第十章信號(hào)時(shí)頻分析

1、Digital Signal Processing q確定性或平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的分析特點(diǎn) 基于DFT變換取樣適當(dāng)或長(zhǎng)度足夠可提高分析精度分析信號(hào)單獨(dú)在時(shí)域或單獨(dú)在變換域的特性( )cos(250 )0.2cos(2150 )x ttt0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing 增加取樣長(zhǎng)度提高分析精度的實(shí)例( )cos(250 )0.2cos(2150 )x ttt0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing q時(shí)變信號(hào)的特點(diǎn) 信號(hào)特性隨時(shí)間變化而變化 確定性時(shí)變信號(hào)系統(tǒng) 非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 非平穩(wěn)信號(hào)的頻譜與時(shí)間位

2、置有著密切關(guān)系 非平穩(wěn)信號(hào)的頻譜隨著取樣長(zhǎng)度的增加并不逐漸收斂Digital Signal Processing 增加采樣長(zhǎng)度對(duì)時(shí)變信號(hào)DFT分析的結(jié)果 cos(250 ),00.09( )0.2cos(2150 ),0.090.18 ttSx ttStS0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing q時(shí)變信號(hào)的分析方法 需采用時(shí)頻聯(lián)合分析方法 短時(shí)傅里葉變換STFT 戈勃（Gabor）變換 小波變換（Wavelet Transform，WT） WVD（WignerVille Distribution）分布 Cohen類時(shí)頻分布 Digital Sig

3、nal Processing q分析窗的局域化指標(biāo) 非平穩(wěn)信號(hào)的加窗取樣：期望時(shí)域和頻域窗同時(shí)最小 Digital Signal Processing 時(shí)域局域化指標(biāo) ( ),w t t分析窗關(guān)于能量的時(shí)間中心 221( )( )tt w tdtw t信號(hào)的持續(xù)時(shí)間（等效時(shí)域?qū)挾龋?22222221()()( )( )( )( )ttttw tdtttw t例高斯窗 201/4() /2( )( )t tjtw te20()0t tttedtt22221()( )2ttttDigital Signal Processing 頻域局域化指標(biāo) 分析窗的平均頻率 信號(hào)的帶寬 例高斯窗 ( )w()j

4、W e221( )( )wdw222222()()( )( )Bwd201/4() /2()1( )jwej 0222BDigital Signal Processing q不確定性原理 12t 窄（短持續(xù)時(shí)間）的波形必然產(chǎn)生寬的頻譜 寬（長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間）的波形必然產(chǎn)生窄的頻譜 最小不確定性時(shí)間帶寬乘積的分析窗是高斯型信號(hào) 21/4() /2( )ttjtw te Digital Signal Processing q譜密度的非相加性 12( )( )( )s ts ts tDigital Signal Processing q瞬時(shí)頻率和復(fù)信號(hào)瞬時(shí)頻率的定義 復(fù)解析信號(hào) ( )( )( )( )(

5、 )jtris ts tjs tA t e2( )( )dts tdtdt( )( )( )idtttdt實(shí)數(shù)信號(hào)頻譜分析 關(guān)于X軸對(duì)稱 平均頻率等于零 頻譜的負(fù)頻率軸并沒有新息 Digital Signal Processing 解析信號(hào) 頻譜在負(fù)頻率軸的值等于零實(shí)數(shù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成解析信號(hào)的過程 求其傅里葉逆變換即可得解析信號(hào)Digital Signal Processing 多分量信號(hào) 單分量信號(hào)在任一瞬間只有一個(gè)頻率分量 多分量信號(hào)在某瞬間可同時(shí)存在二個(gè)或以上的頻率成份 Digital Signal Processing q短時(shí)相關(guān)和時(shí)變譜 短時(shí)自相關(guān) *( , )()()22xr tE x

6、 tx t時(shí)變功率譜：Wiener-Khintchine定理 ( ,)( , )jxs tr tedDigital Signal Processing q連續(xù)STFT變換的時(shí)域定義 分析信號(hào) 分析窗 STFT變換 ( ),x t t ( )x t*( ,)( )()jSTFT txwtedDigital Signal Processing STFT變換的圖解過程 Digital Signal Processing q連續(xù)STFT變換的頻域定義 Digital Signal Processing q連續(xù)STFT變換的時(shí)頻分析過程 Digital Signal Processing q連續(xù)STFT

7、變換的特殊情形 ( )1w t ( ,)( )STFT tx短時(shí)傅里葉變換退化成一般傅里葉變換 ( )( )w tt( ,)( )j tSTFT tx t e短時(shí)傅里葉變換退化成時(shí)域信號(hào) ( )x tDigital Signal Processing q連續(xù)STFT逆變換 加窗 計(jì)算加窗短時(shí)傅里葉變換的傅里葉逆變換 ( ,)STFT t( )v t*1( )( ,) ()( )( ) ( )2j ty tSTFT tv tt dt edx tw t v t dt完全重構(gòu)信號(hào)的條件 *( ) ( )1w t v t dt Digital Signal Processing q連續(xù)STFT變換分析

8、傅里葉變換的絕大多數(shù)性質(zhì)都適用于短時(shí)傅里葉變換 信號(hào)在矩形區(qū)域 內(nèi)的瞬時(shí)功率等于 ,22tt2( ,)STFT tSTFT變換結(jié)果 用色譜圖（譜圖Spectgram）或三維圖形形式表示 2( ,)STFT tDigital Signal Processing q序列信號(hào)STFT變換的定義 分析信號(hào) 分析窗 STFT變換 ( ),x n n ( ),w n nMM ( ,)( ) ()j mmSTFT nx m w nm e Digital Signal Processing q序列信號(hào)的STFT逆變換 n時(shí)刻 的傅里葉逆變換 ( ,)STFT n 當(dāng)n=m,w(m)不等于0 1( )( ) (

