馬氏鏈模型及matlab程序

1、一、用法，用來干什么，什么時(shí)候用二、步驟，前因后果，算法的步驟，公式三、程序四、舉例五、前面國賽用到此算法的備注一下馬氏鏈模型用來干什么馬爾可夫預(yù)測法是應(yīng)用概率論中馬爾可夫鏈（Markovchain）的理論和方法來研究分析時(shí)間序列的變化規(guī)律，并由此預(yù)測其未來變化趨勢的一種預(yù)測技術(shù)。什么時(shí)候用應(yīng)用馬爾可夫鏈的計(jì)算方法進(jìn)行馬爾可夫分析，主要目的是根據(jù)某些變量現(xiàn)在的情況及其變動趨向，來預(yù)測它在未來某特定區(qū)間可能產(chǎn)生的變動，作為提供某種決策的依據(jù)。馬爾可夫鏈的基本原理我們知道，要描述某種特定時(shí)期的隨機(jī)現(xiàn)象如某種藥品在未來某時(shí)期的銷售情況，比如說第n季度是暢銷還是滯銷，用一個(gè)隨機(jī)變量X便可以了，但要描述

2、未來所有時(shí)期的情況，則需要一系列的隨機(jī)變量X,X,，X,.稱Xt,t6T,T是參數(shù)集為隨機(jī)過程，X的取值集合稱為狀態(tài)空間.若隨機(jī)過程X的參數(shù)為非負(fù)整數(shù)，Xn為離散隨機(jī)變量，且Xn具有無后效性（或稱馬爾可夫性），則稱這一隨機(jī)過程為馬爾可夫鏈（簡稱馬氏鏈）.所謂無后效性，直觀地說，就是如果把X的參數(shù)n看作時(shí)間的話，那么它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與過去取什么值無關(guān).n時(shí)刻處于p12AP =p21p22Ap2 NAAAA、Pn 1pN 2ApN N j(1)對具有N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈，描述它的概率性質(zhì)，最重要的是它在狀態(tài)i下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率:若假定上式與n無關(guān)，即pij(0)

3、=Pij=a=Pij(n)=A,則可記為pij(此時(shí)，稱過程是平穩(wěn)的)，并記稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣.轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì):(1) Pij至0,i,j=1,2,A,N.即每個(gè)元素非負(fù).N(2) £Pij=1,i=1,2,A,N.即矩陣每行的元素和等于1.j1如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況，則有過程在n時(shí)刻處于狀態(tài)i,n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的k步轉(zhuǎn)移概率：同樣由平穩(wěn)性，上式概率與n無關(guān)，可寫成p(k).記(k) p11(k) p12A(k)、 p Np(k)=(k) p21(k) p22A(k) p2NA(k)、pN 1A(k) p N 2AAA(k) pN N 士(2)稱為k步轉(zhuǎn)移概率矩

4、陣.其中p具有性質(zhì):(k),N(k)p(k)之0,i,j=1,2,A,N;£Pi?=1,i=1,2,A,N.j般地有，若p為一步轉(zhuǎn)移矩陣，則k步轉(zhuǎn)移矩陣/p1(1k)(k) p12p2k)J) p22AApNk1)D(k) pN 2A A A A(k) p1 Nc(k) p2NA(k) pnn（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算在馬爾可夫預(yù)測方法中，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率的估算非常重要.估算的方法通常有兩種：一是主觀概率法，它是根據(jù)人們長期積累的經(jīng)驗(yàn)以及對預(yù)測事件的了解，對事件發(fā)生的可能性大小的一種主觀估計(jì)，這種方法一般是在缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或資料不全的情況下使用.二是統(tǒng)計(jì)估算法，現(xiàn)通過實(shí)例介紹如下.

