數(shù)學(xué)文化欣賞19859

1、數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是什么？“在進(jìn)入大學(xué)前的十載歲月里，我未接觸到應(yīng)試數(shù)學(xué)的半點(diǎn)光彩。我們始終向著高考這個(gè)終點(diǎn)在一程程地接力跑，手中的接力棒是學(xué)校里所學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)我們抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，盡情享受勝利的喜悅，而那比賽中象征傳遞延續(xù)的接力棒則早已被人遺忘。這就是我所學(xué)的數(shù)學(xué)，為分?jǐn)?shù)而做、為功利而學(xué)為分?jǐn)?shù)而做、為功利而學(xué)?！?（英語(yǔ)系）“隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)習(xí)的深入，在我對(duì)數(shù)學(xué)的興趣中漸漸滲入了一種叫做恐懼與無(wú)助的滋味。數(shù)學(xué)題目的解出與否不再是無(wú)關(guān)緊要的事情，它關(guān)乎一場(chǎng)考試的成敗，甚至是人生的成敗。于是，我感到了壓力，在經(jīng)過(guò)了無(wú)數(shù)場(chǎng)機(jī)械化的操練、在經(jīng)歷無(wú)數(shù)場(chǎng)考試、在做遍千萬(wàn)份試卷后，數(shù)學(xué)對(duì)我而言，終于成為

2、數(shù)學(xué)對(duì)我而言，終于成為了一項(xiàng)任務(wù)了一項(xiàng)任務(wù)，還有一些厭惡還有一些厭惡?！?（日語(yǔ)系 ） 王蒙王蒙回想童年時(shí)代花的時(shí)間一大部分用在做數(shù)學(xué)題上，這些數(shù)學(xué)知識(shí)此后直接用到的很少，但是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于我的思維的訓(xùn)練卻是及其有益的。時(shí)隔半個(gè)多世紀(jì)了，有時(shí)看到上中學(xué)的孫子有數(shù)學(xué)題做不上來(lái)，我仍然喜歡拿到一邊去做，與我上數(shù)學(xué)課的時(shí)間已經(jīng)相隔半個(gè)多世紀(jì)了，多數(shù)情況下我仍能做出來(lái)，并從中得到極大的快樂(lè)快樂(lè)。如果你想當(dāng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，藥學(xué)家，化學(xué)家， 數(shù)學(xué)是統(tǒng)計(jì)分析工具你想當(dāng)物理學(xué)家，數(shù)學(xué)是微積分你想當(dāng)計(jì)算機(jī)專家，數(shù)學(xué)是算法語(yǔ)言你想當(dāng)建筑學(xué)家，數(shù)學(xué)是幾何三視圖你想當(dāng)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)就是你的世界如果你不幸什么都當(dāng)不了，小心數(shù)學(xué)

3、就是你的克星!數(shù)學(xué)學(xué)什么？數(shù)學(xué)學(xué)什么？古希臘：古希臘：-“萬(wàn)物皆數(shù)萬(wàn)物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一， 他把【證明】這個(gè)概念引入了數(shù)學(xué)。證明現(xiàn)在普遍被看做是數(shù)學(xué)最基本的精神，我們甚至很難想像先于數(shù)學(xué)推理的階段是什么。 二， 他意識(shí)到了無(wú)理數(shù)的存在。當(dāng)然，他不知道“無(wú)理數(shù)”這個(gè)稱呼，他也無(wú)可抑制的對(duì)這個(gè)他無(wú)法控制的數(shù)感到惱火-自然他也就避開(kāi)了它。偉大的畢達(dá)哥拉斯 畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家，公元前580至公元前497，青年的他游歷許多地方，并到埃及印度留學(xué)。他深入民間收集點(diǎn)點(diǎn)滴滴的數(shù)學(xué)知識(shí)，最后學(xué)有所成并形成一個(gè)學(xué)派，史稱畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，對(duì)數(shù)學(xué)，天文學(xué)有巨大貢獻(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為任何數(shù)都可

4、以表達(dá)成二個(gè)整數(shù)的商，即任意數(shù)都是可以度量的。萬(wàn)物皆數(shù) 他們把線段的長(zhǎng)度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意兩條線段長(zhǎng)度之比就是它們各自原子數(shù)之比。 由此觀點(diǎn)出發(fā)，畢氏研究了音樂(lè)美術(shù)天文地理。 應(yīng)用在數(shù)學(xué)上，從埃及的黃金三角形（各邊之比為3：4：5）發(fā)現(xiàn)5：12：13，8：15：17，這就是中國(guó)說(shuō)的“勾股定理” 它們只相信直角三角形的三邊之比都應(yīng)該是整數(shù)比 畢氏的學(xué)生、學(xué)者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就不可度量，與畢氏理論產(chǎn)生矛盾 畢氏也發(fā)現(xiàn)不可通約量的存在 學(xué)派進(jìn)入兩難境地，學(xué)派內(nèi)部所有成員立誓保密，因而無(wú)理數(shù)有個(gè)外號(hào)“不可說(shuō)”（Alogon) 希帕索斯說(shuō)了，學(xué)派就此開(kāi)始瓦解。

