擇變量分布模式分析單元的特性計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷單元組集求解未知節(jié)點(diǎn)變量引言彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）物體離散化物體離散化將某個(gè)工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計(jì)算模型，這一步稱(chēng)作單元剖分。離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來(lái)；單元節(jié)

27、點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問(wèn)題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算進(jìn)度而定。用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲 得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。引言彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）分析單元的特性分析單元的特性根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)變量的關(guān)系式，建立節(jié)點(diǎn)變量值與單元內(nèi)任意點(diǎn)變量之間關(guān)系，等等，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。如應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來(lái)建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?，這是有限元法的基本步驟之一。引言彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷物體離散化后，假定力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)從一

28、個(gè)單元 傳遞到另一個(gè)單元。但是，對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代 替所有作用在單元上得力。引言彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）單元組集（組裝）利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái)，形成整體的有限元方程求解未知節(jié)點(diǎn)變量可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來(lái)選擇合適的計(jì)算方法。引言彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）引言彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）研究對(duì)象：任意變形體研究對(duì)象：任意變形體物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間可以發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間可以發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)?；咀兞炕?/p>

29、本方程任意變形體主位移應(yīng)變應(yīng)力物體變形后的形狀物體的變形程度物體的受力狀態(tài)幾何方程物理方程平衡方程彈模引言線彈性的五個(gè)基本假設(shè)1 1）物體內(nèi)的物質(zhì)連續(xù)性假設(shè)：物質(zhì)無(wú)空隙，可用連續(xù)函數(shù)描述；）物體內(nèi)的物質(zhì)連續(xù)性假設(shè)：物質(zhì)無(wú)空隙，可用連續(xù)函數(shù)描述；2 2）物體內(nèi)的物質(zhì)均勻性假設(shè)：物體內(nèi)各個(gè)位置的物質(zhì)具有相同特性）物體內(nèi)的物質(zhì)均勻性假設(shè)：物體內(nèi)各個(gè)位置的物質(zhì)具有相同特性3 3）物體內(nèi)的（力學(xué)）特性各向同性假設(shè)：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個(gè)）物體內(nèi)的（力學(xué)）特性各向同性假設(shè)：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個(gè)方向上具有相同特性；方向上具有相同特性； 4 4）線性彈性假設(shè)：物體的變形與外力作用關(guān)系是線性的，外力去

30、除后物）線性彈性假設(shè)：物體的變形與外力作用關(guān)系是線性的，外力去除后物體可恢復(fù)原狀；體可恢復(fù)原狀；5 5）小變形假設(shè)：物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，在建立方程時(shí)可略去）小變形假設(shè)：物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，在建立方程時(shí)可略去高階小量（二階以上）高階小量（二階以上） 。引言求解彈性力學(xué)問(wèn)題的主要方法和特點(diǎn)比較求解方法求解方法微分形式微分形式積分形式（試函數(shù)法）積分形式（試函數(shù)法）解析法解析法半解析法半解析法差分法差分法加權(quán)殘量法加權(quán)殘量法最小勢(shì)能最小勢(shì)能原理原理GalerkinGalerkin法法殘值最小二乘殘值最小二乘方式方式求解原微分方程求解原微分方程積分形式的極值問(wèn)題積分形式的極值問(wèn)題求

31、解過(guò)程求解過(guò)程直接針對(duì)原方程；分離變量；直接針對(duì)原方程；分離變量；代換；偏微分方程代換；偏微分方程-常微分常微分方程；解析或半解析方程；解析或半解析微分微分-差商差商; ;線性方程；線性方程； 求解求解假設(shè)試函數(shù)滿(mǎn)足所有邊條；假設(shè)試函數(shù)滿(mǎn)足所有邊條；由原始方程定義殘差積分形由原始方程定義殘差積分形式；殘差最小；線性方程組式；殘差最小；線性方程組設(shè)試函數(shù)滿(mǎn)足邊設(shè)試函數(shù)滿(mǎn)足邊條；勢(shì)能泛函積條；勢(shì)能泛函積分形式；勢(shì)能最分形式；勢(shì)能最??；線性方程組??；線性方程組函數(shù)的要求及函數(shù)的要求及形式形式為簡(jiǎn)化問(wèn)題可事先假設(shè)解函數(shù)，進(jìn)行變量分離；為簡(jiǎn)化問(wèn)題可事先假設(shè)解函數(shù)，進(jìn)行變量分離；函數(shù)連續(xù)性要求高函數(shù)連續(xù)性

