專題函數(shù)的周期性

1、專題函數(shù)的周期性知識點(diǎn)精講1 .周 期函數(shù)的定 義：對 于f (x)定義域內(nèi) 的每一個x ,都存在非零 常數(shù)T ,使得f(x T) f(x)恒成立，則稱函數(shù) f(x)具有周期性，T叫做f (x)的一個周期，則 kT(k Z,k 0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期.周期函數(shù)的定義域一定是無限集2性質(zhì)若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數(shù)f(x)的周期為T,則f( x) (0)是周期函數(shù)，且周期為 工。I I3.幾種特殊的具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)y f x滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù) x (其中a 0為常數(shù))(l)fx fxa,

2、則 y f x 的周期 T a .(2)fxa fx,則 fx 的周期 T 2a .1(3) f x a ,則 f x 的周期 T 2a .f x(4) f x a f x a ,則 f x 的周期 T 2a . f(x a) 1 f(x),則 f x 的周期 T 2a .1 f(x)(6) f(x a) 1 f(x),則 f x 的周期 T 4a 數(shù).1 f(x) f(x a) 1 f(x),則 f x 的周期 T 4a . 1 f(x)(8)函數(shù)y f (x)滿足f(a x) f (a x) ( a 0),若f(x)為奇函數(shù)，則其周期為T 4a ,若f (x)為偶函數(shù)，則其周期為 T 2a

3、 .(9)函數(shù)y f (x) x R的圖象關(guān)于直線 x a和x b a b都對稱，則函數(shù)f(x)是以2 b a為周期的周期函數(shù).(10)函數(shù)y f(x) x R的圖象關(guān)于兩點(diǎn) A a, yo、B b, yo a b都對稱，則函數(shù)f(x)是2 b a為周期的周期函數(shù).(11)函數(shù)y f (x) x R的圖象關(guān)于 A a, y0和直線x b a b都對稱，則函數(shù)f(x)是以4 b a為周期的周期函數(shù).(12) f(x a) f(x) f (x-a),則 f (x)的周期 T 6a.二典例解析1 .設(shè) f(x)是(一8, +OO)上的奇函數(shù)，f(x+2)= f(x)，當(dāng) ow xW 1 時，f(x)

4、=x ，則 f=()D. b|(b a)對稱，則f(x)的一個周期為()b aC. baD. 4(b a)2f(x), f (1) 2 ,則 f (5) 2) f(x),則 f(2008)=A.0.5 B. 0.5a2 .右y=f (2 x)的圖像關(guān)于直線 x 和x2a bA abB. 2(b a)23 .已知f(x)在R上是奇函數(shù)滿足f (x 3)4 .已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x例5.已知函數(shù)y f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T 5,函數(shù)y f (x)( 1 x 1)是奇函數(shù)，又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x 2時函數(shù)取得最小值5。y

5、f(x)在4,9上證明：f(1) f(4) 0；求y f (x),x 1,4的解析式；求的解析式。9、函數(shù)yf(x)定義域為R,且恒滿足f (x 2)f(2 x)和f(6 x) f(6 x),當(dāng)1，、2 x 6時，f(x) 2 x,求 f(x)解析式。210、已知偶函數(shù) y f(x)定義域為R,且恒滿足f(x 2)f(2 x),若方程f(x) 0在0,4上只有三個實根，且一個根是 4,求方程在區(qū)間8,10中的根。附參考答案:1 丁2： (1,0) 丁3： X 1T4： y軸即X 0 T5：y軸X 1丁9： f(X)丁6： X12T7 ： CT8 ：1 (X 8k)21-(x 8k) 22(8k

6、 2 x 8k 2,k Z)(8k 2 x 8k 6,k Z)T10 ：方程的根為& 4、 2、0 2、4&S10 共 9 個根。2 . f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(1) 0,則方程f(x) 0在區(qū)間(0,6)內(nèi) 解的個數(shù)的最小值是()A.5B. 4C. 3 D.24 . f(x)是偶函數(shù)，且 f(0) 993，又 g(x) f (X 1)為奇函數(shù)，則 f(1992)= 6 .數(shù)列an中 a1 1,a2 5,an 2 an 1 an,則 22006 7已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)X (0,1)時，f(X 1) X 1.求f(x)在(1,2)上 的解

