大一下學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷及答案

1、大一第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請將合適的答案填在空中。1、已知球面的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為(2，-3，5和(4，1，-3，則該球面的方程為_2、 函數(shù)u =ln(x 在點(diǎn)A (1,0,1處沿點(diǎn)A 指向點(diǎn)B (3,-2, 2 方向的方向?qū)?shù)為3、曲面z =x 2+y 2與平面2x +4y -z =0平行的切平面方程為 4、(x , y (0,0lim (1-cos(x 2+y 2sin xy (x +y e2222x 2+y 2= 2z 5、設(shè)二元函數(shù)z =xy +x y ，則=_ x y 3二、選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，

2、每道小題3分）。以下每道題有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案是正確的，請選出合適的答案填在空中，多選無效。1、旋轉(zhuǎn)曲面x 2-y 2-z 2=1是（ ）x z （A ）O 坐標(biāo)面上的雙曲線繞Ox 軸旋轉(zhuǎn)而成；（B ）xOy 坐標(biāo)面上的雙曲線繞Oz 軸旋轉(zhuǎn)而成；（C ）xOy 坐標(biāo)面上的橢圓繞Oz 軸旋轉(zhuǎn)而成；x z （D ）O 坐標(biāo)面上的橢圓繞Ox 軸旋轉(zhuǎn)而成2、微分方程y ''+y =2x cos x +3x 2的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（ ） 其中a 1, b 1, a 2, b 2, d 1, d 2, d 3都是待定常數(shù).(A.x (a 1x +b 1 cos x +x (a 2x

3、 +b 2 sin x +d 1x ;(B.x (a 1x +b 1 cos x +x (a 2x +b 2 sin x +d 1x(C.x (a 1x +b 1(a 2cos x +b 2sin x +d 1x222+d 2x +d 3; 2+d 2x +d 3; (D.x (a 1x +b 1(cosx +sin x +d 1x +d 2x +d 33、已知直線L :x -22=y +1z 與平面:x +2y - z =4, 則 （ ） =2-2(A.L 在內(nèi); (B.L 與不相交;(C.L 與正交; (D.L 與斜交.4、下列說法正確的是（ ）(A 兩向量a 與b 平行的充要條件是存在唯

4、一的實(shí)數(shù)，使得b =a ；2z 2z (B 二元函數(shù)z =f (x , y 的兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)2, 2在區(qū)域D 內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)x y域內(nèi)兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)必相等；(C 二元函數(shù)z =f (x , y 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x 0, y 0處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微的充分條件；(D 二元函數(shù)z =f (x , y 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x 0, y 0處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微 的必要條件.2z 5、設(shè)z =f (2x +y , x -2y , 且f C （即函數(shù)具有連續(xù)的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），則=x y 2（ ）(A2f 11-2f 22-3f 12; (B2f 11+f 22+3f 12;(C2f 11+f 22

5、+5f 12; (D2f 11-2f 22-f 12.三、計(jì)算題（本大題共29分）1、（本題13分）計(jì)算下列微分方程的通解。(1（6分）y '=1+x +y +xy22(2（7分）y ''-3y '+2y =xe 2x2、（本題8分）設(shè)z =uv 2+t cos u ，u =e t ，v =ln t ，求全導(dǎo)數(shù)dz 。 dt3、（本題8分）求函數(shù)f (x , y =e 2x x +y 2+2y 的極值。(四、應(yīng)用題（本題8分）1、某工廠生產(chǎn)兩種型號的機(jī)床，其產(chǎn)量分別為x 臺和y 臺，成本函數(shù)為c (x , ，若市場調(diào)查分析，共需兩種機(jī)床8臺，求如何y =x 2+

6、2y 2-xy （萬元）安排生產(chǎn)使其總成本最少？最小成本為多少？五、綜合題（本大題共21分）y z x z +=1-=11、（本題10分）已知直線l 1：b c ，l 2：a c ，求過l 1且平行于l 2的x =0y =0平面方程2、（本題11分）設(shè)函數(shù)f (x , y , z =ln x +ln y +3ln z 在球面x 2+y 2+z 25=R (2x >0, y >0上求一點(diǎn), z >0 ，使函數(shù)f (x , y , z 取到最大值六、證明題（本題共12分）1、設(shè)函數(shù)u =x k F z , x y ，其中k 是常數(shù)，函數(shù)F 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)試x y x 證明:

7、xu u u z +y +z =kx k F , x y z x第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）1. 、 (x -3+(y +1+(z -1=21 2222、1 23、2x +4y -z -5=04、5、2y +3x ； 2二、選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分） 1（A ）2（B ）3（C ）4（C ）5（A ）三、計(jì)算題（本大題共29分）1、（1）解：將原微分方程進(jìn)行分離變量，得：d y =(1+x d x 21+y上式兩端積分得 ò 即 ： dy x2 = arctan y = ( 1 + x d x

8、= x + +c ò 2 1+ y2 x2 + c 其中 c 為任意常數(shù) 2 arctany = x + （2）解：題設(shè)方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 r 2 - 3r + 2 = 0, 特征根為 r1 = 1, r2 = 2, 于是，該齊次方程的通解為 Y = C1x + C2e2 x , 因 l = 2 是特征方程的單 根 ， 故 可 設(shè) 題 設(shè) 方 程 的 特 解 ： y* = x(b0 x + b1 e2 x . 代 入 題 設(shè) 方 程 , 得 2b0 x + b1 + 2b0 = x, 比較等式兩端同次冪的系數(shù),得 b0 = 1 , b1 = -1, 2 于是，求得題沒方程

9、的一個(gè)特解 y* = x( x - 1e 2 x . 從而，所求題設(shè)方程的通解為 y = C1e x + C2e2 x + x( x - 1e2 x . 1 2 1 2 2、解： ¶z ¶ = uv 2 + t cos u = v 2 - t sin u ， ¶u ¶u ¶z ¶ ¶z = uv 2 + t cos u = 2uv ， = cos u ¶v ¶v ¶t ( ) ( ) 依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)為 dz ¶z du ¶z dv ¶z dt = 

10、15; + × + × dt ¶u dt ¶v dt ¶t dt 1 = v2 - t s i n u e t + 2uv × + c o s u ×1 t 2 = ln 2 t - t sin e t e t + e t ln t + c o s et t ( ) ( ) 2x 2 ì ï f x ( x, y ) = e 2 x + 2 y + 4 y + 1 = 0 æ1 ö 3 、解：解方程組 í ，得駐點(diǎn) ç ,-1÷ 。由于 2x è

11、2 ø ï î f y ( x, y ) = e (2 y + 2) = 0 ( ) A = f xx (x, y ) = 4e 2 x x + y 2 + 2 y + 1 ，B = f xy (xy) = 4e 2 x ( y + 1)，C = f yy (x, y ) = 2e 2 x æ1 ö æ1 ö A = 2e > 0 ， B = 0， C = 2e ， AC - B 2 = 4e 2 ， 在點(diǎn) ç ,-1÷ 處， 所以函數(shù)在點(diǎn) ç ,-1÷ è2 

12、8; è2 ø e æ1 ö 處取得極小值，極小值為 f ç ,-1÷ = - 。 2 è2 ø ( ) 四、應(yīng)用題（本題 8 分） 1、解：即求成本函數(shù) c(x, y ) 在條件 x + y = 8 下的最小值 構(gòu)造輔助函數(shù) 解方程組 F (x, y ) = x 2 + 2 y 2 - xy + l ( x + y - 8 ì Fx¢ = 2 x - y + l = 0 ï í Fy¢ = - x + 4 y + l = 0 ï F¢ = x

13、+ y -8 = 0 î l 解得 l = -7, x = 5, y = 3 這唯一的一組解，即為所求，當(dāng)這兩種型號的機(jī)床分別生產(chǎn) 5 臺和 3 臺時(shí)，總 成本最小，最小成本為： c(5, 3 = 52 + 2 ´ 32 - 5 ´ 3 = 28 （萬） 五、綜合題（本大題共 21 分） 1、解：直線 l1 與 l 2 的方向向量分別為 r ì 1 1ü 1 1ü ì s1 = í0， ， ý ´ 1， 0， 0 = í0， ， - ý ， b cþ c b

14、4; î î r ì1 1ü 1ü ì1 s2 = í ， 0， - ý ´ 0， 1， 0 = í ， 0， ý ， cþ aþ îa îc r r r ì1 1 1ü 作 n = s1 ´ s2 = í ， - ， - 2 ý ， bc c þ î ca r ì1 1 1ü ， 0， c) ，則過點(diǎn) P1 且以 n = í ， - ， - 2 ý 為法向 取直線 l1 上的一點(diǎn) P 1 (0 bc c þ î ca x y z 量的平面 - - + 1 = 0 ， a b c 就是過 l1 且平行于 l 2 的平面方程 2、解：設(shè)球面上點(diǎn)為 ( x, y, z 令 L( x, y, z, l = ln x + ln y + 3ln z + l( x2 + y 2 + z 2 - 5R2 ， Lx = 1 1 1 + 2l x = 0, L