5、 學(xué)派解決矛盾的方法是把希帕索斯拋進(jìn)愛(ài)琴海喂魚 。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。 大約公元前世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)大約公元前世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn) 畢達(dá)哥拉斯悖論畢達(dá)哥拉斯悖論 當(dāng)然真理是畢達(dá)哥拉斯無(wú)法扔到愛(ài)琴海喂魚的，之后100年，柏拉圖的學(xué)生用公理化的辦法處理了這個(gè)問(wèn)題。但是不知道是因?yàn)閿?shù)學(xué)家也害怕被扔到愛(ài)琴海喂魚呢，還是因?yàn)槭チ藢?duì)整數(shù)的信仰，整個(gè)希臘數(shù)學(xué)自此開(kāi)始轉(zhuǎn)向了研究幾何幾何圖形圖形的問(wèn)題，畢竟幾何圖形避免了數(shù)打交道，從而有了歐氏幾何。 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物古典邏輯與歐氏幾何學(xué)古典邏輯與歐氏幾何學(xué)微積分產(chǎn)生的背景 從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開(kāi)始，人們就在

6、尋求一種計(jì)算不規(guī)則圖形面積的方法 眾多科學(xué)家意識(shí)到其中有個(gè)“幽靈”說(shuō)不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽 許多迫切待解決的問(wèn)題擺在數(shù)學(xué)家面前：描述變速運(yùn)動(dòng)？曲線的切線？曲線的長(zhǎng)度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問(wèn)題？等等古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒(méi)有無(wú)理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運(yùn)算也沒(méi)有，可是卻有量的比例。他們對(duì)于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣，尤其是芝諾提出的四個(gè)著名的悖論： 第一個(gè)悖論是說(shuō)運(yùn)動(dòng)不存在，理由是運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)半路，而到達(dá)半路之前又必須到達(dá)半路的半路如此下去，它必須通過(guò)無(wú)限無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，這在有限有限長(zhǎng)時(shí)間之內(nèi)是無(wú)法辦到的。 第二個(gè)悖論

7、是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因?yàn)闉觚斣谒懊鏁r(shí)，他必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)，然后用第一個(gè)悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。 這兩個(gè)悖論是反對(duì)空間、時(shí)間無(wú)限可分的觀點(diǎn)的。這兩個(gè)悖論是反對(duì)空間、時(shí)間無(wú)限可分的觀點(diǎn)的。 第三、第四悖論是反對(duì)空間、時(shí)間由不可分的間隔組成反對(duì)空間、時(shí)間由不可分的間隔組成。第三個(gè)悖論是說(shuō)“飛矢不動(dòng)”，因?yàn)樵谀骋粫r(shí)問(wèn)間隔，飛矢總是在某個(gè)空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個(gè)悖論是游行隊(duì)伍悖論，內(nèi)容大體相似。 這說(shuō)明希臘人已經(jīng)看到無(wú)窮小與無(wú)窮小與“很小很小很小很小”的矛盾。當(dāng)然他們無(wú)法解決這些矛盾。 無(wú)窮小分割是主要方法 無(wú)窮小分割求和： 關(guān)于切線：笛卡兒與費(fèi)爾瑪

8、認(rèn)為是兩個(gè)交點(diǎn)重合時(shí)的割線。羅伯瓦等認(rèn)為是描繪曲線的運(yùn)動(dòng)在這點(diǎn)的方向 眾多數(shù)學(xué)家加入到這場(chǎng)爭(zhēng)論中，拉開(kāi)流數(shù)術(shù)和微分法的序幕 費(fèi)爾瑪是除去牛頓萊布尼茲外做得最多的人，他走到大門口，但沒(méi)有進(jìn)入。主要是他沒(méi)有它的理論與求積的關(guān)系牛頓與萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)明微積分 牛頓與微積分 萊布尼茲與微積分 英德之間的歷史公案 1665年夏天，因?yàn)橛?guó)爆發(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)閉。剛剛獲得學(xué)士學(xué)位、準(zhǔn)備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場(chǎng)住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對(duì)三大運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律和光學(xué)的研究都開(kāi)始于這個(gè)時(shí)期。在研究這些問(wèn)題過(guò)程中他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術(shù)”的微積分。他在1666年寫下了一篇關(guān)于

