第4章信號與系統(tǒng)奧本海姆課件(連續(xù)時間傅立葉變換)

1、第第4章章 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換The Continuous-Time Fourier Transform本本章的主要內(nèi)容章的主要內(nèi)容: : 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換; 傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系的關(guān)系; 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì);1.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析；分析； 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信號的頻譜進(jìn)行分解，什么是非周期信號的頻譜表示，就是這一章要解決的問題。表示，就是這

2、一章要解決的問題。4.0 引言引言 Introduction 在時域可以看到，如果一個周期信號的在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮大，則周期信號將演變成一周期趨于無窮大，則周期信號將演變成一個非周期信號；反過來，任何非周期信號個非周期信號；反過來，任何非周期信號如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個周期信號。我們把周期信號。我們把非周期信號看成是周期非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮大時的極限信號在周期趨于無窮大時的極限，從而考，從而考查連續(xù)時間傅立葉級數(shù)在查連續(xù)時間傅立葉級數(shù)在 T趨于無窮大時趨于無窮大時的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號的的

3、變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號的頻域表示方法。頻域表示方法。4.1 非周期信號的表示非周期信號的表示連續(xù)時間傅連續(xù)時間傅立葉變換立葉變換Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一一. .從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換已求得周期對稱矩形脈沖的傅立葉級數(shù)系數(shù)：已求得周期對稱矩形脈沖的傅立葉級數(shù)系數(shù)：考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：當(dāng)當(dāng) 時，譜線間隔時，譜線間隔 變小，譜線變小，譜線越來越密；越來越密；當(dāng)當(dāng) 時，周期方波轉(zhuǎn)化為非周期的時，周期方波轉(zhuǎn)化

4、為非周期的單脈沖信號，相應(yīng)地，信號頻譜由離單脈沖信號，相應(yīng)地，信號頻譜由離散譜變成連續(xù)譜。散譜變成連續(xù)譜。非周期信號非周期信號 是周期信號是周期信號 的一個周期，的一個周期，考察考察 的傅立葉級數(shù)：的傅立葉級數(shù)：ktjkkeatx0)(定義定義 的包絡(luò)為的包絡(luò)為連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換系數(shù)系數(shù)當(dāng)當(dāng) 時，時， 趨近于趨近于 ；當(dāng)當(dāng) 時，時， ， 過渡為一個過渡為一個積分式。積分式。 此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率連續(xù)分布、振幅為個頻率連續(xù)分布、振幅為 的復(fù)的復(fù)指數(shù)信號之和。指數(shù)信號之和。 稱為稱為 的的頻譜頻譜。1()2Xjd()X j

5、1( )()2j tx tX jed傅立葉反變換傅立葉反變換即，即， 周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期信號的頻譜是對應(yīng)的非周期信號非周期信號頻譜的樣本頻譜的樣本；而非；而非周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期信號信號頻譜的包絡(luò)。頻譜的包絡(luò)。定義：定義：設(shè)有非周期連續(xù)時間信號x(t)dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)()()(.jXtxTF 既然傅立葉變換的引出是從周期信既然傅立葉變換的引出是從周期信號的傅立葉級數(shù)表示，討論周期趨號的傅立葉級數(shù)表示，討論周期趨于無窮大時的極限得來的，傅立葉于無窮大時的極限得來的，傅立葉變換的收斂問題就應(yīng)該和傅立葉級變換的收斂問題就應(yīng)該

6、和傅立葉級數(shù)的收斂相一致。數(shù)的收斂相一致。二二. 傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂1. 若若 即所有能量有限的信號即所有能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。其傅立葉變換一定存在。2( )x tdt 則則 存在。存在。()X j相應(yīng)的兩組條件：相應(yīng)的兩組條件：2. Dirichlet 條件條件( )x t dt a. 絕對可積條件絕對可積條件b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有只有有限個極值點有限個極值點, ,且極值有限。且極值有限。( )x tc. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有只有有限個第一類間斷點。限個第一類間斷點。( )x t三三. .常用信號的傅立葉變換：常用

7、信號的傅立葉變換：1.( )( ),0atx teu ta01()atj tX jeedtaj221()X ja( )x tt01aa01/ a()Xj22a2.( ),0a tx tea 結(jié)論：結(jié)論：實偶信號的傅立實偶信號的傅立葉變換是實偶函數(shù)。葉變換是實偶函數(shù)。此此時可以用一幅圖表示信時可以用一幅圖表示信號的頻譜。號的頻譜。對此例有對此例有()()X jX j()X j2a1aaa()xtt100022()112atj tatj tX je edteedtaajaja3.( )( )x tt()( )1jtXjt edt 這表明這表明 中包括了所有的頻率成分，且中包括了所有的頻率成分，且所

