高一數(shù)學(xué)下學(xué)期知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)+經(jīng)典例題解析

1、知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)梳理（一）正弦定理：a=b=J=2R（其中R表示三角形的外接圓半徑）sinAsinBsinC適用情況：（1）已知兩角和一邊，求其他邊或其他角；（2）已知兩邊和對(duì)角，求其他邊或其他角。sin C =c2R變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=-a-,sinB=,2R2Ra b csin A sin B sin C=2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC(二)余弦定理：b2 = a2 c2 -2accosB22 b2（求邊）'8sB=個(gè)（求角）適用情況：（1）已知三邊，求角；（2）已知兩邊和一角，求其他邊或其他角。一11.（三）三角形的面積：

2、S=2aha=；S=萬(wàn)bcsinA=；9/abcS=2RsinAsinBsinC;®S=;4RS=Jp（pa）（pb）（pc）;S=pr（其中p=2土2上，r為內(nèi)切圓半徑）25, a+bc包（四）三角形內(nèi)切圓的半徑：r=2sA，特別地,直=abc2（五）ABC寸影定理：b=acosC+ccosA,（六）三角邊角關(guān)系:(1)在&ABC中，A+B+C=n；sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosCAB.C.ABCcos=sin-;sin=cos2222(2)邊關(guān)系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,ab<c,bc<a,ca>b;

3、(3)大邊對(duì)大角：abAB考點(diǎn)剖析（一）考查正弦定理與余弦定理的混合使用a csin 2C sin C例1、在4ABC中，已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a、c的長(zhǎng).例1、解：由正弦定理，得一一=A=2CsinAsinC8-.a=2ccosC又a+c=8cocC=2c由余弦定理，得c2=a2b2-2abcosC=4c2cos2C16-16cos2C入，得16c-5I5或124a"c=4人(舍)a=424-5，16-55例2、如圖所示，在等邊三角形中,AB=a,O為三角形的中心,于M,交AC于N,求2OM2ON2的最大值和最小值.例2、【解】由于。為正三角

4、形ABC的中心,.AO,3/MAO=/NAO=-,設(shè)/MOA=o(,WJ工工口63在AOM中，由正弦定理得:OM2二<一3'OA過(guò)O的直線交ABA3OM,3a6nsin(二一)6sinMAOsin.-(：-)6,在AAON中，由正弦定理得：ON=Tt，sin(:)6OM2<a3ON2<213，122二2二1212sin(a十一)+sin(a-)=-(+sina),a2時(shí)一取得最大值OMON3<sina<1故當(dāng)a=42182aJT-,or33時(shí)sin2a=9,此時(shí)4OM變式1、在AABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a,b,c,已知b2(1)求/A的大?。籦si

5、nB/人(2)求的值a=ac,且a2-c2=ac-bc,c變式1、解(1)丁b2=ac,a2在ABC中，由余弦定理得-c2=ac-bcb2c2-a2=bccosA,222bc-abc12bc2bc2(2)在ABC中,由正弦定理得.-bsin600sinB=20b=ac,-A=60bsinBb2sin600=sin600ca變式2、在AaBC中,AB為銳角,BC所對(duì)的邊分別為a、b、c,且,sinB二名(I)求a+b的值;10_(II)若ab=J21,求a、b、c的值。變式2、解(I)AB為銳角,sinA=,sinB=業(yè)0510Z；2"T2：#5-"-2-310cosA=1-

6、sinA=,cosB=1-sinB=5102.535c萬(wàn)10.2cos(A B) = cos Acos B -sinAsinB二一二51051020<A+B<nA+B=4(II)由(I)知C=竺，.sinC=42,abc由=4寸/5a=j10b=*y2c,即a=V2b,c=V5bsinAsinBsinC又:ab=721.V2b-b=/2-1.b=1a=2c=55（二）考查正弦定理與余弦定理在向量與面積上的運(yùn)用例3、如圖，半圓。的直徑為2,A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2,B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問(wèn)：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？例3、解：設(shè)N

7、AOB=a,在AOB中，由余弦定理得:AB2=oAOB2OAcGOBAOB.22=12212cos：=5-4cos:于是，四邊形GACB的面積為S=S>aagb+SaABC二GAOBsin：AB224c,. 2 A B .7,- 一4sin -cos2C =，a+b =5,c = V7 22(1)求角C的大?。?2)求AABC的面積.例4、解：(1)由4sin2'A-Bcos2c=7,得4cos2Ccos2C”22224coC4cosC+1=0解得cosC-0°<C<180°,.C=60°C=602由余弦定理得c2=a2+b22abcos

