第三章-靜電場及其邊值問題的解法

1、電磁場與波電磁場與波1電磁場與波電磁場與波2 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場基本方程與電位方程靜電場基本方程與電位方程 3.3 靜電場中的導體與電容靜電場中的導體與電容 3.4 靜電場的邊界條件靜電場的邊界條件 3.5 靜電場的邊值問題，惟一性定理靜電場的邊值問題，惟一性定理 3.6 鏡像法鏡像法 3.7 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相

2、互獨立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 電磁場與波電磁場與波3微分形式：微分形式：本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程積分形式：積分形式：3.1 靜電場的基本方程和電位方程靜電場的基本方程和電位方程由由f即靜電場即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù)標量函數(shù) 稱為稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。靜電場的標量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義3.1.2 電位定義電位定義電磁場與波電磁場與波42. 電位的表達式電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：面電荷的電位： 故得故得點電荷的電位：點

3、電荷的電位：線電荷的電位：線電荷的電位：Q例（例（1.4-31.4-3）電磁場與波電磁場與波53. 電位差電位差上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示；表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分

4、路徑無關(guān)。P、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有將將電磁場與波電磁場與波6 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則應使電位表達式有意義；應使電位表達式有意義；應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠作電位參考點；作電位參考點；同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參

5、考點。4. 電位參考點電位參考點為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即所以該點的電位也就具有確定值，即()CCfffff電磁場與波電磁場與波7在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在在無源區(qū)域無源區(qū)域，標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程2vf 020f導電物體上包含有效的尖點，則這些尖點處的電場導電物體上包含有效的尖點，則這些

6、尖點處的電場的大小與平滑部分的電場大小相比，結(jié)果如何？的大小與平滑部分的電場大小相比，結(jié)果如何？很多靜電場問題都是通過先求電位分布再來求電場分布。特別是，很多靜電場問題都是通過先求電位分布再來求電場分布。特別是，在大多實際靜電場問題中，空間中并不存在電荷，而只是在導體在大多實際靜電場問題中，空間中并不存在電荷，而只是在導體表面有面電荷分布，因而在空域中只需求解拉普拉斯方程。表面有面電荷分布，因而在空域中只需求解拉普拉斯方程。電磁場與波電磁場與波8bBaA兩個相連的導體球兩個相連的導體球例：一根細長導線將兩個半徑分別為例：一根細長導線將兩個半徑分別為a和和b的導體球連接起來，如右圖所示。的導體球

7、連接起來，如右圖所示。將此組合充電至帶電量將此組合充電至帶電量Q，求每個球，求每個球的帶電量和其表面電場強度。的帶電量和其表面電場強度。abQQQ 解解: 假定二導體球假定二導體球A、B相距很遠，相距很遠，使二球上的電荷仍為均勻分布；并使二球上的電荷仍為均勻分布；并且連線很細，其上電荷可略，即且連線很細，其上電荷可略，即 分別是分別是A A、B B球的帶電球的帶電量。量。aQ ,bQ對帶電量對帶電量Q Q的孤立導體球，容易求得球外離球心距離的孤立導體球，容易求得球外離球心距離r r處處M M點電場強點電場強度為度為24QErr取無窮遠處為電位參考點，則其電位為取無窮遠處為電位參考點，則其電位為

8、電磁場與波電磁場與波9由此，由此，A A，B B球表面的電位分別為球表面的電位分別為,44ababQQabff由于由于有細導線相連，二球的電位是相同有細導線相連，二球的電位是相同，即，即44abQQab考慮到考慮到 ，便可求得，便可求得abQQQ,ababQQ QQabab由由 知，知，A A，B B球表面的電場強度分別為球表面的電場強度分別為24QErr22,44()44()ababQQQQEEaa abbb ab關(guān)鍵點關(guān)鍵點電磁場與波電磁場與波 例例 3.1 求電偶極子的電位和電場強度。求電偶極子的電位和電場強度。 解解: 利用利用 在球坐標系中在球坐標系中用二項式展開，由于，得用二項式展