8、有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 才能完全描述一個才能完全描述一個LTI系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)的特性， 才在信號與系統(tǒng)分析才在信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。中具有如此重要的意義。0( ) tt( ) t( )h t( ) t()X j014. 矩形脈沖矩形脈沖: :( )x t 1,1tT0,1tT( )x tt1T1T1 10 0()X j0 01T12T( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T12T1 10 0()X j0 01T12T12 T()Xj14T0 0不同脈沖寬度對頻譜的影響不同脈沖寬度

9、對頻譜的影響5.( (稱為稱為理想低理想低通濾波器通濾波器) ) 與矩形脈沖情況對比，可以發(fā)現(xiàn)與矩形脈沖情況對比，可以發(fā)現(xiàn)信號在時信號在時域和頻域之間存在一種對偶關(guān)系。域和頻域之間存在一種對偶關(guān)系。()XjWW1 10 0( )x tt(/)W0 0WWWjX01)(對偶關(guān)系可表示如下對偶關(guān)系可表示如下:( )x tt1T1T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/ )W0 0W6. 單位沖激函數(shù)的傅立葉逆變換單位沖激函數(shù)的傅立葉逆變換 對于對于5. 我們可以想到，如果我們可以想到，如果 ，則，則 將趨于一個沖激。將趨于一個沖激。W ( )x t因為因

10、為所以所以( )12( )Fx t 4.2 連續(xù)時間連續(xù)時間FT的性質(zhì)的性質(zhì) 討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過這些性質(zhì)揭示信號時域特性通過這些性質(zhì)揭示信號時域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時掌與頻域特性之間的關(guān)系，同時掌握和運用這些性質(zhì)可以簡化傅立握和運用這些性質(zhì)可以簡化傅立葉變換對的求取。葉變換對的求取。Properties of the Continuous-Time Fourier Transform1. 線性線性: Linearity則則若若2. 時移時移: Time Shifting則則 這表明信號的時移只影響它的相頻特性，這表明信號的時移只影響它的相頻特性，其

11、相頻特性會增加一個線性相移。其相頻特性會增加一個線性相移。若若3. 頻移頻移: Frequency Shifting若若則則)()(00jXetxtj)()(jXtx)()(jXtx)()(00jXettxtj 4. 共軛對稱性共軛對稱性: Conjugate and Symmetry 若若 )()(cos)(00021jXjXttxF則則)()()()(22100000tCOSF)()(jXtx)()(jXtx由由()( )j tX jx t edt*()( )jtXjxt edt所以所以*()( )jtXjxt edt即即 若若 是實信號，則是實信號，則( )x t*( )( )x tx

12、t于是有于是有:*()()X jXj可得可得 若若則可得則可得Re()Re()X jXj即即實部是實部是偶函數(shù)偶函數(shù)虛部是虛部是奇函數(shù)奇函數(shù) 若若則可得出則可得出()()X jXj即：即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)()Re()Im()X jX jjX jIm ()Im ()X jXj 如果如果( )()x txt即信號是偶函數(shù)。則即信號是偶函數(shù)。則()( )jtXjx t edt()( )()j tjxt edtxedtXj表明：表明： 實偶信號的傅立葉變換是偶函數(shù)。實偶信號的傅立葉變換是偶函數(shù)。*()()XjXj所以所以*()()X jXj表明表明 是實函數(shù)。是實函數(shù)。

13、()X j又因為又因為()()X jXj 即即 是奇函數(shù)是奇函數(shù)()Xj*()()X jXj ()Xj即即 是虛函數(shù)是虛函數(shù) 若若( )( )( )eox tx tx t則有則有:()()()eoX jXjjXj()Re()eXjXj()Im()oXjX j 若若 即信號是奇函數(shù)，同樣可以即信號是奇函數(shù)，同樣可以得出得出:( )()x txt 5.時域微分與積分時域微分與積分: Differentiation and Integration則則（時域微分特性）（時域微分特性）(將將1( )()2jtx tXjed兩邊對兩邊對 微分即得該性質(zhì)微分即得該性質(zhì))t若若由時域積分特性從由時域積分特性從