7、析式。8 f(x)的定義域是 R,且 f(x 2)1 f (X) 1 f(x)，若 f(0) 2008，求 f(2008)的值。9 .已知函數(shù) f(x)滿足 f(x 1) 1一f(M ,若 f(0) 2004,試求 f (2005)。1 f(x)log2(1 X),X 0(2009山東理)10.定義在R上的函數(shù)f(x )滿足f( x)=，則ff(x 1) f (X 2),x 0(2009)的值為()8. 0C.1 D. 2【解析】：由已知得 f( 1) 10g2 2 1, f(0) 0, f(1) f (0) f( 1)1 ,f(2)f(1) f(0)1, f(3)f(2)f(1)1 ( 1)

8、 0,f(5) f(4) 0,f(4)f(3) f(2) 0 ( 1) 1, f(5)f(4)f(3) 1, f(6)所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f (2009) = f (5) =1，故選C.(2009山東理)16.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x 4) f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間 8,8上有四個不同的根x1,x2, x3,x4 ,則x1 x2 x3 x4 【解析】：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f (x 4) f(x)，所以f(x 4) f( x),所以,由f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x 2對稱且f (

9、0) 0,由f(x 4) f(x)知f(x 8) f(x),所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為f (x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)所以f (x)在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間 8,8上有 四個不同的根x1,x2,x3,x4,不妨設(shè)x1x x3x4由對稱性知x1x212x3x4 4所以 x x2 x3 x4 12 4 8答案:-8(2009全國一)(11)函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x 1)與f(x 1)都是奇函數(shù)，則(D ),(A) f(x)是偶函數(shù) (B) f(x)是奇函數(shù) (C) f (x) f(x 2) (D) f (x 3)是奇函數(shù)

10、解：f(x 1)與 f (x 1)都是奇函數(shù)，f( x 1) f (x 1), f( x 1) f(x 1),函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0),及點(diǎn)(1,0)對稱，函數(shù)f(x)是周期T 21 (1) 4的周期函數(shù).f( x 1 4) f(x 1 4), f( x 3)f(x 3),即f (x 3)是奇函數(shù)。故專題函數(shù)對稱性一知識點(diǎn)精講：I函數(shù)y f(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若f(x a) f(x b),則f (x)具有周期性；若f(a x)f(b x),則f(x)具有對稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”1、f (a x) f (b x)f(x)圖象關(guān)于直線x (a x) (b x)

11、-ab對稱 22推論1： f(a x) f (a x) y f(x)的圖象關(guān)于直線x a對稱推論 2、f (x) f (2a x) y推論 3、f( x) f(2a x)2、f (a x)f (b x)2c推論 1、f (a x) f (a x) 2b推論 2、f (x) f (2a x) 2b推論 3、f( x) f(2a x) 2bf (x)的圖象關(guān)于直線x a對稱y f(x)的圖象關(guān)于直線x a對稱yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a b c)對稱2，yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱y f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱II 兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)

12、(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)1、y f (x)與y f ( x)圖象關(guān)于Y軸對稱2、y f (x)與y f ( x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)3、函數(shù)y f(x)與yf(x)圖象關(guān)于X軸對稱4、函數(shù)yf(x)與其反函數(shù)y f1(x)圖象關(guān)于直線y x對稱b a5.函數(shù)yf (a x)與y f (b x)圖象關(guān)于直線 x 對稱2推論1：函數(shù)y f (a x)與y f (a x)圖象關(guān)于直線x 0對稱推論2：函數(shù)y”*)與丫 f (2a x)圖象關(guān)于直線x a對稱推論3：函數(shù)y f ( x)與y f (2a x)圖象關(guān)于直線x a對稱典例解析:1、定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)f(x)恒滿足f (1

13、 x)f(1 x),且 x ( 1,0)時,x1 一f(x) 2x ,則 f(log2 20)5解析：y f(x)關(guān)于直線x 1對稱，f( x) f (2 x),又是f(x)奇函數(shù)，f( x) f(x)故 有f(2 x) f (x)T 4,f (log 2 20) f (log 2 204)5 f(l0g 2 4)4 f(lOg25)5log 2-124-152、已知函數(shù)y f(x)滿足f (x)f(2 x) 0,則y f(x)圖象關(guān)于對稱。解析：這是一個函數(shù)的對稱性，由上述結(jié)論知 y f(x)圖象關(guān)于(1,0)對稱3、函數(shù)y f (x 1)與函數(shù)y f (1 x)的圖象關(guān)于關(guān)于 對稱。解析：

