基于風(fēng)險價值投資決策問題分析

1、首先給出相關(guān)變量的定義和說明考慮由n種資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)集合，這些資產(chǎn)可以是股票、債券、期權(quán)等金融資產(chǎn)一個投資組合J由其在這些資產(chǎn)中的頭寸決定： 市場風(fēng)險因子v包括利率、匯率、股指、商品價格等： 投資組合x在給定風(fēng)險因子v下的價值為p(x，v)，它是關(guān)于x和v的一個復(fù)雜非線性函數(shù)(甚至是不連續(xù)的)實際中p(x，v)可以表示為： 當(dāng)組合中的資產(chǎn)都是股票時，可以簡化為頭寸與風(fēng)險因子的線性組合形式： 用v0表示t=0時風(fēng)險因子的價值，t=1時風(fēng)險因子的行為可由概率密度函數(shù)為f(v)的分布描述，則在t=l時的投資組合的價值均由概率密度函數(shù)為尹的分布表示： 用風(fēng)險因子的概率密度函數(shù)f(v)和投資組合的價值函

2、數(shù)p(x，y)表示，就是： 在實際中尋找這一分布函數(shù)極為困難，特別是當(dāng)投資組合包含數(shù)以百計的資產(chǎn)或p(x，y)為非線性形式時但研究關(guān)于該分布函數(shù)的逼近過程的文獻(xiàn)還是比較多。 現(xiàn)在給出投資組合x的VaR，用表示t=1時刻投資組合的期望價值： 選擇置信水平c,p * 示組合的最小價值： , 則由相對vaR定義: 考慮投資組合,其中xi是第i種資產(chǎn)的投資權(quán)重,在這種情況下，需要解決的是下述問題:。 問題：尋找使vaR 達(dá)到最小的投資組合x，它滿足下列條件： , 式中：p * (x)是關(guān)于的解；R為給定的預(yù)期收益。 問題求解的典型算法是梯度法。當(dāng)p(x,v)關(guān)于(x,v)可微，梯度px(x,v)和pv

3、(x,v)滿足Lipshitz條件，且時，有 式中：如果,否則， 因此,VaR的梯度計算涉及3個變量的估計，即 p * (x)積分和其中是投資組合的價值分布函數(shù)在y = p * (x)處的密度，它可以在計算VaR時自然求得。 2.基于歷史風(fēng)險價值的投資決策模型 我們考慮資產(chǎn)組合里所有金融資產(chǎn)為股票的情況，此時證券組合的收益率與組合的權(quán)重x成線性關(guān)系:。 式中:R為證券組合的收益率;Ri為第i種證券的期望收益率;m表示組合里有m種證券。 關(guān)于收益率的歷史數(shù)據(jù)可以表示為N種場景: ,其中,指歷史數(shù)據(jù)中第K時期末組合的收益率場景，而RK_i指歷蟲數(shù)據(jù)中K時期末組合中第t種證券的收益率，這里有兩點必須

4、說明:這些場景是由歷史數(shù)據(jù)構(gòu)成或者由某一概率函數(shù)得來的，對問題的說明并不重要，因為數(shù)據(jù)的由來并不對以下計算造成影響為了簡單起見，賦予每個場景以相同的權(quán)重.實際中，因為較遠(yuǎn)的歷史數(shù)據(jù)對組合的未米預(yù)期影響較小，所以比較遠(yuǎn)的場景賦予較小的權(quán)重，如果要采用不同的權(quán)重，下面的計算方法依然有效。 , , , 這樣，證券組合x的期望收益為: 對于場景RK證券組合的收益率為,一個固定的場景收益率與期望收益之差可表示為。因此，對具體的場景VaR值小于等于V可表示為: 取時間跨度為一周時，收益率指周收益率，置信度c=95%時，則所有場景中的95%都應(yīng)滿足上述條件。 令, , , 式中:表示不考慮此場景，j=1,N(c),因此，給定一個VaR值，要求確定收