14、也可得到也可得到:（時域積分特性（時域積分特性)6.時域和頻域的尺度變換時域和頻域的尺度變換: Scaling則則當(dāng)當(dāng) 時，有時，有1a 尺度變換特性表明：尺度變換特性表明：信號如果在時域擴(kuò)展信號如果在時域擴(kuò)展 a 倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。這就從理論上證明了時域與頻域的相反關(guān)系，這就從理論上證明了時域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。若若時域中的壓縮對應(yīng)頻域中的擴(kuò)展時域中的壓縮對應(yīng)頻域中的擴(kuò)展. .反之亦然反之亦然7.對偶性對偶性: Duality若若則則1( )()2j tx t

15、Xjed2()()jtxXjt edt2()()j txXjt edt證明證明：8. Parseval定理定理:若若則則221( )()2x tdtXjd這表明：信號的能量既可以在時域求得，也這表明：信號的能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于可以在頻域求得。由于 表示了信號表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密能量譜密度度”函數(shù)。函數(shù)。2()X j4.3 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) The Convolution Property一一. . 卷積特性：卷積特性：則則 由于卷積特性的存在，使對由于卷積特性的存在，使對LTI系統(tǒng)在頻系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。本

16、質(zhì)上，卷積特性成域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性成立正是因為復(fù)指數(shù)信號是立正是因為復(fù)指數(shù)信號是LTI系統(tǒng)的特征函系統(tǒng)的特征函數(shù)。由數(shù)。由1( )()2j tx tX jed若若將將 分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個 通過通過LTI系統(tǒng)時都要受到系統(tǒng)頻響系統(tǒng)時都要受到系統(tǒng)頻響 的加權(quán)，的加權(quán)，( )x t()H jjte()( )jtHjh t edt即是系統(tǒng)與即是系統(tǒng)與 對應(yīng)的特征值。故有對應(yīng)的特征值。故有其中其中j te1( )( )* ( )()()2jty tx th tXjHjed所以所以()() ()Y jX jH j 由于由于 的傅氏變換的傅氏變

17、換 就是頻率為就是頻率為 的的復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號 通過通過LTI系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)。( )h t()H jjte 鑒于鑒于 與與 是一一對應(yīng)的，是一一對應(yīng)的，因而因而LTI系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非由于并非任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng)任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 都存在，因此用都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時，一般都限于對穩(wěn)定系頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時，一般都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。統(tǒng)。( )h t()H j()H j二二. . LTI系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: :

18、根據(jù)卷積特性根據(jù)卷積特性, ,可以對可以對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析析, , 其過程為其過程為: :1. 1. 由由2. 2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出3.3.4. 4. ( )()x tXj()H j()()()Y jX jH j1( ) ()y tY j F4.4 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì) The Multiplication Property若若則則 兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個信號的幅度，這就是信號控制另一個信號的幅度，這就是幅度調(diào)幅度調(diào)制制。其中一個信號稱為。其中一個信號稱為載波載波，另一個是，另一個是調(diào)制調(diào)

19、制信號信號。例例1. 正弦幅度調(diào)制正弦幅度調(diào)制: :0( )(),( )coss tS jp tt00() ()()P j ( )( )( )r ts tp t001()() ()()2R jS j 0011() ()22S jS j0( )00()P j( )pt( )s t( )r t10MM()S j1/200()R j 正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號的正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號的頻譜搬移到載頻位置。頻譜搬移到載頻位置。例例3. 同步解調(diào)同步解調(diào):0001( )cos() ()()2r ttR j 00111() (2) (2)244S jS jS j1/21/41/4MM0

20、202 此時，用一個頻率特性為此時，用一個頻率特性為 的系統(tǒng)的系統(tǒng)即可從即可從 恢復(fù)出恢復(fù)出 。()H j( )r t( )s t()Hj20cc只要只要02McM 即可即可。具有此頻率特性的具有此頻率特性的LTI系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為理想低通理想低通濾波器濾波器。4.6 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換 到此為止，我們對周期信號用傅立葉級到此為止，我們對周期信號用傅立葉級數(shù)表示，非周期信號用傅立葉變換表示。數(shù)表示，非周期信號用傅立葉變換表示。 在在涉及周期信號通過涉及周期信號通過 LTI 系統(tǒng)時系統(tǒng)時, , 會給分析帶會給分析帶來不便。因為周期信號不滿足來不便。因為周期信號不滿足 Diri

