高中生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力調(diào)查分析報(bào)告

1、高中生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力調(diào)查分析報(bào)告一道數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題目的解答情況廣州市47中學(xué) 段錦礦 510640摘要筆者在2004年5月參加了廣州市首屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽的評(píng)卷工作，對(duì)試卷壓軸題做了抽樣分析，從中對(duì)高中生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力進(jìn)行分析。通過(guò)對(duì)這道高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題解答情況的分析，我們了解到學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力的現(xiàn)狀不容樂(lè)觀。本文意圖從一道數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題目的解答情況看學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和能力關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽，抽樣分析高中新課標(biāo)的基本理念之一是“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”，并且提出高中數(shù)學(xué)課程要把數(shù)學(xué)建模的思想滲透在各模塊內(nèi)容之中，并在高中階段至少安排一

2、次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。那么當(dāng)前我國(guó)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力如何呢？日前，廣州市舉行了首屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽決賽，筆者有幸參加了閱卷工作并對(duì)其中一題的解答情況并作了抽樣分析，希望能對(duì)當(dāng)前高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和能力得到“管中窺豹”的了解。寫作背景：（1） 參加改卷工作（2） 改卷過(guò)程中做筆記（3） 改完后征得同意做抽樣一、抽樣題目的背景資料廣州市首屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽決賽舉行時(shí)間為2004年5月16日，參加人員為廣州市經(jīng)過(guò)初賽選拔的高二和部分高一高三學(xué)生，競(jìng)賽組織縝密，具有較高的信度。競(jìng)賽題目類型設(shè)置為選擇題、填空題和解答題各四道，題目?jī)?nèi)容涉及到高一和高二所學(xué)知識(shí)，考試時(shí)間為120分鐘，全

3、卷滿分100分。試卷情況介紹本文分析的題目為最后一題，分?jǐn)?shù)為15分，題目?jī)?nèi)容如下：某市教育局組織了一項(xiàng)競(jìng)賽，聘請(qǐng)了來(lái)自不同學(xué)校的數(shù)名教師做評(píng)委組成評(píng)判組。本次競(jìng)賽制定四條評(píng)分規(guī)則，內(nèi)容如下：（1） 評(píng)委對(duì)本校選手不打分。（2） 每位評(píng)委對(duì)每位參賽選手（除本校選手外）都必須打分，且所打分?jǐn)?shù)不相同。（3） 評(píng)委打分方法為：倒數(shù)第一名記1分，倒數(shù)第二名記2分，依次類推。（4） 比賽結(jié)束后，求出各選手的平均分，按平均分從高到低排序，依此確定本次競(jìng)賽的名次，以平均分最高者為第一名，依次類推。本次比賽中，選手甲所在學(xué)校有一名評(píng)委，這位評(píng)委將不參加對(duì)選手甲的評(píng)分，其他選手所在學(xué)校無(wú)人擔(dān)任評(píng)委。（）公布評(píng)分規(guī)

4、則后，其他選手覺(jué)得這種評(píng)分規(guī)則對(duì)甲更有利，請(qǐng)問(wèn)這種看法是否有道理？（請(qǐng)說(shuō)明理由）（）能否給這次比賽制定更公平的評(píng)分規(guī)則？若能，請(qǐng)你給出一個(gè)更公平的評(píng)分規(guī)則，并說(shuō)明理由。題目情況介紹本題是試卷中比較具有“數(shù)學(xué)建?！蔽兜赖囊活}，題目所要用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并不難，但需要學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型來(lái)衡量什么是“公平的評(píng)分規(guī)則”，為了建立數(shù)學(xué)模型，需要作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，最后還要對(duì)模型進(jìn)行討論和分析，對(duì)于“更公平的評(píng)分規(guī)則”，可以從不同的角度去入手，最后得出不同的修正方法，有“殊途同歸”之妙。這么一道比較適合高中生的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，學(xué)生解答情況如何呢？二、抽樣題目的量化分析抽樣方法。決賽共120個(gè)試室，每試室40人，共48