9、開，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示表示電偶極矩電偶極矩，方向由，方向由負電荷指向正電荷負電荷指向正電荷。+q電偶極子電偶極子zodq2r1rr),(frP221222(/ 2)cos(/ 2)cosrrdrdrrdrdrd12cos ,cos22ddrrrr(1)1axax 電偶極子電偶極子: :一對等值異號的電荷相距一對等值異號的電荷相距一個小的距離一個小的距離d電磁場與波電磁場與波11 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖 11 ()sinE rrrrrffff

10、30 ( 2cossin )4qdrr+qzodq2r1rr),(frP電偶極子電場的特點：電偶極子電場的特點：1.1.遠區(qū)電場按遠區(qū)電場按 反比變化；反比變化；3r3.3.無無 分量遠區(qū)電場具有軸對稱分量遠區(qū)電場具有軸對稱性（對稱軸為性（對稱軸為 ）。）。d2.2.各分量大小與方向各分量大小與方向 有關(guān)；有關(guān)；電磁場與波電磁場與波123.2 靜電場中的導體與電容靜電場中的導體與電容導體：含有大量自由電荷的物體。導體：含有大量自由電荷的物體。當導體至于靜電場中時，導體中將呈現(xiàn)當導體至于靜電場中時，導體中將呈現(xiàn)靜電感應現(xiàn)象靜電感應現(xiàn)象，形成導，形成導體中電荷的重新分布。在外加電場的作用下，正電荷

11、將沿電場體中電荷的重新分布。在外加電場的作用下，正電荷將沿電場方向、負電荷沿其反方向向?qū)w表面移動，同時，這些正負電方向、負電荷沿其反方向向?qū)w表面移動，同時，這些正負電荷又形成與外場反向的荷又形成與外場反向的二次電場來抵消電場的作用二次電場來抵消電場的作用。最終導致。最終導致導體中的導體中的合電場為零合電場為零，電荷運動停止，這種狀態(tài)稱為，電荷運動停止，這種狀態(tài)稱為靜電平衡靜電平衡。導體至于靜電場中時，導體中自由電荷的運動情況？導體至于靜電場中時，導體中自由電荷的運動情況？我們的討論都限于達到平衡狀態(tài)以后的現(xiàn)象。我們的討論都限于達到平衡狀態(tài)以后的現(xiàn)象。電磁場與波電磁場與波1.1.導體內(nèi)部各處

12、電場強度均為導體內(nèi)部各處電場強度均為0 02.2.導體內(nèi)部不存在任何凈電荷，電荷都以面電荷形式分導體內(nèi)部不存在任何凈電荷，電荷都以面電荷形式分布于導體表面布于導體表面3.3.導體為一等位體，其表面為等位面導體為一等位體，其表面為等位面4.4.導體表面切向電場為導體表面切向電場為0 0，而只有法向電場分量，而只有法向電場分量E En n133.2 靜電場中的導體與電容靜電場中的導體與電容靜電場中的導體具有以下特征：靜電場中的導體具有以下特征：電磁場與波電磁場與波14任何兩個導體都可看作一電容器任何兩個導體都可看作一電容器電容器廣泛應用于電子設備的電路中：電容器廣泛應用于電子設備的電路中： 在電子

13、電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用；路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜 電路；電路； 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率；減少電能的損失和提高電氣設備的利用率；如何求電容器的電容？如何求電容器的電容？電磁場與波電磁場與波15 電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng)電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng) 儲存電荷儲存電荷能力

14、能力的物理量。的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位f f的比值，即的比值，即1. 電容電容 孤立導體的電容孤立導體的電容例：例： 真空中半徑真空中半徑a的孤立帶電導體球，其表面電荷量為的孤立帶電導體球，其表面電荷量為q,則電位則電位f f？qCf04qaf電位參考點為電位參考點為無窮遠處無窮遠處04Ca電磁場與波電磁場與波16 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的導體組成的電容器，其電容為的導體組成的電容器，其電容為 電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)