14、這是兩個函數(shù)的對稱性，兩函數(shù)的圖象關(guān)于x 1對稱4、設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域為 R,且?t足f(x 1) f (1 x),則y f(x)的圖象關(guān)于對稱。解析：這是一個函數(shù)的對稱性，y f(x)的圖象關(guān)于y軸即x 0對稱5、設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為 R且?足f (x 1) f (1 x),則y f (x 1)的圖象關(guān)于 對稱。解析：y f(x)關(guān)于直線x 1對稱，y f (x 1)是由y f (x)向左平移一個單位得到的，故y f (x 1)的圖象關(guān)y軸對稱6、設(shè)y f(x)的定義域為 R,且對任意x R,有f(1 2x) f (2x),則y f(x)關(guān)于對稱， yf (2x)圖象關(guān)于 對稱

15、，。1解析：令t 2x,則有f(1 t) f (t) y f(t)關(guān)于直線t 即y f(x)關(guān)于21 11x 一對稱，y f (2x)是由縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?，y f(2x)關(guān)于x 2 24對稱。7、已知函數(shù)y f(x)對一切實數(shù)x滿足f(2 x) f(4 x),且方程f(x) 0有5個實根，則這5個實根之和為()A、 5 B 、 10 C 、 15 D 、 18解析：y f(x)的圖象關(guān)于直線x 3對稱，故五個實根，有兩對關(guān)于直線x 3對稱，它們的和為12,還有一個根就是 3。故這5個實根之和為15,正確答案為 C8、設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域為R,則下列命題中，若y f(x)是偶

16、函數(shù)，則y f(x 2) 圖象關(guān)于y軸對稱；若y f(x 2)是偶函數(shù)，則y f(x)圖象關(guān)于直線x 2對稱； 若f(x 2) f (2 x),則函數(shù)y f(x)圖象關(guān)于直線x 2對稱；y f(x 2)與 y f (2 x)圖象關(guān)于直線x 2對稱，其中正確命題序號為 。解析： 錯y f(x 2)關(guān)于直線x 2對稱， 對 錯 若f(x 2) f (2 x), 則函數(shù)y f (x)圖象關(guān)于直線x 0對稱； 對第十五講知識點(diǎn)精講：抽象函數(shù)問題1所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用 一種符號表示的函數(shù)。由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函數(shù)問題，這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中

17、的一個難點(diǎn)，也是各種考試測評的熱點(diǎn)問題之一。研究發(fā)現(xiàn)，由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，聯(lián)想已學(xué)過的基本函數(shù)，再由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測、猜想抽象函數(shù)可能有的相關(guān)結(jié)論，是使抽象函數(shù)問題獲解的一種有效方法。2中學(xué)階段常用抽象函數(shù)f(x)的“原型”(函數(shù))1. f (x y)f (x) f (y)y kx(k 為常數(shù))2. f (x y)f (x) f(y)y=ax(a0且 a1)3. f (xy) f(x) f (y)y loga x(a 0 且 a 1)4. f (xy) f(x)f (y) yxn(n 為常數(shù))5. f(x) f(y) 2f()f(x)或22常數(shù))f (x y) f (x y) 2 f

18、 (x) f (y) y =cos x (6. f (x) f(x) f(y)1 f(x)f (y)y =tan x方法：想具體函數(shù)的運(yùn)算法則，代特殊值。二.典例解析例 1.設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f(x) f (y) 2fGxy)f Gxy),且 f ()=0, x、y CR；求222證：f(x)為周期函數(shù)，并指出它的一個周期.例2.已知函數(shù)f (x)對于任意實數(shù)x、y都有f (x y) f (x) f (y),且當(dāng)x >0時，f (x)>0, f(-1)=-2 , (1)求證f(x)在R上的奇函數(shù)。 (2) 求證f(x)在R上的增函數(shù) (3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-2 , 1上的

19、值域。時，f (x) > 1例3.已知函數(shù)f (x)對于一切實數(shù)x、y滿足f(0)w0, f (x y) f (x) f (y),且當(dāng)x <0(1)當(dāng)x>0時，求f(x)的取值范圍(2)判斷f (x)在R上的單調(diào)性例4.已知函數(shù)f (x)定義域為(0,+8)且單調(diào)遞增，滿足f (4)=1 , f(xy) f (x) f(y)(1)證明：f (1)=0 ; (2)求 f (16) ; (3)若 f (x) + f ( x-3尸 1,求 x 的范圍； (4)試證 f ( xn )= n f (x) ( n C N)例5.已知函數(shù)f(x)對于一切正實數(shù) x、y都有f(xy) f (