32、要求高試函數(shù)滿(mǎn)足所有邊條；函數(shù)連試函數(shù)滿(mǎn)足所有邊條；函數(shù)連續(xù)性要求高續(xù)性要求高只滿(mǎn)足位移邊條；只滿(mǎn)足位移邊條；函數(shù)連續(xù)要求低函數(shù)連續(xù)要求低泛函形式泛函形式無(wú)無(wú)泛函直接由原方程形成；泛函泛函直接由原方程形成；泛函導(dǎo)數(shù)階次高導(dǎo)數(shù)階次高需定義新泛函；需定義新泛函；泛函導(dǎo)數(shù)階次低泛函導(dǎo)數(shù)階次低關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)尋找滿(mǎn)足全場(chǎng)條件的解函數(shù)尋找滿(mǎn)足全場(chǎng)條件的解函數(shù)試函數(shù)滿(mǎn)足所有邊條試函數(shù)滿(mǎn)足所有邊條只滿(mǎn)足位移邊條只滿(mǎn)足位移邊條難易程度難易程度很難很難較難較難簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單求解精度求解精度高高較高較高低低方程最后形式方程最后形式常微分方程常微分方程差分方程差分方程積分方程積分方程-線性方程組線性方程組 線性方程組線性方程

33、組方法規(guī)范性方法規(guī)范性不規(guī)范，技巧要求高不規(guī)范，技巧要求高較規(guī)范較規(guī)范只要試函數(shù)確定，后續(xù)過(guò)程很規(guī)范只要試函數(shù)確定，后續(xù)過(guò)程很規(guī)范方法通用性方法通用性不好不好較好較好較好較好很好很好解題范圍解題范圍簡(jiǎn)單問(wèn)題（非常有限）簡(jiǎn)單問(wèn)題（非常有限） 較復(fù)雜問(wèn)題較復(fù)雜問(wèn)題較大較大大大其它其它具一定物理背景具一定物理背景( (最小殘差最小殘差) )最小勢(shì)能最小勢(shì)能偏微分方程科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，對(duì)于絕大部分問(wèn)題，人們已經(jīng)得到了它們應(yīng)遵循的基本方程（偏微分方程或常微分方程）。如：溫度場(chǎng)方程（濃度場(chǎng)方程）流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方程電磁場(chǎng)方程固體力學(xué)方程.偏微分方程溫度場(chǎng)方程偏微分方程溫度場(chǎng)方程傅里葉傳熱定律：q = kgrad熱

34、傳導(dǎo)方程： c = k y + kz kx + + Q （在 內(nèi)）t x x y y z z （在 1 上）邊界條件： = kxnx + k yny + kznz = qxyz（在 2 上）kxnx + k yny + kznz = h(a ) （在 3 上）xyz偏微分方程溫度場(chǎng)方程偏微分方程固體力學(xué)方程偏微分方程固體力學(xué)方程偏微分方程固體力學(xué)方程偏微分方程電磁場(chǎng)方程偏微分方程電磁場(chǎng)方程偏微分方程分類(lèi)及特點(diǎn)偏微分方程分類(lèi)及特點(diǎn)偏微分方程分類(lèi)及特點(diǎn)偏微分方程分類(lèi)及特點(diǎn)邊值問(wèn)題與初值問(wèn)題描述物理現(xiàn)象的偏微分方程常常與其邊界條件或初始條件聯(lián)系在一起。平衡方程:ijxj+bi =0幾何方程:場(chǎng)方程（

35、控制方程）本構(gòu)方程:1 ui uj Dij = + 2 xj xi epij =CijklDkl偏微分方程的求解Su邊界條件VSp問(wèn)題的域 V 和邊界 S應(yīng)力邊界條件:運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件: ji n j = piui = ui或(在 Sp 上)ui = ui(在 Su 上)偏微分方程的求解邊值問(wèn)題 A1 (u) A(u) = A2 (u) = 0 B1 (u) B(u) = B2 (u) = 0（在域 V 內(nèi)）（在邊界 S 上）域 V 和邊界 S（S=Su+Sp）界微分方程的等效積分形式VVT A(u)dV + VT B(u)dS = 0S偏微分方程的求解（一）解析法解析方法是直接應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理