5、00人，筆者采取兩階段隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法，抽取03試室的01號(hào)，06試室的02號(hào)，3k試室的k號(hào)（0k40），樣本容量為40，同時(shí)記錄第12題得分和總分。對(duì)抽樣方法的討論。考慮到試室分布是按廣州市各區(qū)進(jìn)行關(guān)于抽樣的合理性排列的，且每區(qū)所占試室數(shù)為超過(guò)10個(gè)，上述第一階段抽取3k試室的方法會(huì)兼顧到各區(qū)?？紤]到可能試室座位編排可能會(huì)把成績(jī)好的同學(xué)排在前面，抽取固定座位號(hào)可能會(huì)有失偏頗，因此在第二階段的抽樣中分別抽取01，02，40號(hào)。關(guān)于樣本容量，根據(jù)從有限總體抽樣進(jìn)行平均數(shù)估計(jì)時(shí)樣本容量計(jì)算公式最大允許誤差）可得，在要求95%可信度的情況下，抽取40個(gè)樣本可以達(dá)到最大允許誤差為0.56，考

6、慮到本題總分為15分，這樣的誤差是可以接受的。抽樣結(jié)果與分析：總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)。根據(jù)總體方差未知時(shí)總體平均數(shù)估計(jì)方法，樣本平均數(shù)為1.725,樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=1.83，所以=0.293，查，所以.95的置信間距為1.7252.0210.293=1.13-2.31，即本題總體平均得分估計(jì)在1.13-2.31之間，作此結(jié)論正確的概率是95%，錯(cuò)誤的概率是5%。用樣本估計(jì)總體，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)方法，=0.207，因此總體方差.95的置信間距為1.8532.0210.207=1.39-2.31，即本題得分總體方差估計(jì)在1.39-2.31之間，作此結(jié)論正確的概率

7、是95%，錯(cuò)誤的概率是5%。由此我們可以看到，學(xué)生對(duì)于本題的解答情況是比較差的?？紤]到參賽的還是經(jīng)過(guò)初賽選拔的、數(shù)學(xué)成績(jī)相對(duì)較好的同學(xué)，因此高中生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力令人擔(dān)憂。筆者在閱卷的過(guò)程中對(duì)學(xué)生解答情況做了歸納，希望從這些典型的解答中對(duì)高中生建模意識(shí)和能力做一個(gè)質(zhì)性分析。量化分析與質(zhì)性研究結(jié)合三、高中生建模意識(shí)和建模能力質(zhì)性研究在閱卷過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)本題是一道開放性很強(qiáng)的好題，給學(xué)生留有很大的發(fā)揮空間，不少學(xué)生能從不同的角度來(lái)嘗試解決問(wèn)題，有不少好的解法。本文側(cè)重揭示從這道題反映出學(xué)生數(shù)學(xué)建模方面的問(wèn)題，總體上有以下方面：（1）數(shù)學(xué)閱讀能力差，誤解題意。數(shù)學(xué)閱讀能力正確閱讀、弄清

8、題意是解決問(wèn)題的前提，而在所抽取的40個(gè)樣本中有13個(gè)得分為零，不少學(xué)生為空白，究其原因可能除了時(shí)間因素（事實(shí)上兩個(gè)小時(shí)的時(shí)間較為充裕），學(xué)生對(duì)于較長(zhǎng)的文字表述產(chǎn)生畏懼心理、不能正確閱讀是重要因素。同時(shí)，一些學(xué)生由于不能正確理解規(guī)則（3），得出選手甲的平均得分為，其他選手的平均得分為，從而得出錯(cuò)誤結(jié)論，而實(shí)際上述應(yīng)該是選手甲所在學(xué)校的評(píng)委和其他評(píng)委所打的平均分。（2）理性思維有待加強(qiáng)。理性思維不少學(xué)生在正確理解題意的基礎(chǔ)上，提出了“規(guī)則對(duì)甲有利”的理由，例如：排名在甲前的同學(xué)少得了1分；甲所在學(xué)校的評(píng)委的評(píng)分總分比其他評(píng)委少；甲所在學(xué)校的評(píng)委不給其他選手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其