8、C即7=a2+b2ab又a+b=5.a2+b2+2ab=25由得ab=6Skabc1absinC=母T2/7M變式3、已知向量m=(a+c,b),n=(a-c,b-a),且mn=0,其中A,B,C是4ABC的內(nèi)角,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊.(1)求角C的大小；(2)求sinA+sinB的取值范圍.222變式3、斛：(1)由mn=0得(a+c)(ac)+b(ba)=0=a+b-c=ab2,22由余弦定理得cosC=ab一。=12ab2ab23T<0<C.C=32二(2).C=.A+B=332二一一2二一2二一sinAsinB=sinAsin(-A)=sinAsincosA-

9、cossinA3333.3J31=sinAcosA=3(sinAcosA)2222=、3sin(A)6c 八 2二: 0 :二 A :二3jiji 一 - A 一:二：. 3sin(A -)三.3C所對(duì)的邊分別為a,b,c, b=acosC且4ABC的最大1-o3,1二sin(A*)*1即3:sinAsinB-.3.2(三)考查三角形形狀的判斷例5、在AABC中，角A,B,邊長(zhǎng)為12,最小角的正弦值為(1)判斷AABC的形狀；(2)求AABC的面積。例5、解：(1);b=acosC,由正弦定理，得sinB=sinAcosC(#)B=二-(AC),'sinB=sin(A+C),從而(#)

10、式變?yōu)閟in(A+C)=sinAcosC,cosAsinC=0又A,CW(0,n)，cosA=0,A=-,AAABC是直角三角2形。(2);AABC的最大邊長(zhǎng)為12,由(1)知斜邊a=12,又丁AABC最，一一、，一1一.1一,一小角的正弦值為,RtABC的最短直角邊為12m=4,另一條直角33邊為8.21S>AABC=48,2=16、22變式4、在ABC中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)(1說(shuō)斷ABC的形狀；(2心上述ABC中，若角C的對(duì)邊c=1,求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。變式4、解：(1)由sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)C可得2sin2

11、C=1，coC=0即C=902二AABC是以C為直角頂點(diǎn)得直角三角形1(2)內(nèi)切圓半徑rab-c21 .一,二一sinAsiib-12、2.八二1.2-1=sinA一一一2 4222_1二內(nèi)切圓半徑的取值范圍是0,三<2J2例7、在ABC中，已知2a=b+c,sinAusinBsinC,試判斷ABC勺形狀。所以a=b=c,ABCJ等邊三角形。變式8、在4ABC中，8碧=限，(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊)，則AABC22C的形狀為A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形.b2=a,.a2+c2b2=2a2,即a2+b2=c2,2acc.ABC為直角三角

12、形.答案：B變式9、AABC中，若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,試判斷ABC的形狀。變式9、解：等腰直角三角形；數(shù)列知識(shí)點(diǎn)一：通項(xiàng)化與前n項(xiàng)和S的關(guān)系I11-任意數(shù)列qj的前n項(xiàng)和'二曲+的+%；_卜("D注意：由前n項(xiàng)和&求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：(1)求用二S,(2)求出當(dāng)n>2時(shí)的”,(3)如果令n>2時(shí)得出的/中的n=1時(shí)有為二年成立，則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)寫(xiě)成一個(gè)形式，否則就只能寫(xiě)成分段的形式.知識(shí)點(diǎn)二：常見(jiàn)的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法1 .迭加累加法：若®一為=/5)，(總之2)，則的一%=/(2

13、)，與一的=/0),，為一詼_1=/除公/2)+3)+/2 .迭乘累乘法：則”二晨2),空二式3),，&=g(Qaa2%=>%=初咐虱府)知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題1 .數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率(復(fù)利)以及等值增減等實(shí)際問(wèn)題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2 .建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題；弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；明確所求的結(jié)論是什么.抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，

14、將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將已知與所求聯(lián)系起來(lái)，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式(如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式)規(guī)律方法指導(dǎo)1 .由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問(wèn)題的重要思想；2 .數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.3 .加強(qiáng)數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、不等式、方程、對(duì)數(shù)、立體幾何、三角等內(nèi)容的綜合.解決這些問(wèn)題要注意：(1)通過(guò)知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)化，更好地掌握數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；(2)通過(guò)解數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力經(jīng)典例題精析類型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1.在數(shù)列4） 總結(jié)升華：.中,1 .在數(shù)列