5、例3記錄了某抗病毒藥的6年24個(gè)季度的銷售情況，得到表1.試求其銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣.表1某抗病毒藥24個(gè)季度的銷售情況銷售狀銷售狀態(tài)季度季度季度季度銷售狀態(tài)銷售狀態(tài)態(tài)1 1 （暢銷）2 1（暢銷）3 2（滯銷）4 1（暢銷）5 2（滯銷）6 2（滯銷）7 1（暢銷）8 1（暢銷）9 1（暢銷）10 2（滯銷）11 1（暢銷）12 2（滯銷）13 1（暢銷）14 1（暢銷）15 2（滯銷）16 2（滯銷）171（暢銷）181（暢銷）192（滯銷）201（暢銷）212（滯銷）221（暢銷）231（暢銷）241（暢銷）分析表中的數(shù)據(jù)，其中有15個(gè)季度暢銷，9個(gè)季度滯銷，連續(xù)出現(xiàn)暢銷和由暢銷轉(zhuǎn)入滯

6、銷以及由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的次數(shù)均為7,連續(xù)滯銷的次數(shù)為2.由此，可得到下面的市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表（表2）.本季度藥品所1(暢銷)77處的市場狀態(tài)2(滯銷)72現(xiàn)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率.以頻率代替概率，可得連續(xù)暢銷的概率分母中的數(shù)為15減1是因?yàn)榈?4季度是暢銷，無后續(xù)記錄，需減1.同樣得由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的概率：滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的概率：連續(xù)滯銷的概率：綜上，得銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：從上面的計(jì)算過程知，所求轉(zhuǎn)移概率矩陣P的元素其實(shí)可以直接通過表2中的數(shù)字計(jì)算而得到，即將表中數(shù)分別除以該數(shù)所在行的數(shù)字和便可：Matlab程序：formatratclca=112122111212,112211212111;fori=1:

7、2forj=1:2f(i,j)=length(findstr(ij,a);endendfni=(sum(f)'fori=1:2p(i,:尸f(i,:)/ni(i);endP由此，推廣到一般情況，我們得到估計(jì)轉(zhuǎn)移概率的方法：假定系統(tǒng)有m種狀態(tài)S,S,，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移白歷史記錄，得到表3的統(tǒng)計(jì)表格，以?ij表示系統(tǒng)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率估計(jì)值，則由表3的數(shù)據(jù)計(jì)算估計(jì)值的公式如下:表3系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表在馬氏鏈模型中，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生轉(zhuǎn)移，這種轉(zhuǎn)移常常會引起某種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化.如抗病毒藥的銷售狀態(tài)有暢銷和滯銷兩種，在時(shí)間變化過程中，有時(shí)呈連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷，有時(shí)

8、由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷或由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷，每次轉(zhuǎn)移不是盈利就是虧本.假定連續(xù)暢銷時(shí)盈rii元，連續(xù)滯銷時(shí)虧本年元，由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷盈利12元，由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷盈利21元，這種隨著系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，賦予一定利潤的馬氏鏈，稱為有利潤的馬氏鏈.對于一般的具有轉(zhuǎn)移矩陣的馬氏鏈，當(dāng)系統(tǒng)由i轉(zhuǎn)移到j(luò)時(shí)，賦予利潤ij(i,j=1,2,，N),則稱11r12Ar1N2122A2NR 二AAAA、r N1N2ANN>0稱為盈利，rj v0稱為rj = 0稱為不虧不盈.為系統(tǒng)的利潤矩陣，rj(5)隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地轉(zhuǎn)移，從而可得到一系列利潤，由于狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的,因而一系列的利潤是隨機(jī)變量，其概率關(guān)系由馬氏