15、有關(guān)，而與導體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導體的帶電量和電位無關(guān)。12qqCUfflsddlEsEC電磁場與波電磁場與波17(1) 假定兩導體上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q 和和 -q ； (2) 計算兩導體間的電場強度計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的步驟：計算電容的步驟： (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。 (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差；qCU或：或： (1) 假定兩導體間電壓假定兩導體間電壓U； (3) 根據(jù)根據(jù) 計算導體表面的電量；計算導體表面的電量； (2) 由由 ，求出電場強度，求出電場強度E； (4)

16、 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。qCU電磁場與波電磁場與波18 解：解：設內(nèi)導體的電荷為設內(nèi)導體的電荷為q q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的電場電場同心導體間的電壓同心導體間的電壓球形電容器的電容球形電容器的電容abo 例例3.2 同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a、外導體半徑為、外導體半徑為b，其，其間填充介電常數(shù)為間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容0011d()44baqqbaUE rabab04abqCUba當當 時，時，b 04

17、CaE rq4r2D rq4r2電磁場與波電磁場與波19 例例3.3 同軸線內(nèi)導體半徑為同軸線內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為為，外導體半徑為為b，內(nèi)外導體間，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導體間的電位差內(nèi)外導體間的電位差ll 解解: 設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為ab同軸線同軸線ln( / )2lb a12

18、F/mln( / )lCUb a電磁場與波電磁場與波20 例例 3.4 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的，兩導線的軸線距離為軸線距離為D，且，且D a，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。兩導線間的電位差兩導線間的電位差故單位長度的電容為故單位長度的電容為xyzxDal 解解: 設兩導線單位長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點理

19、，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電場強度為lDa001F/mln()ln()lCUDaaD a電磁場與波電磁場與波213.4 靜電場的邊界條件靜電場的邊界條件電場強度和電位移矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件電場強度和電位移矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件或或若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即S S0 0，則，則或或12120nnSttDDEE1212nnttDDEE若媒質(zhì)若媒質(zhì)1 1為介質(zhì)，媒質(zhì)為介質(zhì)，媒質(zhì)2 2為導體，則為導體，則或或110nstDE電磁場與波電磁場與波22介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1En 在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為

20、在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為0，則導體表面的，則導體表面的邊界條件為邊界條件為 或或 場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系 介質(zhì)與導體間的邊界條件介質(zhì)與導體間的邊界條件111111222222/tantan/tnntnnEEDEED 介質(zhì)介質(zhì)1 1111E導體n 特例：場量只有法向分量，即特例：場量只有法向分量，即1= 2 =0110nstDE注：媒質(zhì)注：媒質(zhì)1 1為介質(zhì)，媒質(zhì)為介質(zhì)，媒質(zhì)2 2為導體為導體電磁場與波電磁場與波 設設P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為?1和和? 2 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分

21、界面上無自由電荷，即 導體表面上電位的邊界條件：導體表面上電位的邊界條件：常數(shù)，常數(shù)，12ff2121Snnff0s2121nnffSnf f 靜電位靜電位的邊界條件的邊界條件由由 和和1f媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2fABDC當兩點間距離當兩點間距離l0時時,C與與D趨于同一趨于同一點，取作電位參考點點，取作電位參考點電磁場與波電磁場與波24 例例 3.5 無限長同軸線內(nèi)外導體半徑分別為無限長同軸線內(nèi)外導體半徑分別為a,b,外導體接地，內(nèi)外導體接地，內(nèi)導體電位為導體電位為U，內(nèi)外導體間部分填充介電常數(shù)為，內(nèi)外導體間部分填充介電常數(shù)為1的介質(zhì)，其余部的介質(zhì)，其余部分介電常數(shù)為分介電常數(shù)為2 ，