15、中，殺二甲洞，若/防為常數(shù)，則數(shù)列也是等差數(shù)列；若/何不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于界的式子，則數(shù)列jaj不是等差數(shù)列.2 .當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如&U二4后的解析式，而/。）+/（2）+一人刈的和是可求的，則可用多式累（迭）加法得勺.舉一反三：【變式i】已知數(shù)列2,%叫+免+2,求叫.【變式2】數(shù)列%中。=1,=2*，求通項(xiàng)公式外.類型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式2.設(shè)同）是首項(xiàng)為i的正項(xiàng)數(shù)列，且（附+1）$-做；+%/=0,=1,2,3-一），求它的通項(xiàng)公式。卜總結(jié)升華：1 .在數(shù)列aJ中，%二/（亦如,若/附為常數(shù)且4hQ,則數(shù)列/）是等比數(shù)列；若了不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于用的式子，則數(shù)列aj

16、不是等比數(shù)列.2 .若數(shù)列有形如4的解析關(guān)系，而*"/的積是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得仆.舉一反三：【變式1在數(shù)列也）中，01n,.二-（舒之2）,求勺.2 M+1%n【變式2】已知數(shù)列E）中，陌2.,二二7二加打,求通項(xiàng)公式.類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3 .數(shù)列中，的二3萬(wàn)一外產(chǎn)5%應(yīng)），求為.總結(jié)升華：1 .兩邊同時(shí)除以可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于和4川的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列nJ的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列-,而二'恰樂(lè)是等差數(shù)列.其通項(xiàng)易求，先求/-的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng).2 .若數(shù)列有形如=0的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘以2«【變式1】

17、數(shù)列&）中，的=1,求勺.【變式2】數(shù)列（&中,四T|區(qū)-4*1=2%電砥泊求勺類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4.已知數(shù)列中，1=1,總結(jié)升華:i.一般地，對(duì)已知數(shù)列aJ的項(xiàng)滿足限口=為常數(shù)，cmQJ)則可設(shè)+i+£=c(&+°得&+1=四，利用已知得媒-£=1即£=-，從而將1數(shù)列aJ轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列%-力的通項(xiàng).第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)歹i.這兩種方法均是常用的方法.2.若數(shù)列有形如白q=2+3(八b為常數(shù))的線性遞推關(guān)系，則可用待定系K+lA1已知數(shù)列®中。產(chǎn)"/ =/+4 ,

18、求可%已知數(shù)列-缶滿足氏j- ，而且二1 ,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公數(shù)法求得。卜舉一反三：【變式1】【變式2】類型五：S和的遞推關(guān)系的應(yīng)用5.已知數(shù)列&)中，可是它的前n項(xiàng)和，并且Smi=4%+2(4=1,2,3j-'),保1=1.(i)設(shè)42%H=L2，-),求證：數(shù)列QJ是等比數(shù)列；(2)設(shè)q二才偽=1,2,3,)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；_MlL(3)求數(shù)列dj的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問(wèn)題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的已知條件，通過(guò)合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，求得問(wèn)題的解決利用等差(比)數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形

19、成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)策略.舉一反三：【變式1】設(shè)數(shù)列%首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和£滿足1-/:.-.II.:.(1)求證：數(shù)列%是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列4)的公比為頊,作數(shù)列囪，使4=1,4二*3)("2,34)求你的通項(xiàng)公式.I.【變式2】若/=2,送5之2),求可.【變式3】等差數(shù)列(4)中，前n項(xiàng)和£=(至盧，若4=2*4M.求數(shù)列QJ的前n項(xiàng)和工.類型六：數(shù)列的應(yīng)用題10m,在第一面小旗處有某人把 要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪n項(xiàng)和公式，在求和后，利用二6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次

20、只能拿一面小旗,一面小旗的位置上？最短路程是多少？總結(jié)升華：本題屬等差數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)用等差數(shù)列前次函數(shù)求最短路程.舉一反三：【變式1】某企業(yè)2007年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的p倍，則該企業(yè)2007年年度產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為（）【變式2】某人2006年1月31日存入若干萬(wàn)元人民幣，年利率為艮17%,到2007年i月31日取款時(shí)被銀行扣除利息稅（稅率為20%）共計(jì)166區(qū)元，則該人存款的本金為（）一.A.1.5萬(wàn)元B.2萬(wàn)元C.3萬(wàn)元D.2.5萬(wàn)元【變式3】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的|萬(wàn)個(gè)月內(nèi)累積的需求量號(hào)（萬(wàn)件）近似地滿足S.而僅以-7-5）卜=122）.按比例預(yù)測(cè)