36、論和定律去推導(dǎo)和演繹數(shù)學(xué)方程（或模型），得到用函數(shù)形式表示的解，也就是解析解。偏微分方程的求解優(yōu)點(diǎn)：是物理概念及邏輯推理清楚，解的函數(shù)表達(dá)式能夠清楚地表達(dá)溫度場(chǎng)的各種影響因素，有利于直觀分析各參數(shù)變化對(duì)溫度高低的影響。缺點(diǎn)：通常需要采用多種簡(jiǎn)化假設(shè)，而這些假設(shè)往往并不適合實(shí)際情況，這就使解的精確程度受到不同程度的影響。目前，只有簡(jiǎn)單的一維溫度場(chǎng)（“半無(wú)限大”平板、圓柱體、球體）才可能獲得解析解。偏微分方程的求解（二）數(shù)值方法數(shù)值方法又叫數(shù)值分析法，是用計(jì)算機(jī)程序來(lái)求解數(shù)學(xué)模型的近似解，又稱(chēng)為數(shù)值模擬或計(jì)算機(jī)模擬。偏微分方程的求解1.差分法差分法是把原來(lái)求解物體內(nèi)隨空間、時(shí)間連續(xù)分布的場(chǎng)量，轉(zhuǎn)化

37、為求在時(shí)間領(lǐng)域和空間領(lǐng)域內(nèi)有限個(gè)離散點(diǎn)的變量值問(wèn)題，再用這些離散點(diǎn)上的變量值去逼近連續(xù)的變量分布。差分法的解題基礎(chǔ)是用差商來(lái)代替微商，這樣就將偏微分微分方程轉(zhuǎn)換為以節(jié)點(diǎn)變量為未知量的線性代數(shù)方程組，得到各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值解。根據(jù)不同的差分格式分為：向前差分、向后差分、平均差分、中心差分、加列金格式等。偏微分方程的求解2.有限元法有限元法是根據(jù)變分原理來(lái)求解偏微分方程的一種數(shù)值計(jì)算方法。有限元法的解題步驟是先將連續(xù)求解域分割為有限個(gè)單元組成的離散化模型，再用變分原理等數(shù)學(xué)方法將各單元內(nèi)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性方程組，最后求解全域內(nèi)的總體合成矩陣。偏微分方程的求解數(shù)值計(jì)算方法分類(lèi)數(shù)值計(jì)算方法分類(lèi)特特

38、 點(diǎn)點(diǎn)差分法差分法等效積分法等效積分法（加權(quán)余量法或加權(quán)余量法或優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)離散求解域；差分代替微分；解離散求解域；差分代替微分；解 要求規(guī)則邊界，幾何形要求規(guī)則邊界，幾何形代數(shù)方程組代數(shù)方程組狀復(fù)雜時(shí)精度低狀復(fù)雜時(shí)精度低整體場(chǎng)函數(shù)用近似函數(shù)代替；微整體場(chǎng)函數(shù)用近似函數(shù)代替；微 適合簡(jiǎn)單問(wèn)題，復(fù)雜問(wèn)適合簡(jiǎn)單問(wèn)題，復(fù)雜問(wèn)分方程及定解條件的等效積分轉(zhuǎn)分方程及定解條件的等效積分轉(zhuǎn) 題很難解決題很難解決化為某個(gè)泛函的變分，化為某個(gè)泛函的變分，-求極值求極值問(wèn)題問(wèn)題離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近似離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近似 節(jié)點(diǎn)可任意配置，邊界節(jié)點(diǎn)可任意配置，邊界整體未知場(chǎng)函數(shù)；解線形方程組整體未知場(chǎng)函數(shù)

