數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納總結(jié)

1、高三總復(fù)習(xí)-數(shù)列一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。例：判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省參加高考的考生人數(shù)。（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （7，），數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （）。說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中

2、的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號(hào)：1 2 3 4 5 6項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。例：畫出數(shù)列的圖像.（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)

3、列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：例：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)：1根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。（4）9，99，999，9999 （5）7，77，777，7777，(6)8, 88, 888, 88882數(shù)列中，已知（1）寫出，； （2）是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？3（2003京春理14，文15

4、）在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_）內(nèi)。4、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng)：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式.（1）（4）（7）（ ）（ ）5.觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（ ），其通項(xiàng)公式為 .2條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)A40個(gè) B45個(gè) C50個(gè) D55個(gè)二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫

5、等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。例：等差數(shù)列， 題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，如果，則序號(hào)等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差數(shù)列，則為 為 （填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）題型三、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 ，成等差數(shù)列 即： （）例：1（14全國I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 （ ）A B C D2.

6、設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）A1 B.2 C.4 D.8題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；題型五、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列 )遞推公式： 例：1.如果等差數(shù)列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（2015湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（2015全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為

7、，若,則= 4.（2015重慶文）（2）在等差數(shù)列中，則的值為（ ）（A）5 （B）6 （C）8 （D）105.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（ ）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若 7.（2014全國卷理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則 8（2014全國）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn；9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項(xiàng)的和，則其公差等于( ) C. D.10.（2015陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 11（2013全國）設(shè)an為等差數(shù)列

8、，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。12.等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知 求通項(xiàng)；若=242，求13.在等差數(shù)列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知題型六.對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列：（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則偶奇； ；（2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則奇偶；。 題型七.對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為 。3已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前1

9、10項(xiàng)和為 4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，= 5（2015全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則A B C D題型八判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項(xiàng)法：是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 2.已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷4.已知一個(gè)數(shù)列的

10、前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷5.已知一個(gè)數(shù)列滿足，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷6.數(shù)列滿足=8， （） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；7（14天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列題型九.數(shù)列最值（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負(fù)分

11、界項(xiàng)，即：若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。 例：1等差數(shù)列中，則前 項(xiàng)的和最大。 2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知 求出公差的范圍， 指出中哪一個(gè)值最大，并說明理由。3（12上海）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6與S7均為Sn的最大值4已知數(shù)列的通項(xiàng)（），則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是 5.已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0？（2）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的值6.已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中，公差，若,求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值7.在等差數(shù)列中，求

12、的最大值題型十.利用求通項(xiàng)1.數(shù)列的前項(xiàng)和（1）試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？2已知數(shù)列的前項(xiàng)和則 3.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4.已知數(shù)列中，前和求證：數(shù)列是等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式5.（2015安徽文）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：。一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式1 在等比數(shù)列中,，則 2 在等比數(shù)列中,則

13、 3.（2014重慶文）在等比數(shù)列an中，a28，a164，則公比q為（ ）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比數(shù)列中，則= 5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則（ ）A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項(xiàng)，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.和的等比中項(xiàng)為( ) 2.（2013重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和=（ ） A B CD三、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1.（1）（2）（3）為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例：1

14、在等比數(shù)列中,和是方程的兩個(gè)根,則( ) 2. 在等比數(shù)列，已知，則= 3.在等比數(shù)列中，求若4.等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+ 5.（2014廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， （ ） A. B. C. D. 2.前項(xiàng)和公式例：1.已知等比數(shù)列的首相，公比，則其前n項(xiàng)和 2.已知等比數(shù)列的首相，公比，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n趨近與無窮大時(shí)，其前n項(xiàng)和 3.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已，求和4（2015年北京卷）設(shè)，則等于（ ）AB C D5（2014全國文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q；6設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn

15、+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .3.若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列.例：1.（2014遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.32.一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為（ ）A83 B108 C75 D633.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且 4.等比數(shù)列的判定法（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列； （4）前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。 為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷

16、2.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷5.利用求通項(xiàng)例：1.（2015北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 2.（2015山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列滿足：， 求；2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3.數(shù)列滿足=8，

17、（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5. 設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項(xiàng)公式6. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。7. 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式8. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；9. 已知數(shù)列滿足 （），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；10. 已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；11. 已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；12.數(shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)公式= （2）累加法1、累加法 適用于： 若，則 兩邊分別相加得 例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4. 設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通

18、項(xiàng)公式（3）累乘法適用于： 若，則兩邊分別相乘得，例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足，求。3.已知， ，求。（4） 待定系數(shù)法 適用于解題基本步驟：1、 確定2、 設(shè)等比數(shù)列，公比為3、 列出關(guān)系式4、 比較系數(shù)求，5、 解得數(shù)列的通項(xiàng)公式6、 解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例：1. 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. （2015，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_3.（2014. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)5. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)6.已知數(shù)列中，,，求7. 已知數(shù)列滿足

19、，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 8. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足9. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（5）遞推公式中既有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。1. （2015北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 2.（2015山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列3已知數(shù)列中，前和求證：數(shù)列是等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式4. 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（6）倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（7）對(duì)無窮遞推數(shù)列消項(xiàng)得到第與項(xiàng)的關(guān)系例：1. （2014年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。2.設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)；五、數(shù)列求和1直接用等差、等比