高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)_任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)人教版必修4

1、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.角的概念角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線個(gè)位置所成的圖形旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角的叫做角的始邊始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線OB叫做角的叫做角的終邊終邊，按，按逆逆時(shí)針方向旋時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按順順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角若一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)做負(fù)角若一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零零角角2象限角象限角把角置于直角坐

2、標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的把角置于直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與始邊與x軸的非負(fù)半軸重合那么，角的終邊在第幾象限軸的非負(fù)半軸重合那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角，我們就說這個(gè)角是第幾象限角象限角象限角象限角象限角的集合表示的集合表示第一象限第一象限角角 | |k k360360k k3603609090，k kZZ第二象限第二象限角角 | |k k3603609090k k360360180180，k kZZ第三象限第三象限角角 | |k k360360180180k k360360270270，k kZZ第四象限第四象限角角 | |k k3

3、603609090k k360360，k kZZ3.象限界角象限界角(即軸線角即軸線角)角角終邊位置終邊位置角角的集合的集合在在x x軸非負(fù)半軸上軸非負(fù)半軸上 | |k k360360，k kZZ在在x x軸非正半軸上軸非正半軸上 | |k k360360180180，k kZZ在在y y軸非負(fù)半軸上軸非負(fù)半軸上 | |k k3603609090，k kZZ在在y y軸非正半軸上軸非正半軸上 | |k k3603609090，k kZZ在在x x軸上軸上 | |k k180180，k kZZ在在y y軸上軸上 | |k k1801809090，k kZZ注意：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)

4、角不屬于任何注意：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，即為象限界角一個(gè)象限，即為象限界角(或軸線角或軸線角)4終邊相同的角終邊相同的角所有與角所有與角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k360，kZ或或S|2k，kZ，前者前者用角度制表示，后者用角度制表示，后者用弧度制表示用弧度制表示注意：注意：(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍(2)一般地，終邊相同的角或通式表達(dá)形式不

5、唯一，如一般地，終邊相同的角或通式表達(dá)形式不唯一，如k18090(kZ)與與k18090(kZ)都表示都表示終邊在終邊在y軸上的所有角軸上的所有角(3)應(yīng)注意整數(shù)應(yīng)注意整數(shù)k為奇數(shù)、偶數(shù)的討論為奇數(shù)、偶數(shù)的討論5弧度制弧度制(1)把長度等于把長度等于半徑半徑長的弧所對的長的弧所對的圓心角圓心角叫叫1弧度的角以弧弧度的角以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制弧度制，它的單位符，它的單位符號是號是rad，讀作，讀作弧度弧度(2)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是，零角的弧度

6、數(shù)是0.6度與弧度的換算關(guān)系度與弧度的換算關(guān)系周角的周角的 為為1度的角度的角即即 周角周角1， 周角周角1rad3602rad180=rad,1= rad,1rad 5718.13601360121801807扇形的半徑為扇形的半徑為R，弧長為，弧長為l，(02)為圓心角為圓心角弧長弧長lR，即弧長等于，即弧長等于該弧所對的圓心角的弧度數(shù)乘以半該弧所對的圓心角的弧度數(shù)乘以半徑徑扇形面積扇形面積S lR R2.12128在直角坐標(biāo)系中利用單位圓的定義求任意角的三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系中利用單位圓的定義求任意角的三角函數(shù)設(shè)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(

7、x，y)，那么，那么：(1)y叫做叫做的的正弦正弦，記作，記作sin，即，即siny；(2)x叫做叫做的的余弦余弦，記作，記作cos，即，即cosx；(3)y,x叫做叫做的的正切正切，記作，記作tan，即，即tan (x0)yx9利用角利用角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)設(shè)直角坐標(biāo)系中任意大小的角設(shè)直角坐標(biāo)系中任意大小的角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，它與原點(diǎn)的距離是，它與原點(diǎn)的距離是r(r0)，那么任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)的定義：的定義：注意：要特別注意三角函數(shù)的定義域注意：要特別注意三角函數(shù)的定義域10各象限角的三角

8、函數(shù)值和符號如圖所示各象限角的三角函數(shù)值和符號如圖所示三角函數(shù)正值口訣：三角函數(shù)正值口訣：全正，全正，正弦，正弦，正切，正切，余余弦弦11終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等相等，即，即sin(k2)sincos(k2)cos(其中其中kZ)tan(k2)tan12三角函數(shù)線三角函數(shù)線圖中有向線段圖中有向線段MP，OM，AT分別表示分別表示正弦線正弦線、余弦線余弦線和和正正切線切線注意：當(dāng)角注意：當(dāng)角的終邊與的終邊與x軸重合時(shí)，正弦線、正切線分別變成軸重合時(shí)，正弦線、正切線分別變成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)角一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)角的正弦值和正切值都為的正弦值和正切值都為0；當(dāng)角；當(dāng)角的終