39、；解線形方程組 適應(yīng)性好；適應(yīng)任意支適應(yīng)性好；適應(yīng)任意支撐條件和載荷；計(jì)算精撐條件和載荷；計(jì)算精度與網(wǎng)格疏密和單元形度與網(wǎng)格疏密和單元形態(tài)有關(guān)，精度可控態(tài)有關(guān)，精度可控泛函變分法）泛函變分法）有限元法有限元法偏微分方程的求解數(shù)值模擬方法的優(yōu)越性經(jīng)濟(jì)、快速、優(yōu)化、并行結(jié)果詳盡 應(yīng)力 應(yīng)變溫度 組織性能變化虛擬、靈活偏微分方程的求解有限元分析實(shí)例A380飛機(jī)有限元模型重型燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子模型有限元分析實(shí)例新加坡國(guó)立大學(xué)工程系入口有限元分析實(shí)例有限元分析實(shí)例有限元分析實(shí)例有限元分析實(shí)例0.2 - 1.5 resolution (16000 surface nodes)23 z-levels ( 2200

40、00 3D nodes)3D view of the North Atlantic mesh有限元分析實(shí)例有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)數(shù)學(xué)：求解微分方程，特別是橢圓型邊值問(wèn)題的一種離散化方法，其基礎(chǔ)是變分原理和剖分逼近力學(xué)：一種將連續(xù)體離散化，以求解各種力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法土木工程：把物體或結(jié)構(gòu)整體所具有的域(V)劃分為有限多個(gè)被稱(chēng)為單元的子域(Vn)，以求得近似解的一種數(shù)值計(jì)算方法機(jī)械工程：對(duì)機(jī)械零件或構(gòu)件等作應(yīng)力分析的一種離散數(shù)值方法航空、航天工程：將結(jié)構(gòu)用網(wǎng)格劃分為計(jì)算模型的一種結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法不同學(xué)科和工程類(lèi)別從各自特有學(xué)術(shù)角度對(duì)有限元給出相應(yīng)的不同定義，但有一條是共同的，即都認(rèn)為有限元法是有效

41、的數(shù)值分析方法。學(xué)習(xí)有限元所需的理論基礎(chǔ)學(xué)科理論：理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)等等。根據(jù)所要解決問(wèn)題的不同，應(yīng)具備不同的專(zhuān)門(mén)知識(shí)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：線性代數(shù)、變分原理、加權(quán)余量法等等計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)：計(jì)算機(jī)的一般知識(shí)，算法語(yǔ)言，計(jì)算機(jī)的使用和編程。這些知識(shí)有些我們已經(jīng)掌握，有些則還沒(méi)有。但是不能等全部掌握了所有這些知識(shí)再來(lái)學(xué)習(xí)有限元法，只有再學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸掌握。好在有限元法可以在不同的層次上理解和應(yīng)用。有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本特點(diǎn)以簡(jiǎn)單逼近復(fù)雜概念清楚，容易理解矩陣數(shù)學(xué) 便于編程和計(jì)算機(jī)求解適用于形狀復(fù)雜問(wèn)題適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣泛有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本特點(diǎn)適應(yīng)性強(qiáng)彈性力學(xué)平面問(wèn)

42、題擴(kuò)展到了空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題；靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到了動(dòng)態(tài)問(wèn)題；固態(tài)力學(xué)擴(kuò)展到了流體力學(xué)、傳熱學(xué)；彈性材料問(wèn)題擴(kuò)展到了彈塑性、塑性、粘彈性和復(fù)合材料問(wèn)題；航空工程問(wèn)題擴(kuò)展到了宇航、土木建筑、機(jī)械制造、水利工程及原子能學(xué)科等方面的問(wèn)題。有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)特點(diǎn)缺點(diǎn)：必須首先編制（或具備）計(jì)算機(jī)程序，必須運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解。計(jì)算前的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)整理分析工作量很大然而，計(jì)算機(jī)日益普及和功能日益強(qiáng)大，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行有限元分析的前、后處理來(lái)大大幫助減少工作量。有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本步驟1，求解區(qū)域離散化2，選擇插值函數(shù)3，分析單元特性4，組建整體剛度矩陣5，求解系統(tǒng)的總體方程組6，根據(jù)需要進(jìn)行