21、,在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是（）A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.9月、10月【變式4】某種汽車購(gòu)買時(shí)的費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合1t9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問(wèn)這種汽車使用多少年后報(bào)廢最合算？（即年平均費(fèi)用最少）【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，計(jì)劃從2007年起，每年拆除20萬(wàn)平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2007年底和2008年底的住房面積；（2）求2026年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.

22、01）局考題萃1 .設(shè)數(shù)列【%）的前n項(xiàng)和為X=24-2”.（I）求1*4；（n）證明：I川J是等比數(shù)列；（出）求（。J的通項(xiàng)公式.2 .設(shè)數(shù)列的前月項(xiàng)和為川.已知a”，=s.+y出en*（D設(shè)b北=£/甘,求數(shù)列（4的通項(xiàng)公式；（n）若&*1'%,用wM,求a的取值范圍.元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象、一元二次方程ax2+bx+c=。的根與一元二次不等式ax2+bx+c>0與ax2+bx+c<0的解集的關(guān)系，可歸納為：判別式b2-4acA>0A=0M0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象aL

23、*1=417Xyr一兀一次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根有兩相異實(shí)根x=x=x2二Xi或有兩相同實(shí)根x=X1無(wú)實(shí)根九二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)x|x<x1或x>x2x|xwxiRax2+bx+c<0(a>0)x|Xi<x<X2?若a<0時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對(duì)照上表求解.1 .不等式x(12x)>0的解集是()A.1；.B.0,2；C.(-汽0)U+8；D.&+8；答案：B2 .不等式9x2+6x+1<0的解集是()11：1：111:Axxw3B.：3，Cx3<x<31D

24、.R答案：B3,若關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-1,1)B.(2,2)C.(弋一2)U(2,+fD.(-,-1)U(1,+8)解析：選C由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得：判別式A>0,即m24>0,解得m<2或m>2.4.已知集合A=x6R|x+2|<3,集合B=x6R|(xm)(x2)<0,且AnB=(1,n),則m=,n=.解析：因?yàn)閨x+2|<3,即一5<x<1,所以A=(5,1),又APB*?,所以m<1,B=(m,2),由ACB=(1,n)得m=1,n=1.答案：

25、1115.不等式x1<1的解集為.解析：由1得10,即x2>0,解得x<1,或x>2.x1x1x1答案：xx<1,或x>2解一元二次不等式應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)在解一元二次不等式時(shí)，要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù).(2)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)會(huì)影響不等式的解集，討論時(shí)不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.(3)解決一元二次不等式恒成立問(wèn)題要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).(4)一元二次不等式的解集的端點(diǎn)與相應(yīng)的一元二次方程的根及相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.一元二次不等式的解法典題導(dǎo)入例1解下列不等式：(1)0Vx2x2<4；(2)x24ax5a2>

26、;0(aw0).自主解答(1)原不等式等價(jià)于xx2>0,xx2>0,x2一x_2<4x2一x_6<0,x2p+1廣0,x>2或x<1,3p+2/0-2<x<3.借助于數(shù)軸，如圖所示，-2-10原不等式的解集為x|2<x<1,或2Vx<3.由x24ax5a2>0知(x5a)(x+a)>0.由于aw0故分a>0與a<0討論.當(dāng)a<0時(shí)，x<5a或x>a；當(dāng)a>0時(shí)，x<a或x>5a.綜上，a<0時(shí)，解集為xx<5a，或x>a；a>0時(shí)，解集為x|x&

27、gt;5a,或x<一a.2由題悟法i.解一元二次不等式的一般步驟：(1)對(duì)不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0);(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)A>0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫(xiě)出不等式的解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏.3以題試法1.解下列不等式：(1)_3x2-2x+8>0；(2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).混：(1)原

28、不等式可化為3x2+2x8<0,即(3x-4)(x+2)<0.解得2<x<4,3所以原不等式的解集為僅-2<x<3>(2)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)<0,因?yàn)閍>0,所以卜；卜一1)<0.所以當(dāng)a>1時(shí)，解為"<x<1；a當(dāng)a=1時(shí)，解集為？；1當(dāng)0<a<1時(shí)，解為1<x<a.f綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為、當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為?:,當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為加；<x<1一元二次不等式恒成立問(wèn)題典題導(dǎo)入例2已知f(x)=x2-2ax+2