20、x)f(y)且x>1時，f(x)<1,1f (2)= -9(1)求證：f (x) >0;(2)求證：f(x1) f (x) 1(3)求證：f (x)在(0, +oo)上為單調(diào)減函數(shù)(4)若f(m)=9,試求m的值。三課堂檢測例2.(2006安徽)1函數(shù)f x對于任意實數(shù)x滿足條件f x 2，若f 15,則f f 5f x1.(2006山東)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f (x 2) f(x),則f (6)=()A ) -1B 0 2.(2007啟東質(zhì)檢)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f (2)=0 ,對任意x C R,者B有f(x+4)=f (x)+f (4)

21、成立，貝U f (2006)=()A. 4012B3.已知y=f (2 x+1)是偶函數(shù),則函數(shù)=1=2.2006 C . 2008y=f(2x)的圖象的對稱軸是(1=2D. 0124.已知f(x)是偶函數(shù)，x R,當(dāng)x 0時，f(x)為增函數(shù)，若x1 0,x2 0,且|x1| |x2|,A f(Xi)f(x2)B f (Xi)f(x2)Cf(x1) f (x2)Df (Xi) f ( X2 )5.(2006 安徽)函數(shù)f (x)對于任意實數(shù)x滿足條件1a，,f (x 2) ,若 f(1)= -5,則 f(x)f(f(5)=f(b)， f(1)6 .已知函數(shù)f(x)滿足：f(a b) f (a

22、).2_.2_.一.2.一f (2)f(4)f (3)f(6)f (4)f (8)f(3)ff7 已知函數(shù) f (x)對一切 x, y R,都有 f(x y) f (x) f (y),x=1對稱，則f(x)恒等于0.求證：(1) f(x)是奇函數(shù)；(2)若f(x)的圖象關(guān)于直線8已知函數(shù)f(x)的定義域是xw0的一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意xi,X2都有f(Xi X2) f(Xi) f(X2),且當(dāng) x 1 時 f(x) 0,f(2) 1,(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2) f(x)在(0,+ 8)上是增函數(shù)；(3)解不等式- 2一f(2x2 1) 24(2010 重 慶)15已 知函 數(shù) f

23、(x) 滿足，1，f4,4f(x)f(y) f(x y)f(x y)(x, y R),則 f(2010)x2(0,)，當(dāng) x1<x2 時，都(2009福建理)5.下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意有 f (x1) > f (x2)的是2B. f(x) =(x 1)C. f(x) =ex,1A. f(x) = 1 xf (x) ln( x 1)5.【答案】：A解析依題意可得函數(shù)應(yīng)在 x (0,)上單調(diào)遞減，故由選項可得 A正確。(2009陜西理)12.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1,x2 (,0( x1 x2),有(x2 x1)(f(x2) f(x1) 0.則當(dāng) n N

24、時，有(A) f ( n) f (n 1) f (n 1)(B)f(n 1) f ( n) f(n 1)(C) (C) f(n 1) f ( n) f (n 1)(D) f(n 1) f (n 1) f ( n)答案：C解析：x1,x2 (,0(x1 x2)(x2 x)(f(x2) f (x1)0x2 xi 時，f (x2)f(K)“乂)在(，0為增函數(shù)f(x)為偶函數(shù)“乂)在(0,為減函數(shù)而 n+1>n>n-1>0, f (n 1) f (n) f(n 1) f (n 1) f( n) f (n 1)(2009四川理)12.已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集 R上的不恒為零的偶

25、函數(shù)，且對任意實5數(shù) x 都有 xf(x 1) (1 x)f (x),則 f (f ()的值是 2B.D.【考點(diǎn)定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法，綜合題。(同文12)解析：令x1人C,f ()0 ;令 x 0 ,則21,1.11.11.1一，貝U f ()f ( 一)f (一)2222222 f(0) 0x 1 ,.由 xf(x 1) (1 x)f(x)得 f(x 1) f(x),所以x53.,5、2 一3、5.,3、5 2.,1、八.一 5、八一、一-f (-) f () f ()彳 7 f (力0f ( f (-)f (0) 0 ,故選擇A。232323 I 2222(2008陜

26、西理)11 .定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (x y) f (x) f (y) 2xy(x, y R ), f (1) 2 ,則 f ( 3)等于() A . 2 B . 3C. 6D . 9解：令 x y 0 f (0) 0,令 x y 1 f (2) 2f(1) 2 6；令 x 2, y 1f(3) f(2)f (1) 4 12,再令 x 3,y0 f(3 3) f (3) f ( 3) 18f( 3) 18 f (3) 6(2007山東理)6給出下列三個等式:f(xy) f(x) f(y), f (x y)f(x)f (y),f(x y) f(x) f(y)。下列函數(shù)中不滿足其中任何