9、邊的終邊與與y軸重合時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在，此時(shí)軸重合時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在，此時(shí)角角的正切值不存在的正切值不存在考點(diǎn)陪練考點(diǎn)陪練 1.已知集合已知集合A第一象限角第一象限角，B銳角銳角，C小于小于90的的角角，下列四個(gè)命題：，下列四個(gè)命題：ABC，AC，CA，ACB，其中正確命題的個(gè)數(shù)為，其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2 D3答案：答案：A2.將分針撥快將分針撥快10分鐘分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是( ).33.66ABCD答案答案:B 3,833.243.1,33.816ABCD若扇形的面積為半徑為 則扇形的圓心角 為答案答案:B4.有下列命題

10、有下列命題:(1)終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等;(2)終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等;(3)若若sin0,則則是第一是第一 二象限的角二象限的角;(4)若若是第二象限的角是第二象限的角,且且P(x,y)是其終邊上一點(diǎn)是其終邊上一點(diǎn),則則cos=22.xxy其中正確的命題的個(gè)數(shù)是其中正確的命題的個(gè)數(shù)是( )A.1個(gè)個(gè) B.2個(gè)個(gè)C.3個(gè)個(gè) D.4個(gè)個(gè)解析解析:根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義知根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義知(1)正確正確;對對(2),我們可舉出反例我們可舉出反例對對(3),可指出可指出 ,但但 不是第一不是第一 二

11、象限的角二象限的角;對對(4),因?yàn)橐驗(yàn)槭堑诙笙薜慕鞘堑诙笙薜慕?已有已有x0,應(yīng)是應(yīng)是cos= .答案答案:A2;33sinsin02sin222xxy5.若若sin0,則則是是( )A.第一象限角第一象限角 B.第二象限角第二象限角C.第三象限角第三象限角 D.第四象限角第四象限角解析解析:sin0,是第一是第一 三象限的角三象限的角.是第三象限的角是第三象限的角.答案答案:C類型一類型一角的集合表示角的集合表示解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:(1)任意角任意角都可以表示成都可以表示成=+k360(0360,kZ).(2)并不是所有角都是某象限角并不是所有角都是某象限角,當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)當(dāng)角

12、的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí),它就不屬于任何象限它就不屬于任何象限.(3)相等的角終邊一定相同相等的角終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等終邊相同的角不一定相等,終邊相終邊相同的角有無數(shù)個(gè)同的角有無數(shù)個(gè),它們相差它們相差360的整數(shù)倍的整數(shù)倍.(4)注意注意“第一象限角第一象限角” “銳角銳角” “小于小于90的角的角”是是范圍不同的三類角范圍不同的三類角,需加以區(qū)別需加以區(qū)別.【典例典例1】 (1)如果如果是第三象限角是第三象限角,那么那么-,2的終邊落在何的終邊落在何處處?(2)寫出終邊在直線寫出終邊在直線 上的角的集合上的角的集合;(3)若角若角的終邊與的終邊與 角的終邊相同角的終邊相同,求在求

13、在0,2)內(nèi)終邊內(nèi)終邊與與 角的終邊相同的角角的終邊相同的角.分析分析 利用終邊相同的角的集合進(jìn)行求解利用終邊相同的角的集合進(jìn)行求解.3yx673 解解 (1)由由是第三象限角得是第三象限角得+2k +2k(kZ) -2k-2k(kZ).即即 +2k-+2k(kZ).-的終邊在第二象限的終邊在第二象限;由由+2k +2k(kZ)得得2+4k20),當(dāng)當(dāng)為多少弧度時(shí)為多少弧度時(shí),該扇形有該扇形有最大面積最大面積? 22 1l,S ,60r10,lcm,310110132323350,S3SS1010sin2cm. 弓弓扇解設(shè)弧長為 弓形面積為 222222212:c2rl2rr.rSr11222

