第十章信號時頻分析

1、Digital Signal Processing q確定性或平穩(wěn)隨機(jī)信號的分析特點 基于DFT變換取樣適當(dāng)或長度足夠可提高分析精度分析信號單獨在時域或單獨在變換域的特性( )cos(250 )0.2cos(2150 )x ttt0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing 增加取樣長度提高分析精度的實例( )cos(250 )0.2cos(2150 )x ttt0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing q時變信號的特點 信號特性隨時間變化而變化 確定性時變信號系統(tǒng) 非平穩(wěn)隨機(jī)信號 非平穩(wěn)信號的頻譜與時間位

2、置有著密切關(guān)系 非平穩(wěn)信號的頻譜隨著取樣長度的增加并不逐漸收斂Digital Signal Processing 增加采樣長度對時變信號DFT分析的結(jié)果 cos(250 ),00.09( )0.2cos(2150 ),0.090.18 ttSx ttStS0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing q時變信號的分析方法 需采用時頻聯(lián)合分析方法 短時傅里葉變換STFT 戈勃（Gabor）變換 小波變換（Wavelet Transform，WT） WVD（WignerVille Distribution）分布 Cohen類時頻分布 Digital Sig

3、nal Processing q分析窗的局域化指標(biāo) 非平穩(wěn)信號的加窗取樣：期望時域和頻域窗同時最小 Digital Signal Processing 時域局域化指標(biāo) ( ),w t t分析窗關(guān)于能量的時間中心 221( )( )tt w tdtw t信號的持續(xù)時間（等效時域?qū)挾龋?22222221()()( )( )( )( )ttttw tdtttw t例高斯窗 201/4() /2( )( )t tjtw te20()0t tttedtt22221()( )2ttttDigital Signal Processing 頻域局域化指標(biāo) 分析窗的平均頻率 信號的帶寬 例高斯窗 ( )w()j

4、W e221( )( )wdw222222()()( )( )Bwd201/4() /2()1( )jwej 0222BDigital Signal Processing q不確定性原理 12t 窄（短持續(xù)時間）的波形必然產(chǎn)生寬的頻譜 寬（長持續(xù)時間）的波形必然產(chǎn)生窄的頻譜 最小不確定性時間帶寬乘積的分析窗是高斯型信號 21/4() /2( )ttjtw te Digital Signal Processing q譜密度的非相加性 12( )( )( )s ts ts tDigital Signal Processing q瞬時頻率和復(fù)信號瞬時頻率的定義 復(fù)解析信號 ( )( )( )( )(

5、 )jtris ts tjs tA t e2( )( )dts tdtdt( )( )( )idtttdt實數(shù)信號頻譜分析 關(guān)于X軸對稱 平均頻率等于零 頻譜的負(fù)頻率軸并沒有新息 Digital Signal Processing 解析信號 頻譜在負(fù)頻率軸的值等于零實數(shù)信號轉(zhuǎn)換成解析信號的過程 求其傅里葉逆變換即可得解析信號Digital Signal Processing 多分量信號 單分量信號在任一瞬間只有一個頻率分量 多分量信號在某瞬間可同時存在二個或以上的頻率成份 Digital Signal Processing q短時相關(guān)和時變譜 短時自相關(guān) *( , )()()22xr tE x

6、 tx t時變功率譜：Wiener-Khintchine定理 ( ,)( , )jxs tr tedDigital Signal Processing q連續(xù)STFT變換的時域定義 分析信號 分析窗 STFT變換 ( ),x t t ( )x t*( ,)( )()jSTFT txwtedDigital Signal Processing STFT變換的圖解過程 Digital Signal Processing q連續(xù)STFT變換的頻域定義 Digital Signal Processing q連續(xù)STFT變換的時頻分析過程 Digital Signal Processing q連續(xù)STFT

7、變換的特殊情形 ( )1w t ( ,)( )STFT tx短時傅里葉變換退化成一般傅里葉變換 ( )( )w tt( ,)( )j tSTFT tx t e短時傅里葉變換退化成時域信號 ( )x tDigital Signal Processing q連續(xù)STFT逆變換 加窗 計算加窗短時傅里葉變換的傅里葉逆變換 ( ,)STFT t( )v t*1( )( ,) ()( )( ) ( )2j ty tSTFT tv tt dt edx tw t v t dt完全重構(gòu)信號的條件 *( ) ( )1w t v t dt Digital Signal Processing q連續(xù)STFT變換分析

8、傅里葉變換的絕大多數(shù)性質(zhì)都適用于短時傅里葉變換 信號在矩形區(qū)域 內(nèi)的瞬時功率等于 ,22tt2( ,)STFT tSTFT變換結(jié)果 用色譜圖（譜圖Spectgram）或三維圖形形式表示 2( ,)STFT tDigital Signal Processing q序列信號STFT變換的定義 分析信號 分析窗 STFT變換 ( ),x n n ( ),w n nMM ( ,)( ) ()j mmSTFT nx m w nm e Digital Signal Processing q序列信號的STFT逆變換 n時刻 的傅里葉逆變換 ( ,)STFT n 當(dāng)n=m,w(m)不等于0 1( )( ) (