9、鏈的轉(zhuǎn)移概率決定.例如從抗病毒藥的銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，得到一步利潤隨機(jī)變量x1、xg1）的概率分布分別為:r 11r 12概率P11P1212 = 1，p21 +P 22 = 1 .其中P11+ pr 21r 22概率P21P22如果藥品處于暢銷階段，即銷售狀態(tài)為i =1 ,我們想知道，經(jīng)過 n個(gè)季度以后，期望獲得的利潤是多少？為此，引入一些計(jì)算公式.首先，定義Vi為抗病毒藥現(xiàn)在處于i（i=1,2）,經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移之后的總期望利潤，則步轉(zhuǎn)移的期望利潤為:其中E（xi（1）是隨機(jī)變量為的數(shù)學(xué)期望.二步轉(zhuǎn)移的期望利潤為:其中隨機(jī)變量x（2）（稱為二步利潤隨機(jī)變量）的分布為:例如，若1930.50.5

10、。40.6/則抗病毒藥銷售的一步利潤隨機(jī)變量:933-70.50.5概率0.40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時(shí)的一步轉(zhuǎn)移的期望利潤分別為：二步利潤隨機(jī)變量為：9+63-33+6-7-3概率0.50.5概率0.40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時(shí)的二步轉(zhuǎn)移的期望利潤分別為：一般地定義k步轉(zhuǎn)移利潤隨機(jī)變量x(k)(i=1,2,AN)的分布為：則系統(tǒng)處于狀態(tài)i經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移后所得的期望利潤v(k)的遞推計(jì)算式為：NNN(k)(1)(k_1)=EijPij*LVjPijVi4VjPij(6)j1jjT當(dāng)k=1時(shí)，規(guī)定邊界條件vi(0)=0.稱一步轉(zhuǎn)移的期望利潤為即時(shí)的期望利潤，并記V(1)=qi,i=1,2,AN可能

11、的應(yīng)用題型題型一、市場占有率預(yù)測例題1在購買該藥的總共1000家對象(購買力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等)中，買A、B、C三藥廠的各有400家、300家、300家，預(yù)測A、B、C三個(gè)廠家生產(chǎn)的某種抗病毒藥在未來的市場占有情況。顧客訂貨情況如下表5:表5顧客訂貨情況表下季度訂貨情況合計(jì)ABC來A160120120400自B1809030300C1803090300合5202402401000計(jì)模型建立與求解一、問題分析目前的市場占有情況為：在購買該藥的總共1000家對象(購買力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等)中，買ARC三藥廠的各有400家、300家、300家，那么AB、C三藥廠目前的市場占有份額分別為：40%30%

12、30%稱(0.4,0.3,0.3)為目前市場的占有分布或稱初始分布.止匕外，我們需要查清使用對象的流動情況。流動情況的調(diào)查可通過發(fā)放信息調(diào)查表來了解顧客以往的資料或?qū)淼馁徺I意向，也可從下一時(shí)期的訂貨單得出。由題已知顧客訂貨情況如下表5表5顧客訂貨情況表下季度訂貨情況合計(jì)ABC來A160120120400自B1809030300C1803090300合5202402401000計(jì)、模型的建立2.1 模型構(gòu)建假定在未來的時(shí)期內(nèi)，顧客相同間隔時(shí)間的流動情況不因時(shí)期的不同而發(fā)生變化，以1、2、3分別表示顧客買A、B、C三廠家的藥這三個(gè)狀態(tài)，以季度為模型的步長（即轉(zhuǎn)移一步所需的時(shí)間），那么根據(jù)表5,我

13、們可以得模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣：矩陣中的第一行（0.4,0.3,0.3）表示目前是A廠的顧客下季度有40湖買A廠的藥，轉(zhuǎn)為買B廠和C廠的各有30%.同樣，第二行、第三行分別表示目前是B廠和C廠的顧客下季度的流向.由P我們可以計(jì)算任意的k步轉(zhuǎn)移矩陣，如三步轉(zhuǎn)移矩陣：從這個(gè)矩陣的各行可知三個(gè)季度以后各廠家顧客的流動情況.如從第二行（0.504,0.252,0.244）知，B廠的顧客三個(gè)季度后有50.4%轉(zhuǎn)向買A廠的藥，25.2%仍買B廠的，24.4%轉(zhuǎn)向買C廠的藥.設(shè)s（k）=（pr，p2k）,p3k）表示預(yù)測對象k季度以后的市場占有率，初始分布則為s（0）=（pi，p20）,p30）,市場占有率的預(yù)