29、(aR),當(dāng)x61,)時(shí)，f(x)>a恒成立，求a的取值范圍.自主解答法一：f(x)=(x-a)2+2a2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a.當(dāng)a6(8,-1)時(shí)，f(x)在-1,+8)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)>a恒成立，只需f(x)min>a,即2a+3>a,解得一3<a<1；當(dāng)a61,+°°)時(shí)，f(x)min=f(a)=2a2,由2a2>a,解得1<a<1.綜上所述，a的取值范圍為3,1.法二：令g(x)=x22ax+2a,由已知，得x2-2ax+2-a>0在1,十

30、6;0)上恒成立，即產(chǎn)0,A=4a24(2a)<0或：a<1,解得3<a<1.g(T)>0.所求a的取值范圍是3,1.一題多變本題中的“x-1,+8)改為“x-1,1)",求a的取值范圍.解：令g(x)=x2-2ax+2a,由已知，得x22ax+2a>0在1,1)上恒成立，即A=4a20,p>0,4(2a)<0或：a<1,或彳a>1,解得3<a<1,J(-1廣01g(1廣0.所求a的取值范圍是3,1.由題悟法1 .對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是

31、相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.2 .一元二次不等式恒成立的條件：(1)ax2+bx+c>0(aw0)(x6R)恒成立的充要條件是：a>0且b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(aw0)(x6R)恒成立的充要條件是：a<0且b2-4ac<0.以題試法2,若關(guān)于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(°°,+°°),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;若關(guān)于x的不等式x2-ax-a<-3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：由A1<0,即a24(a)<0,得一4<a<0

32、；由4>0,即a2-4(3-a)>0,得a<6或a>2.答案：(一4,0)(一汽6U2,+8)一元二次不等式的應(yīng)用典題導(dǎo)入例3某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成=10%),8售出商品數(shù)量就增加5x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫(xiě)出定義域；(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.自主解答(1)由題意得丫=10。110<100ij+50x；因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以100110'180>0.所以y=f(x)=2

33、0(10-x)(50+8x),定義域?yàn)?,2.(2)由題意得20(10x)(50+8x)R10260,化簡(jiǎn)得8x2-30x+13<0.解得1<x<143.所以x的取值范圍是22.由題悟法解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進(jìn)行：(1)認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回答實(shí)際問(wèn)題.以題試法3.某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng).現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇.公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；公司B在用戶每次上網(wǎng)的第1小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元，第2小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)17小時(shí)，按1

34、7小時(shí)計(jì)算).假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時(shí)間總是小于17小時(shí)，那么該同學(xué)如何選擇ISP公司較省錢？解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則公司A收取的費(fèi)用為1.5x元，公司B收取的費(fèi)用為X32"x比.若能夠保證選擇A比選擇B費(fèi)用少，則“35x1.5x(0<x<17),20整理得x2-5x<0,解得0<x<5,所以當(dāng)一次上網(wǎng)時(shí)間在5小時(shí)內(nèi)時(shí)，選擇公司A的費(fèi)用少；超過(guò)5小時(shí)，選擇公司B的費(fèi)用少.基本不等式【2016年高考會(huì)這樣考】1 .考查應(yīng)用基本不等式求最值、證明不等式的問(wèn)題.2 .考查應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1 .突出對(duì)基本不等式取等號(hào)的條件及運(yùn)算能力的強(qiáng)化訓(xùn)

35、練.2 .訓(xùn)練過(guò)程中注意對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論及邏輯推理能力的培養(yǎng).基礎(chǔ)梳理a+b1 .基本不等式：強(qiáng)&-2-（1）基本不等式成立的條件：a>0、b>0.（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2 .幾個(gè)重要的不等式（1）a4.利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0, y>0,則（1）如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)、x+y有最小值是2dp.（簡(jiǎn)記：積 定和最?。┤绻蛒+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是方.（簡(jiǎn)記：和定 積最大）一個(gè)技巧運(yùn)用公式解題時(shí)既蘆掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2>2ab 逆用就是aba 2b