14、2441,42162(2),.44,ccccc 扇解法一扇形周長當(dāng)且僅當(dāng)即舍去 時(shí) 扇形面積有最大值22ax2m2(),2111()2:2241,42162,2.21622rlc,rSl,S2cllcclrllcllcclccclcrc 解法二 由已知當(dāng)時(shí)此時(shí)當(dāng)扇形圓心角為當(dāng)扇形圓心角為2弧度時(shí)弧度時(shí),扇形面積有最大值扇形面積有最大值.類型三類型三三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:(1)任意角的三角函數(shù)值任意角的三角函數(shù)值,只與角的終邊位置有關(guān)只與角的終邊位置有關(guān),而而與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān)與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān);(2)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)中含字母時(shí)的坐標(biāo)中含字母時(shí),表表達(dá)達(dá)r時(shí)要注意

15、分類討論思想的應(yīng)用時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用.【典例典例3】 已知已知的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4a,3a)(a0),求求sin cos tan的值的值.分析分析 根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,應(yīng)首先求出點(diǎn)應(yīng)首先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的到原點(diǎn)的距離距離r,由于含有參數(shù)由于含有參數(shù)a,要注意分類討論要注意分類討論.22ra0,r5a,.sincost( 4 )(3 )5|.33,554433,.554an4aaayaraxayaraxa 解若角在第二象限a0,r5a,.sincosta343,.554n 若角在第四象限 反思感悟反思感悟 (1)當(dāng)角當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給

16、出時(shí)的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí),要根據(jù)問題的實(shí)際及解題的需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論要根據(jù)問題的實(shí)際及解題的需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.(2)熟記幾組常用的勾股數(shù)組熟記幾組常用的勾股數(shù)組,如如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等等,會給我會給我們解題帶來很多方便們解題帶來很多方便.(3)若角若角已經(jīng)給定已經(jīng)給定,不論點(diǎn)不論點(diǎn)P選擇在選擇在的終邊上的什么位置的終邊上的什么位置,角角的三角函數(shù)值都是確定的的三角函數(shù)值都是確定的;另一方面另一方面,如果角如果角終邊上一點(diǎn)終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)已經(jīng)確定坐標(biāo)已經(jīng)確定,那么根據(jù)三角函數(shù)定義那么根據(jù)三角函數(shù)定義

17、,角角的三角函數(shù)值也的三角函數(shù)值也都是確定的都是確定的.類型四類型四象限角與三角函數(shù)符號問題象限角與三角函數(shù)符號問題解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)的符號如下表三角函數(shù)的符號如下表正值口訣正值口訣:全正全正 正弦正弦 正切正切 余弦余弦.【典例典例4】 (1)如果點(diǎn)如果點(diǎn)P(sin cos,2cos)位于第三象限位于第三象限,試試判斷角判斷角的終邊所在的象限的終邊所在的象限.(2)若若是第二象限角是第二象限角,則則 的符號是什么的符號是什么?()(2 )sin coscos sin 分析分析 (1)由點(diǎn)由點(diǎn)P所在的象限所在的象限,知道知道sin cos,2cos的符號的符號,從而可求從而可求sin與

18、與cos的符號的符號.(2)由由是第二象限角是第二象限角,可求可求cos,sin2的范圍的范圍,進(jìn)而把進(jìn)而把cos,sin2看作一個(gè)用弧度制的形式表示的角看作一個(gè)用弧度制的形式表示的角,并判斷其并判斷其所在的象限所在的象限,從而從而sin(cos),cos(sin2)的符號可定的符號可定. 解解 (1)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限在第三象限,sin cos0且且2cos0,cos0,故故的終邊在第二象限的終邊在第二象限. (2)因?yàn)橐驗(yàn)槭堑诙笙藿鞘堑诙笙藿?所以所以cos0,且且-1cos0,即即cos是第四象限角是第四象限角,因此因此sin(cos)0;又又sin2=2sin cos0,所以

19、所以-1sin20.故故 ()0.(2 )sin coscos sin 反思感悟反思感悟 此處要正確理解此處要正確理解sin(cos)的含義的含義,sin(cos)中中,是把角是把角的余弦值的余弦值(一個(gè)實(shí)數(shù)一個(gè)實(shí)數(shù))作為一個(gè)角的弧度數(shù)作為一個(gè)角的弧度數(shù),求該角求該角的正弦值的正弦值,因此只需研究因此只需研究cos這個(gè)角的范圍這個(gè)角的范圍(所在象限所在象限)即即可可.錯(cuò)源一錯(cuò)源一 忽視表示區(qū)間角的不等式兩端的大小關(guān)系忽視表示區(qū)間角的不等式兩端的大小關(guān)系【典例典例1】 用集合表示終邊在陰影部分的角用集合表示終邊在陰影部分的角的集合的集合. 錯(cuò)解錯(cuò)解 由圖可知由圖可知,終邊落在射線終邊落在射線OA