43、附加計(jì)算基本思想化整為零積零為整有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本思想先將求解域離散為有限個(gè)單元，單元與單元只在節(jié)點(diǎn)相互連接；-即原始連續(xù)求解域用有限個(gè)單元的集合近似代替對(duì)每個(gè)單元選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡(jiǎn)單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理量來(lái)表示-通常稱(chēng)為插值函數(shù)或位移函數(shù)基于問(wèn)題的基本方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程（即單元?jiǎng)偠确匠蹋┙柚诰仃嚤硎荆阉袉卧膭偠确匠探M合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點(diǎn)物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本思想節(jié)點(diǎn)vmm(xm ym )umv jujvi單元uij(x j y j )yi( xi yi

44、 )x有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本概念結(jié)構(gòu)離散（有限元建模）內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分-即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元2）邊界處理-即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處 為節(jié)點(diǎn)約束和節(jié)點(diǎn)載荷要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形-單元的幾何特性2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同-單元的物理 特性有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿(mǎn)足 定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間通過(guò)節(jié)點(diǎn)的相互作用力節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載?；靖拍顔卧c節(jié)點(diǎn)注意：1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重

45、大差別；2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本概念非法結(jié)構(gòu)離散節(jié)點(diǎn)不合法不同材料有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)單元類(lèi)型單元圖形節(jié)點(diǎn)數(shù)桿單元梁?jiǎn)卧湫蛦卧?lèi)型平面單元2234344平面四邊形軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題板殼單元四面體單元基本概念插值函數(shù)（或位移函數(shù)）用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場(chǎng)）的近似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點(diǎn)物理量值插值構(gòu)成，故稱(chēng)為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱(chēng)為位移函數(shù)。選擇位移函數(shù)的一般原則：1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）；2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。注：為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式形式，在單元

46、內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的近似解有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本概念位移函數(shù)的構(gòu)造方法廣義坐標(biāo)法一維單元位移函數(shù)：u(x) =0 +1x +1x2 + .n xn簡(jiǎn)記為u(x) = i 為待定系數(shù)，也稱(chēng)為廣 =1 x x2 . xn義坐標(biāo)T = 0 1 2 . n有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本概念位移函數(shù)的構(gòu)造方法插值函數(shù)法 即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知插值基函數(shù)積的和。如一維單元u(x) = N1 ( x)u1 + N2 ( x)u2 + .= Ni ( x)uin1二維單元注：Ni可為L(zhǎng)agrange、Hamiton多項(xiàng)式或形函數(shù)，在+1-1 間變化u(x, y) = Niui1

47、nv(x, y) = Nivi1n有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本概念有限元法的收斂準(zhǔn)則影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差收斂準(zhǔn)則：1）位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線形項(xiàng)）2）位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項(xiàng)）；3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）；4）位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）；注：上述四個(gè)條件稱(chēng)為有限元解收斂于真實(shí)解的充分條件；前三個(gè)條件稱(chēng)為必要條件。滿(mǎn)足四個(gè)條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱(chēng)為協(xié)調(diào)元；滿(mǎn)足前三個(gè)條件的單元稱(chēng)為非協(xié)調(diào)元；滿(mǎn)足前兩個(gè)條件的單元稱(chēng)為完備元。有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)基本概念新型單元的研究1、面向特性材料（如復(fù)合材料）的單元位移模式

48、研究2、面向幾何設(shè)計(jì)的新型單元（如超單元）的研究幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題面向物理問(wèn)題的有限元建模如有限元建模專(zhuān)家系統(tǒng)、決策支持系統(tǒng)、網(wǎng)格劃分算法等有限元法計(jì)算速度的研究如并行計(jì)算等結(jié)構(gòu)優(yōu)化有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)有限元分析 (FEA)有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。歷史典故 結(jié)構(gòu)分析的有限元方法是由一批學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究者在二十世紀(jì)五十年代到二十世紀(jì)六十年代創(chuàng)立的。 有限元分析理論已有100多年的歷史，是懸索橋和蒸汽鍋爐進(jìn)行手算評(píng)核的基礎(chǔ)。有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)物理系統(tǒng)舉例幾何體載

49、荷物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁有限元模型有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。真實(shí)系統(tǒng)有限元模型自由度（DOF ）自由度(DOFs) 用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。UYROTY方向結(jié)構(gòu)熱電流體磁自由度位移溫度電位壓力磁位ROTZUZUXROTX結(jié)構(gòu) DOFs節(jié)點(diǎn)和單元載荷節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱(chēng)為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類(lèi)。載荷有限元模型由 些簡(jiǎn)單形狀的 單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))每個(gè)單元的特性是通過(guò)一些線性方程式來(lái)描述的。作為一個(gè)整體，單元