27、一個等式的是1 f(x)f(y)A f (x) 3xB f (x) sin xC f (x) log 2 xDf (x) tan x【答案】:B【分析】：依據(jù)指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)A, C滿足其中的一個等式，而 D滿足f(x y) f(x) f(y) , B不滿足其中任何一個等式 1 f(x)f(y)(2001廣東理)22.(本小題滿分14分)1.設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線X = 1對稱對任意x1,x2 0,-,2都有 f(x1x2)f (x1) f 儀2)且 f(1) a 0 .,、1.1、(i/f(2),f(4)；(n)證明f(x)是周期函數(shù)；1 一 .一，一,、

28、一，、22.( I )解：因為對 xi, X2C 0, 都有 f (xi+x2)= f (xi) f(X2), 2所以X XXXf(x)f(- -)f(-) f(-) 0,X 0,1222211111 2f (1) f () f( ) f( ) f()2 22221 111112f(-)f( ) f(-) f (H 9)2 44444f ( 1 ) = a >0,3分1 111- f (-) a2, f(-) a4 24(2008重慶理)(6)若定義在R上的函數(shù)f(X)滿足：對任意X1,X2 R ,有f(X1 X2)f (X1) f (X2) 1,則下列說法一定正確的是A f(X)為奇函

29、數(shù)B f(X)為偶函數(shù)C f(X) 1為奇函數(shù)D f (X) 1為偶函數(shù)解：令 X 0,得 f(0) 2f(0) 1, f(0)1,所以 f(X x) f (x) f( x) 11f(X) f( x) 1 1 0,即 f(x) 1f( x) 1,所以 f(x) 1 為奇函數(shù)，選 C(2007安徽理)(11)定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期.若將方程f(x) 0在閉區(qū)間T,T上的根的個數(shù)記為 n ,則n可能為D(A) 0(B) 1(C) 3(D) 5定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(0) 0,又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期，f(T) f( T) 0, f

30、( T2)心 f( 2 T) f (；)，. f( T2)心 0， 則n可能為5,選D。抽象函數(shù)問題的“原型”解法抽象函數(shù)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)，也是各種考試測評的熱點(diǎn)問題之一。研究發(fā)現(xiàn)，由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，聯(lián)想已學(xué)過的基本函數(shù)，再由基本函數(shù)的相 關(guān)結(jié)論，預(yù)測、猜想抽象函數(shù)可能有的相關(guān)結(jié)論，是使抽象函數(shù)問題獲解的一種 有效方法。所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或 性質(zhì)，并用一種符號表示的函數(shù)。由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函數(shù)問題， 這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)，也是各種考試測評的熱點(diǎn)問題之一。研究抽 象函數(shù)問題的解法，對教師的教學(xué)，學(xué)生深刻理解并牢固掌

31、握函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容， 學(xué)好大綱規(guī)定的基本函數(shù)知識顯得尤為重要。抽象來源于具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的。如f(x) kx(k 0)有 f(x1 x2) k(x1 x2) f(x1) f(x2)可抽象為 f(x y) f(x) f (y)。那么y = k x就叫做抽象函數(shù)f (x)滿足 f (x y) f(x) f(y)的“原型”(函數(shù))，分析抽象函數(shù)問題的解題過程及心理變化規(guī)律可知，一般均是由抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的某類(基本)“原型”函數(shù)，并由“原型”函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測、猜想抽 象函數(shù)可能具有的某種性質(zhì)使問題獲解的，稱這種解抽象函數(shù)問題的方法為“原

32、 型”解法。下面給出中學(xué)階段常用的“原型”(函數(shù))并舉例說明“原型”解法。一、中學(xué)階段常用抽象函數(shù)f(x)的“原型”(函數(shù))1、f (x y) f (x) f (y)y kx(k 為常數(shù))xx2、f (x y) f (x) f (y)y = a (a>0 且 awl)3、f (xy) f (x) f (y) y log ax (2>0且2金1)4、f (xy) f (x)f (y) y xn(n 為常數(shù))5、f(x) f(y) 2f CxyyH Cxyy)或 f(x y) f (x y) 2f (x) f (y)y = cos x （ 為常數(shù)）cf(x) f(y),6 、f (x