22、(a)圖中二介質(zhì)層分界面半徑為圖中二介質(zhì)層分界面半徑為c；(b)圖圖 扇形區(qū)域填充扇形區(qū)域填充1介質(zhì)。求內(nèi)外導體間的電場強度及內(nèi)外導體表面線介質(zhì)。求內(nèi)外導體間的電場強度及內(nèi)外導體表面線電荷密度電荷密度解解： (a) 利用高斯定理可得利用高斯定理可得不難看出，上述條件滿足分界面不難看出，上述條件滿足分界面=c處邊界條件：處邊界條件：l1011111,22llDDE 12ddcbacUEE abc12U當當ac:當當cb:22222,22llDDE 12nnDD(a)圖圖1211lnln2lcbac=?l電磁場與波電磁場與波25故將故將 用用U表示后得表示后得l12211lnlnlUcbac111

23、221,lnlnlnlnUUEEcbcbacac內(nèi)導體表面處為內(nèi)導體表面處為 ，外導體內(nèi)表面為，外導體內(nèi)表面為 。對外總電荷為。對外總電荷為0，可見外導體起了屏蔽作用?？梢娡鈱w起了屏蔽作用。l-l電磁場與波電磁場與波ab2U11(b)圖圖(b) 利用高斯定理可得利用高斯定理可得11111111 1,llDDE 當當102222122lDE 當當12111 1dlnblabUEa 從而得從而得1lnUEba2212dln2blabUEa 從而得從而得2lnUEba2212lD此結(jié)果表明，此結(jié)果表明， 處邊界條件成立處邊界條件成立12ttEE10,由前面二等式又得由前面二等式又得121 1122

24、,lnlnllUUbbaa 電磁場與波電磁場與波273.5 靜電場的邊值問題，惟一性定理靜電場的邊值問題，惟一性定理3.5.1 3.5.1 靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題邊值問題：在給定的邊界條件下，求解邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或位函數(shù)的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程分布型問題分布型問題給定場源分布，給定場源分布，求任意點場強或求任意點場強或位函數(shù)位函數(shù)邊值型問題邊值型問題給定邊界條件，給定邊界條件，求任意點位函數(shù)求任意點位函數(shù)或場強或場強靜態(tài)場問題靜態(tài)場問題第一類邊界條第一類邊界條件，狄利克雷件，狄利克雷問題問題第二類邊界條第二類邊界條件，諾伊曼問件，諾伊曼

25、問題題第三類第三類邊界條件邊界條件一、二類邊界條一、二類邊界條件的線性組合，件的線性組合，即即111|()Sf Sf、222|()SfSnf已知場域邊界已知場域邊界上各點電位的上各點電位的法向?qū)?shù)法向?qū)?shù)2|( )SfSnf已知場域邊界上各點電位值已知場域邊界上各點電位值1|( )Sf Sf電磁場與波電磁場與波28 自然邊界條件自然邊界條件 （無界空間）（無界空間） 周期邊界條件周期邊界條件 銜接條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如121f2frS2ff(2 )fffflimrrf有限值211221,-=snnffff電磁場與波電磁場與波29例：例：（第一類

26、邊值問題）（第一類邊值問題）0Ubaoxy0Ubaoxy0 xf0 xf（第三類邊值問題）（第三類邊值問題）例：例：22220 xyff(0, )0, ( , )0ya yff0( ,0)0, ( , )xx bUff22220 xyff00,0 xx axxff0( ,0)0, ( , )xx bUff電磁場與波電磁場與波30邊值型問邊值型問題解法題解法計算法計算法實驗法實驗法圖解法圖解法解析法解析法數(shù)值法數(shù)值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法鏡像法鏡像法分離變量法分離變量法復變函數(shù)法復變函數(shù)法格林函數(shù)法格林函數(shù)法電磁場與波電磁場與波313.5.2 惟一性定理

27、惟一性定理惟一性定理的重要意義惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法( (試探解、解析解、數(shù)試探解、解析解、數(shù)值解等）提供了理論依據(jù)值解等）提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)惟一性定理的表述惟一性定理的表述在場域在場域V 的邊界面的邊界面S上給定上給定 或或 的值，則空間中的場就惟的值，則空間中的場就惟一地確定了。一地確定了。 fnf靜電場邊值問題歸結(jié)于在給定邊界條件下靜電場邊值問題歸結(jié)于在給定邊界條件下求解泊松方程和拉求解泊松方程和拉普拉斯方程

