極限為零的變量稱為無窮小

1、1.定義定義極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.一、無窮小一、無窮小.0)(lim, 0)(lim, 0)(lim0)(lim, 0)(lim, 0)(lim, 0lim000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxnn第八節(jié)第八節(jié) 無窮大與無窮小無窮大與無窮小例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數數xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當是當函數函數 xx, 0)1(lim nnn.)1(時時的的無無窮窮小小是是當當數數列列 nnn注注: :0無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數混淆不能與很小的數混淆;0零是可以作為

2、無窮小的唯一的數零是可以作為無窮小的唯一的數.1. 無窮小與函數極限的關系無窮小與函數極限的關系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設設,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設設,)(0時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是當是當0 xx 時的無窮小時的無窮小.無窮小量性質無窮小量性質2. 無窮小的運算性質無窮小的運算性質:定理定理2 在同一過程中在同

3、一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無有限個無窮小的代數和仍是無窮小窮小.證證,時的兩個無窮小時的兩個無窮小是當是當及及設設 x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 時恒有時恒有當當Nx;22 時時恒恒有有當當Nx,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nx 22 , )(0 x注意注意無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小. .是無窮小，是無窮小，時時例如例如nn1, .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個個但但nn.0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時時使使得得當當,min21 取取恒恒有有時時則則當當,00 xx uuMM , .,0為為無無窮窮小

4、小時時當當 uxx,0時時的的無無窮窮小小是是當當又又設設xx 定理定理3 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證證內有界，內有界，在在設函數設函數100)( xxxu.)(, 0MxuM 使得使得則則推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,1arctan,1sin,0,2xxxxx時時當當例例如如都是無窮小都是無窮小1sinlim xxx絕對值無限增大的變量稱為絕

5、對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.二、無窮大二、無窮大 .)(lim,)(lim,)(lim)(lim,)(lim,)(lim,lim000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxnn定定義義 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數M( (不不論論它它多多么么大大) ), ,總總存存在在正正數數 ( (或或正正數數X) ), ,使使得得對對于于適適合合不不等等式式 00 xx( (或或 xX) )的的一一切切x, ,所所對對應應的的函函數數值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 Mxf )(, ,則則稱稱函函數數)(xf當當0 xx ( (或或 x) )時時為為無無窮窮大大, ,記

6、記作作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注注: :0無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數混淆不能與很大的數混淆;0無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當當例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( nnxn取取,22)( nxyn.)(,Mxynn 充分大時充分大時當當), 3

7、, 2 , 1 , 0(21)2( nnxn取取,可可以以任任意意小小充充分分大大時時當當nxn nnxyn2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時時當當Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數是函數則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy定理定理4 4 在同一自變量變化過程中在同一自變量變化過程中, ,無窮大的倒數無窮大的倒數為無窮小為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大恒

8、不為零的無窮小的倒數為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設設,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時時使使得得當當.)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時時當當xfxx 三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設設反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有時時使使得得當當.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無窮大為無窮大時時當當xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關于無窮大的討論關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小都可歸結為關于無窮小的討論的討論.是是時時，變變量量練練習習：當當xxx1sin10

9、2 A）無窮??；）無窮??；B）無窮大；）無窮大；C）有界但不是無窮??；）有界但不是無窮??；D）無界但不是無窮大。）無界但不是無窮大。 nxxn210 的的子子序序列列解解：取取02sin)2()(2 nnxfn則則2210 nyxn的子序列的子序列再取再取 22)22)22sin()22()( nnnyfn（則則 選選D.思考：思考：）下下列列正正確確的的是是（若若, 0lim nnnyx發(fā)發(fā)散散；發(fā)發(fā)散散則則）nnyxA必必為為無無窮窮小??；有有界界）nnyxB必必有有界界；無無界界）nnyxC為為無無窮窮小小。為為無無窮窮小小則則）nnyxD1解解: D正確正確.)1(1,)1(1!1ny

10、nxCnnnn 如如取取）不不對對；如如取?。┎徊粚yxBnnnn)1(1 ,)1(1!1 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32趨近零的速度要快得多趨近零的速度要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各極限觀察各極限四、無窮小的比較四、無窮小的比較);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就

11、就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設設;),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的的的是是就就說說如如果果kkCCk 記作記作 =O( )或或 =O( )例例1 1解解.tan4 ,0:3的的四四階階無無窮窮小小為為時時當當證證明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四階階無無窮窮小小為為時時故故當當xxxx 例例

12、2 2.sintan,0的的階階數數關關于于求求時時當當xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x用等價無窮小可給出函數的近似表達式用等價無窮小可給出函數的近似表達式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx .3sin1cos5tanlim:0 xx

13、xx 計計算算例例解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 303030)(lim)(limsinlimxxoxxoxxxxxxxx 思思考考定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設設證證 lim)lim( limlimlim.lim 五、等價無窮小代換五、等價無窮小代換例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxx

14、x 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換對于代數和中各無窮小不能分別替換. .注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 .)31ln(1limsin0 xexx 求求313sinlim0 xxx原式原式例例5 5解解,0時時當當 x,3)31ln(xx

15、,sin1sinxex xxxxxarctan1sin1lim20 例例6 6 xxxxxx1limsinlim030例例7 已知當已知當x0時，時，1)1(312 ax1cos x與與是等價無窮小，求是等價無窮小，求a ., 12131lim1cos1)1(lim2203120 xaxxaxxx.23 a則則1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件

16、.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.小結小結思考題思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？任何兩個無窮小量都可以比較嗎？思考題解答思考題解答不能不能例當例當 時時 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當故當 時時 x)(xf和和)(xg不不能能比比較較. 比較下列各對無窮小的階比較下列各對無窮小的階1）x1時時 與與xx 11x 12）x1時時, 與與2(1-x)4）x1時時, 與與31x 3）x0時時, 與與 xx 11xxtansin3tanxxx )1(xx 解解 1）111lim111lim11 xxxxxxxxxx 11161)1)(1(21lim323331 xxxxx2）31x 與與2(1-x)是同階無窮小。是同階無窮小。3） xxxxxxxxxxx200sin)11(cos2limtans