20、上的角為上的角為2k+ (kZ),終邊落在射線終邊落在射線OB上的角為上的角為2k- (kZ).43所以終邊落在圖中陰影部分的集合為所以終邊落在圖中陰影部分的集合為|2k+ 2k- ,kZ.43 剖析剖析 上面集合中的關(guān)于角的不等式是一個(gè)矛盾的不等上面集合中的關(guān)于角的不等式是一個(gè)矛盾的不等式式,左邊的比右邊的大左邊的比右邊的大. 正解正解 由圖知由圖知,終邊落在射線終邊落在射線OA上的角為上的角為2k+ (kZ),終邊落在射線終邊落在射線OB上的角為上的角為2k+ (kZ).所以所以終邊落在圖中陰影部分的集合為終邊落在圖中陰影部分的集合為|2k+ 2k+ ,kZ.評析評析 利用終邊相同的角的表

21、達(dá)式表示區(qū)域角要把握兩條原利用終邊相同的角的表達(dá)式表示區(qū)域角要把握兩條原則則:(1)按逆時(shí)針方向書寫按逆時(shí)針方向書寫;(2)表示區(qū)域角的不等式兩個(gè)端點(diǎn)表示區(qū)域角的不等式兩個(gè)端點(diǎn)值的差必須是終邊落在兩條邊界射線值的差必須是終邊落在兩條邊界射線(或直線或直線)上的最小差上的最小差值值.453453錯(cuò)源二錯(cuò)源二 利用三角函數(shù)值符號判斷角的位置時(shí)利用三角函數(shù)值符號判斷角的位置時(shí),忽視軸線角而忽視軸線角而致錯(cuò)致錯(cuò)【典例典例2】 已知已知sin0,cos0,試確定試確定終邊的位置終邊的位置.錯(cuò)解錯(cuò)解 由由sin0知知,終邊在第一象限終邊在第一象限,或第二象限或第二象限,或或y軸的軸的非負(fù)半軸上非負(fù)半軸上;

22、又由又由cos0知知,終邊在第一象限終邊在第一象限,或第四象限或第四象限,或或x軸的非負(fù)軸的非負(fù)半軸上半軸上.故故終邊在第一象限終邊在第一象限.剖析剖析 錯(cuò)解的解答中由錯(cuò)解的解答中由sin0和和cos0確定確定終邊位置時(shí)終邊位置時(shí),分別遺漏了分別遺漏了x軸和軸和y軸的情形軸的情形,造成錯(cuò)誤造成錯(cuò)誤. 正解正解 由由sin0知知,終邊在第一象限或第二象限終邊在第一象限或第二象限,或或x軸軸,或或y軸的非負(fù)半軸上軸的非負(fù)半軸上;由由cos0知知,終邊在第一象限或第四象限終邊在第一象限或第四象限,或或y軸軸,或或x軸的非軸的非負(fù)半軸上負(fù)半軸上.故故終邊在第一象限終邊在第一象限,或或x軸的非負(fù)半軸上軸

23、的非負(fù)半軸上,或或y軸的非負(fù)半軸上軸的非負(fù)半軸上. 技法一技法一等分單位圓等分單位圓一一 單位圓的二單位圓的二 四等分法四等分法在單元圓中在單元圓中,當(dāng)角當(dāng)角=k+ 或或=k (kR)(此時(shí)此時(shí)|sin|=|cos|)時(shí)時(shí),其終邊分單位圓為二其終邊分單位圓為二 四等份的情況如四等份的情況如下圖下圖1 圖圖2.44表表1:大小關(guān)系大小關(guān)系sincossin|cos|sin|cos成立的成立的的取值范圍為的取值范圍為( )55.,.,4 244453.,.,4442ABCD 解析解析 由圖由圖1和表和表1可知此題選可知此題選B.答案答案 B二二 標(biāo)象限法標(biāo)象限法在單位圓中在單位圓中,當(dāng)角當(dāng)角= (kZ)時(shí)時(shí),角的終邊和坐標(biāo)軸重角的終邊和坐標(biāo)軸重合合,其終邊分單位圓為四個(gè)象限的情況如下圖其終邊分單位圓為四個(gè)象限的情況如下圖.2k表表2: 3.單位圓的八等分法單位圓的八等分法在單位圓中在單位圓中,當(dāng)當(dāng)= (kZ)時(shí)時(shí),其終邊分單位圓為八等其終邊分單位圓為八