28、普拉斯方程的問題。那么，在什么條件下方程的解是惟一的的問題。那么，在什么條件下方程的解是惟一的呢？呢？ 也就是說，也就是說，滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，惟一的，這就是這就是靜電場惟一性定理靜電場惟一性定理。電磁場與波電磁場與波32非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求解，能否用等效電荷的電位替代？解，能否用等效電荷的電位替代？1. 問題問題u接地導體板附近有接地導體板附近有一個點電荷，上半空一個點電荷，上半空間的電位？間的電位？q qqq非均勻感應電荷非均勻感應電荷等效電荷等效電荷 3.6 鏡像法鏡像法q q

29、u點電荷在空間中的點電荷在空間中的電位？電位？04qaf電磁場與波電磁場與波33 接地導體球附近有一個點電荷，如圖。接地導體球附近有一個點電荷，如圖。q q非均勻感應電荷非均勻感應電荷qq等效電荷等效電荷問題：這種等效電荷是否存在？問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理？非均勻感應電荷產(chǎn)生的非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求解，能否用電位很難求解，能否用等效電荷的電位替代等效電荷的電位替代電磁場與波電磁場與波342. 鏡像法原理鏡像法原理 用用位于場域邊界外位于場域邊界外虛設的較簡單的虛設的較簡單的鏡像電荷鏡像電荷分布來分布來等效替代等效替代該該邊界上未知的較為復雜的電荷

30、分布邊界上未知的較為復雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。得以明顯簡化的一種間接求解法。 在導體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不在導體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答是惟

31、一的解答。鏡像法正是巧妙地應用了這一基本原理、面向多。鏡像法正是巧妙地應用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)鏡像法的理論基礎(chǔ)解的惟一性定理解的惟一性定理電磁場與波電磁場與波35 鏡像電荷的鏡像電荷的個數(shù)個數(shù)、位置位置及其及其電量電量大小大小“三要素三要素” ；4. 鏡像法應用的鏡像法應用的關(guān)鍵點關(guān)鍵點5. 確定鏡像電荷的兩條原則確定鏡像電荷的兩條原則等效求解的等效求解的“有效場域有效場域”。鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定鏡鏡像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；像電荷必須

32、位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；鏡鏡像電荷的像電荷的個數(shù)個數(shù)、位置位置及及電荷量電荷量的大小以滿足所求解的場的大小以滿足所求解的場 區(qū)域的邊界條件來確定。區(qū)域的邊界條件來確定。電磁場與波電磁場與波361. 點電荷對無限大接地導體平面的鏡像點電荷對無限大接地導體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.6.1 接地導體平面附近的點（線）電荷接地導體平面附近的點（線）電荷鏡像電荷鏡像電荷電位函數(shù)電位函數(shù)q qhhq 有效區(qū)域有效區(qū)域RR q qh,qq hh 11()04qzRR（）RRfz00q=-q求此電荷在上半空間的場？求此電荷在上半空

33、間的場？44qqRRf邊界條件：邊界條件：z = 0時，時，f f=0P P(x,y,z)(x,y,z)P P0 0電磁場與波電磁場與波37上半空間上半空間( ( z0 ）的電位函數(shù)）的電位函數(shù)q qh 導體平面上的導體平面上的感應電荷密度感應電荷密度為為導體平面上的導體平面上的總感應電荷總感應電荷為為22222211( , , )4()()qx y zxyzhxyzhf(0)z Snf 2223 2d dd2()iSSqhx yQSxyh 222 3 200d d2()qhqh f 可見可見，鏡像電荷鏡像電荷 代替了導體表面所有感應電荷對上半空間代替了導體表面所有感應電荷對上半空間的作用。的