36、 ；，b>«b（a, b>0）逆用就是ab<b>0）等.還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等.門(mén)2bj2ab（a, bC R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）;/a2+ b2 a + br22->7彳口>0，b>。，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）. a+b+b2>2ab（a,bCR）；baa + b 2Q-j(a, bCR)；,bCR).十2（a，b同方）；(3)ab<a2b一3 .算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a+b設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為強(qiáng),基本不等式兩個(gè)變形 a2+b2 (1)-2可敘述為兩個(gè)正

37、數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù).這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們.三個(gè)注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可.在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致.考向一利用基本不等式求最值【例1】？(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,則1+1的最小值為;Xy2x(2)當(dāng)x>0時(shí)，則f(x)=X'的取大值為''&#

38、39;'X十111,審題視點(diǎn)第(1)問(wèn)把+中的1”代換為2x+y,展開(kāi)后利用基本不等式；Xy.第(2)問(wèn)把函數(shù)式中分子分母同除X”，再利用基本不等式.解析(1)：x>0,y>0,且2x+y=1,.11_2x+y2x+yx+y=x+y=3+y+2x>3+2V2.xy當(dāng)且僅當(dāng)丫=a時(shí)，取等號(hào).xy”>0,-2x2，.f(x)=?n&2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1,即x=1時(shí)取等號(hào).x答案(1)3+2,2(2)1方法總結(jié)“利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.常用的方法為：拆、湊、代換、平方.1一一，一【訓(xùn)練11(1)已知x&

39、gt;1,則f(x)=x+xn的最小值為.(2)已知0<x<2,則y=2x-5x2的最大值為.(3)若x,yC(0,+oo)且2x+8y-xy=0,則x+y的最小值為.解析(1)：x>1,；f(x)=(x1)+7+1>2+1=3當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào).x1-21、(2)y=2x5x2=x(2-5x)=55x(25x),c20<x<,5x<2,25x>0,5x(2 5x) <5x+2 5x 2=1,1.yw當(dāng)且僅當(dāng)5x=2-5x,即X=時(shí)，ymax=7.55由2x+8yxy=0,得2x+8y=xy,.2.8一十一二1,yxx+y=(x+y)8

40、+2；=10+8y+2x"y+x i> 10 + 2X2X給18,xyxy=10+2當(dāng)且僅當(dāng)？=x,即x=2y時(shí)取等號(hào)，又2x+8yxy=0,.x=12,y=6,當(dāng)x=12,y=6時(shí)，x+y取最小值18.答案(1)3(2)5(3)18考向二利用基本不等式證明不等式【例2？已知a>°,b>0,O0,求tE：*a+b+c.審題視點(diǎn)先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到.證明a>0,b>0,c>0,.bc ca>2 a b區(qū)十町2a cbc ca 八武一；bc ab =2b;a cca+詈 2ca ab 八 丁 T=2a.以上三

41、式相加得：2+ca+abi>2(a+b+c)即跑+ca+他>a+b+c.abc方法總結(jié)利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題.b>0, c>0,且 a+b+c=1.【訓(xùn)練2】已知a>0求證：1+b+1>9.ac證明a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,111a+b+ca+b+ca+b+c.a+b+c=+b c a c a= 3+a+a+b+b+a +bccbb+c>3+2+2+2=9,1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1

42、時(shí)，取等號(hào).3考向三利用基本不等式解決包成立問(wèn)題x【例3】？若對(duì)任意x>0,/+3X+1&a包成立，則a的取值范圍是xx審題視點(diǎn)先求x2+3x+1（x>0）的最大值，要使得W+3X+1<a（x>0）恒成立,只要2二一】（x>0）的最大值小于等于a即可.x十3x十1解析若對(duì)任意x>0,Zjwa恒成立，只需求得v=2,：丫工的最大值即x十3x十1x十3x十1111一,一可，因?yàn)閤> 0,所以y=x 3x 11<8=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取1-15x+x+32Wx71方法總結(jié)等號(hào)，所以a的取值范圍是J5當(dāng)不等式一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值較易求出

43、時(shí)，可直接求出這個(gè)最值（最值可能含有參數(shù)），然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解.【訓(xùn)練3】已知x>0y>0,xy=x+2y,若xy>m2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是解析由x>0, y>0： 得 m-2<8, m<10, 答案 10xy=x+2y>2。藥，得xy>8,于是由m20xy恒成立,故m的最大值為10.考向三利用基本不等式解實(shí)際問(wèn)題【例3】？某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)5m.房屋正面的造價(jià)為400元/m2,房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2,屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5800元，如果墻高為3m,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用.當(dāng)側(cè)面的