9、)( ,)2jmnx mx m w nmSTFT ned1( )( ,)2(0)jnx nSTFT nedwDigital Signal Processing q從濾波角度分析序列STFT變換 固定頻率處STFT的濾波實現(xiàn)形式 000( ,)( )()( )*( )jmjnmSTFT nx m ew nmx n ew n Digital Signal Processing 不同頻率處STFT的濾波實現(xiàn)形式 Digital Signal Processing STFT固定頻率處的另一種濾波實現(xiàn)形式 ()( ,)() ( )()( )( )*( )jn mmj nj mj nj nmSTFT nx

10、 nm w m eex nmw m eex nw n e Digital Signal Processing 第二種STFT濾波實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的完整結(jié)構(gòu) Digital Signal Processing STFT濾波實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中頻率點的選擇保證掃描整個頻率軸，頻點間隔需小于分析窗帶寬Digital Signal Processing q離散STFT變換的定義 分析信號 分析窗 STFT變換 ( ),0 x n n ( ),0 1ww n nN( ,)( ) ()j mmSTFT nx m w nm e 2( , )() ( ),0,1,.,1,jkmNmSTFT n kx nm w m ekNn (

11、 )() ( )(0) ( ), (1) (1),., (1) (1)nwwx mx nm w mwx n wx nw Nx nNDigital Signal Processing STFT頻域采樣的要求 是一個序列長度等于Nw的短時序列 ( )nx m 離散STFT等效對短時序列周期延拓 據(jù)DFT理論，頻域最小采樣長度是Nw2101( )() ( )( , )NjknNnkx mx nm w mSTFT n k eN2101()( , )( )NjknNkx nmSTFT n k eNw m 逆離散STFT變換 Digital Signal Processing 加窗區(qū)間的選擇n0時刻的短時

12、序列 0( ),0,1,.,1nwxm mN001wnnNn0時刻的離散短時傅里葉變換 00(, )( )nSTFT n kDTF xm當(dāng) 時可由短時傅變重構(gòu)短時序列 wNN重建完整信號 分析窗滑動間隔R需滿足：( ),x n n wRN考慮分析窗滑動間隔R后的STFT變換2(, )() ( )0,1,.,1,jkmNmwSTFT rR kx rRm w m ekNrRNN Digital Signal Processing 離散STFT變換的二維分布 Digital Signal Processing Matlab用于離散STFT變換的分析函數(shù) specgram（x，nfft，windows

13、（Nw），overlap） Digital Signal Processing 例10-3-1 試用短時傅里葉變換分析線性調(diào)頻信號的頻譜圖 fs = 10000;t = 0:1/fs:2;x = vco(sawtooth(2*pi*t,.75),0.1 0.4*fs,fs);specgram(x,512,fs,kaiser(256,5),220) Digital Signal Processing q分析窗長度的選擇 時域分辨率低時域分辨率高頻域分辨率低頻域分辨率高(a)(b)Digital Signal Processing q戈勃（Gabor）變換 用窗函數(shù)對時頻相平面直接進(jìn)行分割 設(shè)窗函

14、數(shù)g(t)時頻局域化區(qū)間 ,22tt窗函數(shù)對時頻相平面的分割 Digital Signal Processing Gabor 變換窗函數(shù)時間方向移動n步，頻率方向移動k步Gabor基：0,0( )()jktn kgtg tnT e,( ), ,n kgt n kZ002T ,( )( , )( )n knkx tG n k gt當(dāng) 信號可按Gabor基唯一展開稱Gabor變換系數(shù) 002T 稱時頻欠采樣( , )G n kDigital Signal Processing q戈勃（Gabor）變換和STFT的關(guān)系 函數(shù) 滿足完備性條件 ( ) t*,( )( )()n kn knkgtttt0

15、*,0( , )( )( )( )()jkn kG n kxdxnT ed STFT變換*( ,)( )()jSTFT txwted00( , )(,)G n kSTFT nT kGabor變換等效對連續(xù)STFT變換在時域和頻域進(jìn)行二維抽樣 Digital Signal Processing q二次型時頻分布 當(dāng)信號具有很強(qiáng)的非平穩(wěn)性時，采用短時傅里葉變換分析方法時，必須選用很短的分析窗。而短分析窗的頻率分辨率很差，會影響平穩(wěn)時段的信號分析 尋找一種能量密度與時間、頻率緊密相關(guān)、時頻聚集性好的時頻分布或變換 Digital Signal Processing Wigner-Ville分布 *( ,)()()22jxW tE x tx tedCohen類分布 *2 ()1( ,:)()()( , )