50、形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。盡管梯子的有限元模型低于100個(gè)方程（即“自由度”），然而在今天一個(gè)小的 ANSYS分析就可能有5000個(gè)未知量，矩陣可能有25，000，000個(gè)剛度系數(shù)。歷史典故早期 ANSYS是隨計(jì)算機(jī)硬件而發(fā)展壯大的。ANSYS最早是在1970年發(fā)布的，運(yùn)行在價(jià)格為1，000，000的CDC、由Univac和IBM生產(chǎn)的計(jì)算機(jī)上，它們的處理能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于今天的PC機(jī)。一臺(tái)奔騰PC機(jī)在幾分鐘內(nèi)可求解50005000的矩陣系統(tǒng)，而過(guò)去則需要幾天時(shí)間。節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))信息是通過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。2 nodes.A.B1 node.A.B具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞.分

51、離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒(méi)有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn) 單元類(lèi)型 變化的J三維桿單元 (鉸接)UX, UY, UZILK二維或軸對(duì)稱(chēng)實(shí)體單元UX, UYIIPMLINKJIJOP三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元UX, UY, UZMLNKJILKJ三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,ROTX, ROTY, ROTZO三維實(shí)體熱單元TEMPJ三維梁?jiǎn)卧猆X, UY, UZ,ROTX, ROTY, ROTZ單元形函數(shù)FEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元

52、內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。單元形函數(shù)(續(xù))二次曲線的線性近(不理想結(jié)果)DOF值二次分布真實(shí)的二次曲線.1節(jié)點(diǎn)單元線性近似(更理想的結(jié)果).2真實(shí)的二次曲線.節(jié)點(diǎn)單元.二次近似 (接近于真實(shí)的二次近似擬合)(最理想結(jié)果). . . .3節(jié)點(diǎn)單元.4節(jié)點(diǎn)單元.單元形函數(shù)(續(xù))遵循: DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。 這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來(lái)的（如 結(jié)構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。 如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好地得

53、到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元形函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的。單元形函數(shù)(續(xù))遵循原則:當(dāng)選擇了某種單元類(lèi)型時(shí)，也就十分確定地選擇并接受該種單元類(lèi)型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類(lèi)型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時(shí)有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來(lái)精確描述所要求解的問(wèn)題。加權(quán)余量法變分法法里茲法約束變分原理有限元方法的數(shù)學(xué)原理變分法泛函 = F(u,Vuu, )dV + E(u, , )dSSxx其中 u 是未知函數(shù)，F(xiàn) 和 E 是特定的算子，V 是求解域，S 是 V 的邊界。泛函 取駐值的條件是，對(duì)于微小變化 u ，泛函的“變分”等于零 = 0有限元方法的數(shù)學(xué)原理加權(quán)余量法近似解u = u = N

54、i ai = Nai=1n其中ai 是待定參數(shù)；Ni 是形函數(shù)。令余量的加權(quán)積分為 0VWT A(Na)dV + WT B(Na)dS = 0jjS( j = 1 n)有限元方法的數(shù)學(xué)原理里茲法u = u = Ni ai =Nai=1n =a1 +a2 +a1a2 +an = 0an a 1 = a2 = 0a an 有限元方法的數(shù)學(xué)原理關(guān)于里茲法的幾點(diǎn)討論收斂性（1）完備性：試探函數(shù) Ni（i=1n）應(yīng)取自完全函數(shù)系列。（2）協(xié)調(diào)性： Ni（i=1n）應(yīng)滿(mǎn)足 Cm-1 連續(xù)性要求。應(yīng)用中的困難（1）在求解域比較復(fù)雜時(shí)，難以選取滿(mǎn)足邊界條件的試探函數(shù)。（2）為了提高近似解的精度 需要增加待定參