9、流數(shù)術(shù)的短文，之后又寫了幾篇有關(guān)文章。但是這些文章當(dāng)時(shí)都沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表，只是在一些英國(guó)科學(xué)家中流傳。 首次發(fā)表有關(guān)于微積分研究論文的是德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)。1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對(duì)微分的發(fā)現(xiàn)。兩年后，他又發(fā)表了有關(guān)積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動(dòng)下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時(shí)，已有關(guān)于微積分的教科書出版。 于是究竟是誰(shuí)首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決的問(wèn)題了。1711年，蘇格蘭科學(xué)家、英國(guó)王家學(xué)會(huì)會(huì)員約翰凱爾在致王家學(xué)會(huì)書記的信中，指責(zé)萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過(guò)用不同的

10、符號(hào)表示法改頭換面。同樣身為王家學(xué)會(huì)會(huì)員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學(xué)會(huì)禁止凱爾的誹謗。王家學(xué)會(huì)組成一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報(bào)告中認(rèn)定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責(zé)萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時(shí)牛頓是王家學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)，雖然在公開(kāi)的場(chǎng)合假裝與這個(gè)事件無(wú)關(guān)，但是這篇調(diào)查報(bào)告其實(shí)是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長(zhǎng)篇文章。 當(dāng)然，爭(zhēng)論并未因?yàn)檫@個(gè)偏向性極為明顯的調(diào)查報(bào)告的出籠而平息。事實(shí)上，這場(chǎng)爭(zhēng)論一直延續(xù)到了現(xiàn)在。沒(méi)有人，包括萊布尼茨本人，否認(rèn)牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分。問(wèn)題是，萊布尼茨是否獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微積分？萊布尼茨是否剽竊了牛頓的發(fā)現(xiàn)？ 無(wú)窮小是零嗎？第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

11、 研究下列問(wèn)題： 1734年，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)-無(wú)窮小的問(wèn)題，提出了貝克萊悖論。引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。少？趨于無(wú)限大時(shí)，它是多當(dāng)nn1dx為逝去量的“靈魂” 他指出：牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量，應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓消逝，這樣得出增量的最終比?！坝撵`”即為極限的概念 這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)：先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒(méi)有增量。他認(rèn)為無(wú)窮小dx既等于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬，dx為逝去量的靈魂。無(wú)窮小量究竟

12、是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？“幽靈”即為極限的概念 由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。 直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。 波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開(kāi)始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)：極限理論 危機(jī)的實(shí)質(zhì)危機(jī)的實(shí)質(zhì) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是 “ 不是有理不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)數(shù)，而是無(wú)理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說(shuō)，是質(zhì)是什么？應(yīng)該說(shuō)，是極限的概念不清楚，極極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不

13、牢固。限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說(shuō)，微積分理論也就是說(shuō)，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。缺乏邏輯基礎(chǔ)。22 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三次數(shù)學(xué)危機(jī) “數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光的曙光集合論集合論 到到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里等等。人們水到渠成

14、地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了（康托）。人世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了（康托）。人們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 羅素悖論的通俗化羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論理發(fā)師悖論”：某村的某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該

15、給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。羅素悖論：羅素悖論：“設(shè)設(shè)B=集合集合A| ，問(wèn)，問(wèn)B屬于不屬于不屬于屬于B？”AA 危機(jī)的消除危機(jī)的消除 危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選家作了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找

16、新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來(lái)。時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來(lái)。 這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡(jiǎn)這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡(jiǎn)明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問(wèn)題的余地。留下了解決問(wèn)題的余地。 羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論

17、的實(shí)質(zhì)）是悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂自我指謂”。即，。即，一個(gè)待定義的一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來(lái)定義概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來(lái)定義，造，造成惡性循環(huán)。成惡性循環(huán)。 例如，悖論中定義例如，悖論中定義“不屬于自身的集合不屬于自身的集合”時(shí)，時(shí)，涉及到涉及到“自身自身”這個(gè)待定義的對(duì)象。這個(gè)待定義的對(duì)象。 為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素的集合論樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)“所有所有集合的集合集合的集合”、“一切屬于自身的集合一切屬于自身的集合”這

18、這樣的集合。樣的集合。 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為條公理組成的集合論體系，稱為Z-系系統(tǒng)。統(tǒng)。 1922年，弗蘭克（年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)一條）又加進(jìn)一條公理，還把公理用符號(hào)邏輯表示出來(lái)，形成了集合公理，還把公理用符號(hào)邏輯表示出來(lái)，形成了集合論的論的ZF-系統(tǒng)。再后來(lái)，還有改進(jìn)的系統(tǒng)。再后來(lái)，還有改進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。系統(tǒng)。 這樣，大體完成了這樣，大體完成了 但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來(lái)此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來(lái)后不久，形象地評(píng)論道：后不久，形象地評(píng)論道：“為了防狼，羊?yàn)榱朔览?，羊群已?jīng)用籬笆圈起來(lái)了，但卻不