9、他選手高；相當(dāng)于甲所在學(xué)校的評(píng)委把最高分給了甲；甲少拿一個(gè)分?jǐn)?shù)，若少拿最低分，則有利；若少拿最高分，則不利；等等。以上各種想法都有道理，遺憾的是大部分學(xué)生僅僅停留在這些感性認(rèn)識(shí)和文字說(shuō)明上，沒(méi)能進(jìn)一步引進(jìn)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行理性的分析，因此數(shù)學(xué)建模意識(shí)很有待加強(qiáng)。（3）數(shù)學(xué)建模方法需要提高。數(shù)學(xué)建模方法建模之前，通過(guò)假設(shè)把所研究的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，明確模型中需要考慮的因素以及他們?cè)趩?wèn)題中的作用是非常必要的。作出必要的假設(shè)是數(shù)學(xué)建模方法中的重要一環(huán)，而在學(xué)生的解答中極少見到能作出假設(shè)的。事實(shí)上，本題作出“每位評(píng)委非常公正”和“在選手水平相同情況下，評(píng)委隨機(jī)打分”的假設(shè)是非常必要的，不少學(xué)生出現(xiàn)“

10、甲所在學(xué)校的評(píng)委會(huì)故意壓低其他選手的分?jǐn)?shù)，因而對(duì)甲有利”的理由就是這個(gè)原因，不作出這個(gè)假設(shè)，本題的討論就沒(méi)有意義了。如何衡量規(guī)則的公平性是本題的關(guān)鍵，也是建模的原則。很少有學(xué)生能夠明確提出這個(gè)原則，標(biāo)準(zhǔn)答案給的是“在隨機(jī)情況下，以每位選手所得平均分是否相等，來(lái)判定此評(píng)分規(guī)則是否公正”，實(shí)際上還有其他的衡量方法，例如“每位選手得某個(gè)分?jǐn)?shù)的概率是否相等”等。以上反映出學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟不夠明確，建模技巧需要提高。（4）數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)不盡人意數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)數(shù)學(xué)模型來(lái)源于生活，解決的是實(shí)際問(wèn)題，得到的結(jié)果和模型的修正都要符合實(shí)際，這是數(shù)學(xué)模型的重要思想。不少學(xué)生在第2問(wèn)評(píng)分規(guī)則的修正中，提出

11、“將甲所在學(xué)校的評(píng)委從評(píng)判組中剔除掉”，這種辦法違背實(shí)際的要求。而另一方面，不少學(xué)生被生活中一些現(xiàn)象誤導(dǎo)，提出“去掉最高分和最低分”的評(píng)分規(guī)則修正方法，而不去從數(shù)學(xué)的角度分析和研究。當(dāng)然，本題作為一個(gè)開放性的問(wèn)題，也給了學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造性的空間，不少學(xué)生都有精彩的表現(xiàn)，例如關(guān)于評(píng)分規(guī)則的修正，就有下列幾種方案：好的解法方案1：將選手甲所在學(xué)校評(píng)委的評(píng)分方法改為倒數(shù)第一名記1+分，倒數(shù)第二名記2+，依次類推；（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）方案2：將選手甲所在學(xué)校評(píng)委的評(píng)分方法改為在原來(lái)的基礎(chǔ)上乘以；方案3：對(duì)甲評(píng)分時(shí)，用其他評(píng)委的平均分計(jì)做甲所在學(xué)校評(píng)委的打分；方案4：對(duì)其他選手，隨機(jī)選取一位評(píng)委不打分，從而使每位選手打分人數(shù)相同；總之，通過(guò)對(duì)這道高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題解答情況的分析，我們了解到學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力的現(xiàn)狀不容樂(lè)觀。新課程標(biāo)準(zhǔn)給數(shù)學(xué)建模提出了更高的要求，也為中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展提供了很好的