33、y)y = tan x1 f(x)f(y)二、“原型”解法例析【例 1】 設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f(x) f (y) 2 f (Jy)f(Ly),且 f ()=0, x、 222e r；求證：f (x)為周期函數(shù)，并指出它的一個周期。分析與簡證：由f(x) f (y) 2fd)f(3) 22x1 x2 x1 x2想：cos x1 cos x2 =2coscos2 2原型：y = cos x ,為周期函數(shù)且2兀為它的一個周期。猜測：f(x)為周期函數(shù)，2兀為它的一個周期令 x1 = x+ , x2=則 f(x ) f (x) 2f (x -) f (-) =0 22f (x ) f (x) f

34、(x 2 ) f(x). f (x)為周期函數(shù)且2兀是它的一個周期。【例2】 已知函數(shù)f (x)滿足f(x 1) 1一3,若f(0) 2004,試求f (2005)1 f(x)分析與略解：由f(x 1)1 f(x)1 f(x)1 tan x想：tan ( x + 一 尸 原型：y =tan x為周期函數(shù)且周期為 4x二兀。4猜測：f(x)為周期函數(shù)且周期為 4X1=41 1 f(x)f(x 2)f(x 1) 11f(x1)=1f(x)=11f(x1) 1 1f (x) f (x)1 f(x) f(x 4).1f(x 2) 2f (x 2)f (x) f ( x +4)= f (x)f(x)是以

35、4為周期的周期函數(shù)又. f(2)=2004f (2005) f (2004 1)1 f (2004) =1 f (0) = 1 2004 = 20051 f (2004) 1 f (0) 1 200420032005f(2005)=-2003【例3】 已知函數(shù)f (x)對于任意實數(shù)x、y 都有 f (x y) f (x) f (y),且當(dāng) x >0時，f (x) >0, f(-1)=-2 ，求函數(shù)f (x)在區(qū)間-2 , 1上的值域。分析與略解：由：f(x y) f (x) f(y)想：k(x + y 尸 kx+ky原型：y = k x ( k為常數(shù))為奇函數(shù)。k<0時為減函

36、數(shù)，k>0時為增函數(shù)。猜測：f(x)為奇函數(shù)且f (x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，且 f (x)在2,1上 有 f(x) 4,2設(shè) x1<x2且 X, x2 c R 則*2 x1>0f(x2 x1)>0f(x2)f(x1)f(x2Xx1)f(x1)=f(x2x1)f(x)f(x1)f (x2 x1) >0 f(x2)f(x)f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)。令 x = y =0,則 f (0)=0,令 y =- x ,則 f ( x )= f (x)f (x)為R上的奇函數(shù)。f (-1)=- f (1)=-2 f (1)=2 , f (-2)=2 f (-1)=-4-4 &l

37、t; f(x) W2(x e -2,1)故f (x)在-2,1上的值域為-4 , 2【例4】 已知函數(shù)f (x)對于一切實數(shù)x、y滿足f(0)w0, f (x y) f(x)f(y), 且當(dāng) x <0 時，f (x) >1(1)當(dāng)x>0時，求f(x)的取值范圍(2)判斷f (x)在R上的單調(diào)性分析與略解：由：f (x y) f (x)f (y)想：ax y axay原型：y = ax ( a >0, a w 1), a0=i w0。當(dāng)a > 1時為單調(diào)增函數(shù)， 且x > 。時，y > 1, x v 0時，0v y v 1 ； 0v a v 1時為單調(diào)減

38、函數(shù)， 且x <。時，y > 1, x >0 時，0v y v 1。猜測：f(x)為減函數(shù)，且當(dāng)x>0時，0v f(x)<1。(1)對于一切 x、yCR, f(x y) f (x)f(y)且 f (0) W0令 x = y =0,則 f (0)=1 ,現(xiàn)設(shè) x > 0,則-x v 0,f(- x) > 11又 f (0)= f ( x - x)= f (x) f ( x) =11- f ( x) = > 1f(x).0V f(x) <1(2)設(shè)x1 <x2 ,x1、x2 cR,貝ux1x2V0,f (x1x2) > 1 且f (x1 x2) > 1f (x1)f (x1 x2 x2 )f(x1 x2)f(x2)f(x2)f(x2)f(x2)f(x1)f (x2) , f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)【例5】 已知函數(shù)f (x)定義域為(0,+ 8)且單調(diào)遞增，滿足f=1 ,f (xy) f (x) f (y)(1)證明：f (1)=0 ; (2)求 f (16) ;