55、數(shù)和試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)有限元方法的數(shù)學(xué)原理加權(quán)余量法示例（虛功原理）平衡方程和力邊界條件： ij, j + bi = 0（在 V 內(nèi)）（在 Sp 上） ij n j pi = 0等效積分形式：V ui ( ij, j + bi )dV SVui ( ij n j pi )dS = 0pV得：或ui ij, j dV = V1ui, j + u j,i ij dV + ui ij n j dSS p2S p()= ij ij dV + ui ij n j dSV ( ij ij + ui bi )dV + S VijVui pi dS = 0p ij dV = biui dV + piui dSS

56、p有限元方法的數(shù)學(xué)原理線彈性力學(xué)的最小位能原理代入：ij = CijklkleVe(ijCijklkl ui bi )dV ui pidS = 0Sp令：ijCijklkl = Cijklijkl = U(mn) ， (ui ) = biui , (ui ) = piuiee 1 2于是： p = 0其中：p = p (ij ,ui ) = U(ij ) +(ui )dV +VS (ui )dSp 1 e= Cijklijkl biui dV piuidSV 2Sp有限元方法的數(shù)學(xué)原理約束變分原理考慮附加的約束關(guān)系C(u) = 01拉格朗日乘子法T* = + C(u)dVV2罰函數(shù)法* = +

57、 V CT (u)C(u)dV有限元方法的數(shù)學(xué)原理隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展，整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來(lái)越少，而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問(wèn)題卻日益突出在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個(gè)包含10萬(wàn)個(gè)方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問(wèn)題時(shí)有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果分析上。增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能各種有限元軟件發(fā)展現(xiàn)狀增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。使用戶(hù)能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將

58、大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖，便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。各種有限元軟件發(fā)展現(xiàn)狀與CAD軟件的無(wú)縫集成當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CAD軟件的集成使用， 即：在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算，如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算，直到滿(mǎn)意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開(kāi)發(fā)了和著名的CAD軟 件 （ 例 如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、SolidEdge 、 SolidWorks 、 IDEAS 、 Bentley 和AutoCAD等）的接口。各種有限元

59、軟件發(fā)展現(xiàn)狀 失效分析階段 設(shè)計(jì)驗(yàn)證分析階段 保證產(chǎn)品正常工作分析階段 提高產(chǎn)品性能分析階段 設(shè)計(jì)創(chuàng)新分析階段 產(chǎn)品壽命分析階段 各種有限元軟件發(fā)展現(xiàn)狀各種有限元軟件NastranNastran是美國(guó)國(guó)家航空航天局是美國(guó)國(guó)家航空航天局(National Aeronauyics and Space Administration簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)NASA,又稱(chēng)美國(guó)宇航局又稱(chēng)美國(guó)宇航局)為適應(yīng)各種工程分析為適應(yīng)各種工程分析問(wèn)題而開(kāi)發(fā)的多用途有限元分析程序。這個(gè)系統(tǒng)稱(chēng)為問(wèn)題而開(kāi)發(fā)的多用途有限元分析程序。這個(gè)系統(tǒng)稱(chēng)為NASA Structural Analysis System,命名為命名為Nastran。20世

60、紀(jì)世紀(jì)60年代初年代初,美國(guó)美國(guó)宇航局為登月需要宇航局為登月需要,決定使用有限元法開(kāi)發(fā)大型結(jié)構(gòu)分析系統(tǒng)決定使用有限元法開(kāi)發(fā)大型結(jié)構(gòu)分析系統(tǒng),并能并能在當(dāng)時(shí)所有大型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。為此在當(dāng)時(shí)所有大型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。為此,以虛構(gòu)名以虛構(gòu)名Tom Butler命名的命名的NASA小組制定了一套全新的通用分析系統(tǒng)規(guī)范。它采用了當(dāng)時(shí)唯小組制定了一套全新的通用分析系統(tǒng)規(guī)范。它采用了當(dāng)時(shí)唯一的但并不成熟的高級(jí)語(yǔ)言一的但并不成熟的高級(jí)語(yǔ)言Fortran,在計(jì)算機(jī)計(jì)算速度還很慢在計(jì)算機(jī)計(jì)算速度還很慢,內(nèi)內(nèi)存還很小存還很小,且沒(méi)有磁盤(pán)存儲(chǔ)器的情況下且沒(méi)有磁盤(pán)存儲(chǔ)器的情況下,創(chuàng)造性地完成了該系統(tǒng)的研創(chuàng)造性地完成了該系統(tǒng)