34、作用。q 求此電荷在上求此電荷在上半空間的電場強半空間的電場強度？度？導體平面上的總感應電荷為多少？導體平面上的總感應電荷為多少？222 3 22 ()qhxyh 2121Snnff0zzf 電磁場與波電磁場與波383.6.2. 導體劈間的點電荷導體劈間的點電荷 如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平板，點如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平板，點電荷電荷q 位于位于(d1, d2 )處。處。 顯然，顯然，q1 對平面對平面 2 以及以及q2 對平對平面面 1 均不能滿足邊界條件。均不能滿足邊界條件。對于平面對于平面1，有鏡像電荷，有鏡像電荷q1=q，位于，位于(d1, d2

35、 )對于平面對于平面2，有鏡像電荷，有鏡像電荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )處處再設置一再設置一鏡像電荷鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能，所有邊界條件才能得到滿足。得到滿足。電位函數(shù)電位函數(shù)q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d11231111()4qRRRR = /2 電磁場與波電磁場與波39導體劈間的點電荷在區(qū)間產(chǎn)生的電位？導體劈間的點電荷在區(qū)間產(chǎn)生的電位？4321011114rrrrqf222222122222223412,1212,12rxyz rxyzrxyz rxyz電磁場與波電磁場與波403xBCq2134

36、56qqqqq導體劈間的點電荷在區(qū)間產(chǎn)生的電位？導體劈間的點電荷在區(qū)間產(chǎn)生的電位？電磁場與波電磁場與波413xBCq213456qqqqq 輪流找出鏡像電荷及鏡輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合的鏡像電荷與原電荷重合為止。為止。，鏡像電荷的總數(shù)是對12 nNn只有只有n為整數(shù)時，最后鏡像才能和原電荷重合；為整數(shù)時，最后鏡像才能和原電荷重合；導體交角內(nèi)任一點的電場就等于導體交角內(nèi)任一點的電場就等于N個鏡像電荷與個鏡像電荷與原電荷在該點產(chǎn)生場的總和。原電荷在該點產(chǎn)生場的總和?？梢娍梢姡? 1N，; 53N，注意注意：; 32N，q12電磁場與波電

37、磁場與波42例 真空中，電量為 的點電荷位于點 處， 平面是一個無限大的接地導體板。求 軸上電位為 的點的坐標；計算該點的電場強度。C1)1 ,0 ,0(PxOyzV410解: 根據(jù)鏡像法可知上半空間的電位由406101111410),0 ,0(zzz可解得mz67.11)(1)(1421212222220hzyxhzyxqmz45.02電磁場與波電磁場與波43 當 時， 軸上的電場強度z1z) 1(1) 1(1410), 0 , 0(2206zzzzeE將 代入，得mz67.11) 167. 1 (1) 167. 1 (1410), 0 , 0(22061zzeEmz45.02將 代入，得當

38、 時， 軸上的電場強度z1z) 1(1) 1(1410), 0 , 0(2206zzzzeE) 145. 0(1) 145. 0(1410), 0 , 0(22062zzeE電磁場與波電磁場與波 鏡像法小結(jié)鏡像法小結(jié)* * 鏡像法的理論基礎(chǔ)是鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場惟一性定理靜電場惟一性定理；* * 鏡像法的實質(zhì)是用鏡像法的實質(zhì)是用虛設的鏡像電荷替代邊界上感應電虛設的鏡像電荷替代邊界上感應電荷荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；的分布，使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；* * 鏡像法的關(guān)鍵是鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)、位置及大小確定鏡像電荷的個數(shù)、位置及大?。?* * 應用鏡像法解題時，應用

39、鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求注意：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域，它只疊加時，要注意場的適用區(qū)域，它只對該區(qū)域等效。對該區(qū)域等效。電磁場與波電磁場與波453.7 分離變量法分離變量法 分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理采用正交坐標系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動采用正交坐標系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解方程的通解只有當場域邊界與正交坐標面重合只有當場域邊界與正交坐標面重合( (或平行或平行) )時，才可確定