21、chlet 條條件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示?？疾槿~變換表示。考查 所對應(yīng)的信號所對應(yīng)的信號001( )()()2jtjtjtx tXjedede 0()2()X j The Fourier Transformation of Periodic Signals這表明這表明周期性復(fù)指數(shù)信號的頻譜是一個沖激周期性復(fù)指數(shù)信號的頻譜是一個沖激: :0( )jktx te0()2()X jk 于是當(dāng)把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時，于是當(dāng)把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時，因為因為0( )jktkkx ta e 就有就有0()2()kkXjak 周期信號的

22、傅立葉變換表示周期信號的傅立葉變換表示若若 則則 這表明：周期信號的傅立葉變換由一系這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各次諧波的頻率處，其沖激強(qiáng)度正比于對應(yīng)的次諧波的頻率處，其沖激強(qiáng)度正比于對應(yīng)的傅立葉級數(shù)的系數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù) 。ka例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej00() ()()Xjj ()X j00jj00001( )cos2jtjtx ttee00()()()Xj ( )()nx ttnT22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT()Xj000例例2： 例例3

23、： 均勻沖激串均勻沖激串TT2 T2 T0()xtt1()Xj02T2T2T( )()nx ttnT22()()kX jkTT 22()()kX jkTT 例例4. 周期性矩形脈沖周期性矩形脈沖10022 sin()2()()kkTTXjkkT 1T1T01( )x tt1011002sin22Sa()kTkTTakTTTk10212TT()Xj02T 工程實際中有相當(dāng)廣泛的工程實際中有相當(dāng)廣泛的LTI系統(tǒng)其輸入系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可以由一個線性常系數(shù)微分方程輸出關(guān)系可以由一個線性常系數(shù)微分方程表述。一般形式的表述。一般形式的LCCDE是是:4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)由線性常系數(shù)微分

24、方程表征的系統(tǒng)00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt一一. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于由于 是是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，當(dāng)然系統(tǒng)的特征函數(shù)，當(dāng)然 時，系統(tǒng)的響應(yīng)時，系統(tǒng)的響應(yīng) 。表。表明在明在 時，求解此時的時，求解此時的LCCDE可可以求得以求得 。但這太麻煩，很少使用。但這太麻煩，很少使用。 ( )()j ty tH je()H j對對LCCDE兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：兩邊進(jìn)

25、行傅立葉變換有：00()()()()NNkkkkkkajY jbjX j由于由于()()()Y jX jH jjte( )j tx te( )j tx te 可見由可見由LCCDE描述的描述的LTI 系統(tǒng)其系統(tǒng)其頻率特性頻率特性是一個有理函數(shù)是一個有理函數(shù)。由此可以看出，對由。由此可以看出，對由 LCCDE 描述的描述的LTI系統(tǒng)，當(dāng)需要求得其系統(tǒng)，當(dāng)需要求得其 時時(比如時域分析時比如時域分析時) ，往往是由，往往是由 做反做反變換得到。變換得到。 對有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用對有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用部分部分分式展開分式展開和利用常用變換對進(jìn)行。和利用常用變換對進(jìn)行。( )h t

26、()Hj00()()()NkkkNkkkbjHjaj 刻畫了刻畫了LTI系統(tǒng)的頻域特征，它是系系統(tǒng)的頻域特征，它是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的傅立葉變換。但并非所有統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的傅立葉變換。但并非所有的的LTI系統(tǒng)一定都存在頻率響應(yīng)。對穩(wěn)定系系統(tǒng)一定都存在頻率響應(yīng)。對穩(wěn)定系統(tǒng)，由于有統(tǒng)，由于有二二. 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：()H jdtth| )(|)(jH故有：故有：穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一定存在。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一定存在。因此，由因此，由 表征的系統(tǒng)一般是穩(wěn)定系統(tǒng)。表征的系統(tǒng)一般是穩(wěn)定系統(tǒng)。 * * 頻率響應(yīng)的求法：頻率響應(yīng)的求法：1.1.用微分方程表征的系統(tǒng)用微分方程表征的系統(tǒng)MkkkkNkkkkdttxdbdttyda00)()(MkkkNkkkjXjbjYja00)()()()(NkkkMkkkjajbjXjYjH00)()()()()()(3)()(8)(6)(22txdttdxtydttdydttyd例：例：412121)2)(4(38)(6)(3)(2jjjjjjjjjH)(21)(42tueethtt 對對由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響應(yīng)可以方便地求出其單位沖激響應(yīng)。應(yīng)可以方便地求出其單位沖激響應(yīng)。2.2.互聯(lián)系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)的)(jH* * 級聯(lián)級聯(lián): : 12()()()