14、測模型為S（k）=S（。），pk=S（k,），P（7）已知S=（0.4,0.3,0.3）,由此，我們可預(yù)測任意時(shí)期AB、C三廠家的市場占有率.例如，三個(gè)季度以后的預(yù)測值為：大致上，A廠占有一半的市場，B廠、C廠各占四分之一.模型（7）可推廣到N個(gè)狀態(tài)的情形：S（k）= S（k,）p = S（。）pk =（ P? p20）小如果我們按公式（7）繼續(xù)逐步求A、 大白程度，s （k）將不會有多少改變，/AkPiiPi2APin（0）p2ip22Ap2Ni）MMAM Pn iPn2APn N ）B、C三家的市場占后率，會發(fā)現(xiàn)，當(dāng) k 即有穩(wěn)定的市場占啟率，設(shè)其穩(wěn)定值為 S = ( Pi, P2, P3

15、),滿足 Pi + P2 + P3 =1 .事實(shí)上，I如果市場的顧客流動趨向長期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過一段時(shí)期以后的市場占有率將會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動，不會影響市場的占有率，而且這種占有率與初始分布無關(guān).如何求出這種穩(wěn)定的市場占有率呢？2.2 模型求解以A、日C三家的情況為例，當(dāng)市場出現(xiàn)平衡狀態(tài)時(shí)，從公式(7)可得方程S=SP,即由此得經(jīng)整理，并加上條件Pl+P2+P3=1,得0.40.30.3,0.60.30.1,0.60.10.3上方程組是三個(gè)變量四個(gè)方程的方程組，在前三個(gè)方程中只有二個(gè)是獨(dú)立的，任意刪去一個(gè)，從剩下的三個(gè)方程中，可求出唯一解：p1=0.5,p2=0.25,p3=0.

16、25這就是A、日C三家的最終市場占有率.一般N個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)定市場占有率(穩(wěn)態(tài)概率)S=(pi,P2,APn)可通過解方程組(pi,p2,Apn)=(pi,p2,Apn)piip21p12p22AApin-p2NMMAM(9),、pN1pN2ApNN/N工pk=1,k1求得，而(9)的前N個(gè)方程中只有Z1個(gè)是獨(dú)立的，可任意刪去一個(gè)。MATLA翼序：formatratp=0.40.30.3,0.60.30.1,0.60.10.3;a=p'-eye(3);ones(1,3);b=zeros(3,1);1;p_limit=ab題型二、期望利潤預(yù)測企業(yè)追逐市場占有率的真正目的是使利潤增加，因此，競

17、爭各方無論是為了奪回市場份額，還是為了保住或者提高市場份額，在制訂對策時(shí)都必須對期望利潤進(jìn)行預(yù)測.預(yù)測主要分兩步進(jìn)行：市場統(tǒng)計(jì)調(diào)查.首先調(diào)查銷路的變化情況，即查清由暢銷到滯銷或由滯銷到暢銷，連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷的可能性是多少.其次統(tǒng)計(jì)出由于銷路的變化，獲得的利潤和虧損情況.建立數(shù)學(xué)模型，列出預(yù)測公式進(jìn)行預(yù)測.例如，通過市場調(diào)查，我們得到如下的銷路轉(zhuǎn)移表（表6）和利潤變化表（表7）.由此，我們來建立數(shù)學(xué)模型.40%連續(xù)滯銷的可能性為60%利潤表說明的是連續(xù)暢銷獲利900萬元，由暢銷到滯銷或由滯銷到暢銷均獲利300萬元，連續(xù)滯銷則虧損700萬元.從而得到銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣P和利潤矩陣R分別為：2即時(shí)期利潤：qi =v，= " UjPji =1,2j i600