40、時，才可確定積分常數(shù)，從而得到邊值問題的特解積分常數(shù)，從而得到邊值問題的特解電磁場與波電磁場與波4646解題的一般步驟：解題的一般步驟：(a)(a)根據(jù)邊界形狀選定坐標系，寫出對應的邊值問題（微分方根據(jù)邊界形狀選定坐標系，寫出對應的邊值問題（微分方程和邊界條件）；程和邊界條件）；(b)(b)分離變量，將一個偏微分方程分離成幾個常微分方程分離變量，將一個偏微分方程分離成幾個常微分方程, ,并并得出通解表達式；得出通解表達式；(c)(c)利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)，最終得到電位函數(shù)利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的特解。的特解。直角坐標系直角坐標系二維問題二維問題電磁場與波電磁

41、場與波47在直角坐標系中，位函數(shù)的拉普拉斯方程在直角坐標系中，位函數(shù)的拉普拉斯方程3.7.1 直角坐標系中的分離變量法直角坐標系中的分離變量法設設將其代入拉普拉斯方程，得將其代入拉普拉斯方程，得兩邊同除以兩邊同除以X(x) Y(y) ，有，有22220 xyff( , )( ) ( )x yX x Y yf2222d( )d( )( )( )0ddX xY yY yX xxy22221d( )1d( )0( )d( )dX xY yX xxY yy可得可得0122dxXdXx對于二維問題，位函數(shù)與對于二維問題，位函數(shù)與z無關(guān)，則拉普拉斯方程為無關(guān)，則拉普拉斯方程為2222222=0 xyzff

42、ff電磁場與波電磁場與波于是有于是有2221xkdxXdX2221ykdyYdY022yxkk注：注：寫為如下形式寫為如下形式2220 ( )xd Xk Xadx2220 ( )yd Yk Ybdy二者中一個為正值，另一個為負值，二者中一個為正值，另一個為負值，22,xyk k,xyk k二者中一個為實數(shù)，另一個為虛數(shù)。二者中一個為實數(shù)，另一個為虛數(shù)。電磁場與波電磁場與波(a)式具有一對共軛虛根式具有一對共軛虛根 ；(b)式具有一對反號實根式具有一對反號實根 。xjkxkY(y)CekxyDekxyC1chkxyD1shkxy11( )cossinxxjk xjk xxxX xAeBeAk x

43、Bk x2220 ( )xd Xk Xadx2220 ( )yd Yk Ybdy當當 時時000( )( )X xXxA xB000( )( )Y yY yC yD220 xykk當當當當2220,0 xyxkkk 2220,0yxykkk 11( )chshyyk xk xyyX xAeBeAk xBk xY(y)CejkyyDejkyyC1coskyyD1sinkyy無界區(qū)域無界區(qū)域有界區(qū)域有界區(qū)域(a)式具有一對反號實根式具有一對反號實根 ；(b)式具有一對共軛虛根式具有一對共軛虛根 。yjkyk電磁場與波電磁場與波50將所有可能的將所有可能的 f f (x,y)線性線性疊加起來，則得到

44、位函數(shù)的通解，即疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即通解中的待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。通解中的待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。00001( , )()()(cossin)(chsh)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk yf（方程： ）直角坐標系中解的形式的選擇直角坐標系中解的形式的選擇0222XkdxXdx電磁場與波電磁場與波51 例例3.6 一一矩形區(qū)域四壁的邊界條件如圖所示。求（矩形區(qū)域四壁的邊界條件如圖所示。求（a) a) 區(qū)域中區(qū)域中的電位函數(shù)，（的電位函數(shù)，（b b）區(qū)域中電場強度及）區(qū)域中電場強度及y=by=b壁上的面電荷密度。壁上的面電荷密度。 解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為件為故故位函數(shù)的通解應取為位函數(shù)的通解應取為0=0( ,0)0, ( , )020, ( , )sinxxx bya yUxbffff0fbaoxy0sin(2/ )Uy bf0 xf00001( , )()()(chsh)(cossin)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk yf22220 xyff電磁場與波電磁場與波52確定待定系數(shù)確定待定系數(shù)00,0nDCsin0nk b nnkb00,sin0nnCDk b(