2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)理數(shù)答案解析(正式版)(解析版)

1、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料金戈鐵騎整理制作2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(理科)一. 選擇題：本大題共8個小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .若集合M=x|(x+4)(x+1)=0,N=(x|(x-4)(x-1)=0)，則M門N=A.0B.-1,-4C.0D.1,4【答案】A.【解析】因為*=3(.y+41f11=TTfX-y(x4|(.y-11=0!=IL4；所以=故選土【考點定位】本題考查一元二次方程、集合的基本運(yùn)算，屬于容易題.2. 若復(fù)數(shù)z=i(32i)(i是虛數(shù)單位)，則Z=A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3【

2、答案】D.【解析】因為z=i(32i)=2+3，所以Z=23i，故選D.【考點定位】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于容易題.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是A.y=x+exB.y=x+】C.y=2x+D.y=J+x2x2x【答案】A.【解析】令f(x)=x+ex，貝Uf(1)=1+e,f(1)=1十M即f(1尹f(1),f(_1)#_f(1)，所以y=x+ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而BCD依次是奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，故選A.【考點定位】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于容易題.4.袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球。從袋中任取2個球，所10C.215D.21取

3、的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為11B.21【答案】B.【解析】從袋中任取2個球共有C25=105種，其中恰好1個白球1個紅球共有C110C5=50種，所以恰好1個白球1個紅球的概率為9=匹，故選B.10521【考點定位】本題考查排列組合、古典概率的計算，屬于容易題.5.平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是A.2x-y+/5=0或2x-y_V5=0b.2x+y+V5=0或2x+y_T5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0【答案】D.t解析】設(shè)所求切級方程為2;r+i+c=0,依題有!.-+j=5/5:解得c=所以所

4、求切線的直線方程為2x+y+5=0或5=0,故選Z).【考點定位】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于容易題.6.若變量x,y滿足約束條件26,30,34,對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,3443*36,37,44,43,37；由)可得其樣本的均值為+34433?=40,9萬差Kj1I4440II40一40)j3640)(43d。)I3640)(3；一40)(4440)rr一r11|Afl-I43-40?-137-40*=-4-0-f-4)*-3-I-4)*-(-3)*-V-f-3l*=；/J9-r_9由口)知s=,321二工一5=36一,x-s=43-(33二年齡在與上之間共有翌人，所占百分

5、比為三*63.89。礦36【考點定位】本題考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計等知識，屬于中檔題.(本小題滿分14分)如圖2,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3.點E是CD邊的中點，點F、G分別在線段AB、BC上，且AF=2FB,CG=2GB.（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）里;（3）9/5.325【解析】（1）證明：PD=PC且點E為CD的中點，PE_LDC,又平面PDC_L平面ABCD，且平面PDC平面ABCD=CD,PEu平面PDC,.PE_L平面ABCD，又FGu平面ABCD,-pe_l

6、fg；ABCD是矩形，AD_LDC,又平面PDC_L平面ABCD，且平面PDCD平面ABCD=CD,ADu平面ABCD,-AD_L平面PCD,又CD、PDu平面PDC,AD_LDC,AD_LPD,ZPDC即為二面角PADC的平面角，在RUPDE中，PD=4,DE=1AB=3,PE=JpD2-DE2=77,2PE7_,_.7-tan/PDC=言-即二面角PADC的正切值為-y;如下圖所示，連接AC,.AF=2FB,CG=2GB即墮=四=2,FBGBAC/FG,ZPAC為直線PA與直線FG所成角或其補(bǔ)角，在ZiPAC中，PA=JPD2+AD2=5,AC=AD2+CD2=3右，P由余弦定理可得2 _

7、2_22PAAC-PCcosYPAC=PAAC直線PA與直線FG所成角的余弦值為9.525【考點定位】本題考查直線與直線垂直、二面角、異面直線所成角等知識，屬于中檔題.18. (本小題滿分14分)設(shè)a1，函數(shù)f(x)=(1+x2)exa。(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間；證明：f(x)在(-，田)上僅有一個零點；O是坐標(biāo)若曲線y=f(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M(m,n)處的切線與直線OP平行原點),證明：mMa-2-1.e【答案】(1)(Q,E);(2)見解析；(3)見解析.2【解析】(1)依題(x)=(1+xJe+(1+x)(eJ=(1+x)e芝0,f(x)在(q,e是單調(diào)增函數(shù);1

8、1,/.y(0)ld。得初A。，由gim|0JM1-*幻刑=溉。！=。，即1陋心0在其上恒成立,二=|1一初2地#(1+洲)(1-WJ|(1+e【考點定位】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、零點、不等式等知識，屬于中高檔題.20.(本小題滿分14分)已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點：若存在，求出k的取值范圍;若不存在，說明理由【答案】(3,0)；(2)j3)+y2=9|Px3);(3)4一注I-斐竺I2y43.4，_7，7

9、【解析】(1)由x2+y26x+5=0得(x3)+y2=4,-圓Ci的圓心坐標(biāo)為（3,0）;（2）設(shè)M（x,y）,貝U點M為弦AB中點即C1M_LAB,kMkAB:=_1即工，y=_i,x-3x線段AB的中點M的軌跡的方程為x-3I+y2=8Ex壬3I;2y43（3）由（2）知點M的軌跡是以C.,0|為圓心r=?為半徑的部分圓弧EF（如下圖所示，不包括兩端點），22y=k(x4)過定點D(4,0),2.5525且E,F,，又直線L:333L3k-4-02當(dāng)直線L與圓C相切時，由,k2123.一3=一礙k=-,又kDE=kDF24圖可知當(dāng)k擊332扼2扼1時直線L：y=k(x4)與曲線C只有一個

10、交點.4,4=7，7【考點定位】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程、直線斜率等知識與數(shù)形結(jié)合思想等應(yīng)用，屬于中高檔題.21.(本小題滿分14分)數(shù)列an滿足a1+2a2十+nan=4,gN*.(1) 求a3的值；求數(shù)列an前n項和Tn；令燈=a，bn+i+】+l+,+lan(nN2),證明：數(shù)列板的前n項和SnnI23nJ滿足Sn1時，nav-1a-2a，昭I-a-2a.Hj-11I=4-：4山L*L*鼻)blITr*l_b與=i*又=4二=1也適合此式,!2?2W/-數(shù)列混是首項為1,公比為L的等比數(shù)列，故Tr=-(3)依題由bn=a/a2：E十&圳an知心,b2=X1京2,.11-、11*1n

11、、一1點一口“!=1工一.2lb1*2n*I2nn記/(x)=lnx+-l(xlIj則/|a=-Ir=40，xxx*x*二F(x)在(L-gl上是嚕齡，又/(ll-0即fG。，又Jt2且kwJV*時一1,k-1氐、k1Jr1fIn；一1a0即In一j3-L41kk-kk-,1121-311Flnn-111123tn.In一in9j、cinpNbInIn-ill=In92132?2n-123n12n-l111、2x12-21n(SP5,2+2111.(23n)n【考點定位】本題考查遞推數(shù)列求項值、通項公式、等比數(shù)列前n項和、不等式放縮等知識，屬于中高檔題.22所以所求雙曲線方程為4-匕=1,169【考點定位】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單基