9、)( ,)2jmnx mx m w nmSTFT ned1( )( ,)2(0)jnx nSTFT nedwDigital Signal Processing q從濾波角度分析序列STFT變換 固定頻率處STFT的濾波實(shí)現(xiàn)形式 000( ,)( )()( )*( )jmjnmSTFT nx m ew nmx n ew n Digital Signal Processing 不同頻率處STFT的濾波實(shí)現(xiàn)形式 Digital Signal Processing STFT固定頻率處的另一種濾波實(shí)現(xiàn)形式 ()( ,)() ( )()( )( )*( )jn mmj nj mj nj nmSTFT nx

10、 nm w m eex nmw m eex nw n e Digital Signal Processing 第二種STFT濾波實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的完整結(jié)構(gòu) Digital Signal Processing STFT濾波實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中頻率點(diǎn)的選擇保證掃描整個(gè)頻率軸，頻點(diǎn)間隔需小于分析窗帶寬Digital Signal Processing q離散STFT變換的定義 分析信號(hào) 分析窗 STFT變換 ( ),0 x n n ( ),0 1ww n nN( ,)( ) ()j mmSTFT nx m w nm e 2( , )() ( ),0,1,.,1,jkmNmSTFT n kx nm w m ekNn (

11、 )() ( )(0) ( ), (1) (1),., (1) (1)nwwx mx nm w mwx n wx nw Nx nNDigital Signal Processing STFT頻域采樣的要求 是一個(gè)序列長(zhǎng)度等于Nw的短時(shí)序列 ( )nx m 離散STFT等效對(duì)短時(shí)序列周期延拓 據(jù)DFT理論，頻域最小采樣長(zhǎng)度是Nw2101( )() ( )( , )NjknNnkx mx nm w mSTFT n k eN2101()( , )( )NjknNkx nmSTFT n k eNw m 逆離散STFT變換 Digital Signal Processing 加窗區(qū)間的選擇n0時(shí)刻的短時(shí)

12、序列 0( ),0,1,.,1nwxm mN001wnnNn0時(shí)刻的離散短時(shí)傅里葉變換 00(, )( )nSTFT n kDTF xm當(dāng) 時(shí)可由短時(shí)傅變重構(gòu)短時(shí)序列 wNN重建完整信號(hào) 分析窗滑動(dòng)間隔R需滿足：( ),x n n wRN考慮分析窗滑動(dòng)間隔R后的STFT變換2(, )() ( )0,1,.,1,jkmNmwSTFT rR kx rRm w m ekNrRNN Digital Signal Processing 離散STFT變換的二維分布 Digital Signal Processing Matlab用于離散STFT變換的分析函數(shù) specgram（x，nfft，windows

13、（Nw），overlap） Digital Signal Processing 例10-3-1 試用短時(shí)傅里葉變換分析線性調(diào)頻信號(hào)的頻譜圖 fs = 10000;t = 0:1/fs:2;x = vco(sawtooth(2*pi*t,.75),0.1 0.4*fs,fs);specgram(x,512,fs,kaiser(256,5),220) Digital Signal Processing q分析窗長(zhǎng)度的選擇 時(shí)域分辨率低時(shí)域分辨率高頻域分辨率低頻域分辨率高(a)(b)Digital Signal Processing q戈勃（Gabor）變換 用窗函數(shù)對(duì)時(shí)頻相平面直接進(jìn)行分割 設(shè)窗函

14、數(shù)g(t)時(shí)頻局域化區(qū)間 ,22tt窗函數(shù)對(duì)時(shí)頻相平面的分割 Digital Signal Processing Gabor 變換窗函數(shù)時(shí)間方向移動(dòng)n步，頻率方向移動(dòng)k步Gabor基：0,0( )()jktn kgtg tnT e,( ), ,n kgt n kZ002T ,( )( , )( )n knkx tG n k gt當(dāng) 信號(hào)可按Gabor基唯一展開稱Gabor變換系數(shù) 002T 稱時(shí)頻欠采樣( , )G n kDigital Signal Processing q戈勃（Gabor）變換和STFT的關(guān)系 函數(shù) 滿足完備性條件 ( ) t*,( )( )()n kn knkgtttt0

15、*,0( , )( )( )( )()jkn kG n kxdxnT ed STFT變換*( ,)( )()jSTFT txwted00( , )(,)G n kSTFT nT kGabor變換等效對(duì)連續(xù)STFT變換在時(shí)域和頻域進(jìn)行二維抽樣 Digital Signal Processing q二次型時(shí)頻分布 當(dāng)信號(hào)具有很強(qiáng)的非平穩(wěn)性時(shí)，采用短時(shí)傅里葉變換分析方法時(shí)，必須選用很短的分析窗。而短分析窗的頻率分辨率很差，會(huì)影響平穩(wěn)時(shí)段的信號(hào)分析 尋找一種能量密度與時(shí)間、頻率緊密相關(guān)、時(shí)頻聚集性好的時(shí)頻分布或變換 Digital Signal Processing Wigner-Ville分布 *( ,)()()22jxW tE x tx tedCohen類分布 *2 ()1( ,:)()()( , )