數(shù)學建模傳送帶效率模型

1、例一、傳送系統(tǒng)的效率例一、傳送系統(tǒng)的效率一、提出問題提出問題 在機械化生產車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張的生產同一種產品，工作臺上放一條傳送帶在運轉，帶上設置若干鉤子，工人將產品掛在經過他上方的鉤子上帶走，如圖。當生產進入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個工人生產一件產品所需時間是不變的，而他掛產品的時刻是隨機的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產品帶走。即一定時間內帶走產品數(shù)的多少。要求構造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標，并在簡化假設下建立模型描述這個指標與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關系。傳送帶掛鉤工作臺二、模型分析二、模型分析 為了用傳送帶及時帶走的產品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人生產周期（

2、即生產一件產品的時間）相同的情況下，需要假設工人生產出一件產品后，要么恰好有空鉤子經過工作臺，他可以將產品掛上帶走，要么沒有空鉤子經過，他將產品放下并立即投入下一件產品的生產，以保證整個系統(tǒng)周期性的運轉。 工人生產周期相同，但由于各種因素的影響，經過相當長的時間后，他們生產完一件產品的時刻會不一致，認為是隨機的，并在一個生產周期內任一時刻的可能性一樣。 由上分析，傳送系統(tǒng)長期運轉的效率等價于一周期的效率，傳送系統(tǒng)長期運轉的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內能帶走的產品數(shù)與一周而一周期的效率可以用它在一周期內能帶走的產品數(shù)與一周期內生產的全部產品數(shù)之比來描述。期內生產的全部

3、產品數(shù)之比來描述。周期內帶走的產品數(shù)即傳送帶的效率=周期內生產的產品總數(shù)三、模型假設三、模型假設3）在一周期內有 個鉤子通過每一工作臺上方，鉤子均勻排列，到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的。m4）每個工人在任何時刻都能觸到一只鉤子，且只能觸到一只，在他生產出一件產品的瞬間，如果他能觸到的鉤子是空的，則可將產品掛上帶走；如果非空，則他只能將產品放下。放下的產品就永遠退出這個傳送系統(tǒng)。1）有 n 個工人，其生產是獨立的，生產周期是常數(shù)（即生產一件產品所用時間）， 個工作臺均勻排列。2）生產已進入穩(wěn)態(tài)，即每個工人生產出一件產品的時 刻在一個周期內是等可能性的。且在一個周期內 n個工人生產的產品總數(shù)為

4、n件。n四、模型建立與求解四、模型建立與求解 將傳送帶效率定義為一周期內帶走的產品數(shù)與生產的全部產品數(shù)之比，記為D。令變量S表示傳送帶在一周期內帶走的產品數(shù)的平均值（因為一周期內帶走的產品數(shù)是一個隨機變量，所以S應該是產品數(shù)的期望），所以 sDn 要求出產品數(shù)的期望S，就要先求出一周期內每個鉤子掛上產品的概率。因為某鉤子在一周期內能否掛上產品與其他鉤子無關（鉤子間相互獨立）；某工人在什么時刻產出產品與其他工人產出產品時刻無關（工人間相互獨立）。所以我們只需考察某特定鉤子在一周期內掛上產品的概率P。1、令 表示A鉤子在一周期內掛上產品的數(shù)目，則 表掛上產品； 表空轉一周沒掛上產品。102、對甲工

5、人來講，他在一周期內碰到A鉤子的概率是 沒有碰到A鉤子的概率是11m1/ m3、又由相互獨立性，n個生產工人在完成產品之時都沒有碰到A鉤子的概率為 （ A鉤子空轉一周）而A鉤子掛上產品的概率1(0)1nPm1(1)11nPm 4、令 表示m個鉤子在一個周期內掛上的產品數(shù)，則隨機變量 服從二項分布，即1( ,)11nB mm所以產品數(shù)的期望 S111nmmE所以傳送帶效率 111nsnnmDmmmnnm11mnmnnmnnmD21121112 如果將一周期內未帶走的產品數(shù)與全部產品數(shù)之比記作E 再假定1n，則1,2nDEEm 當40,10mn 時， 上式給出的結果為%5 .87D用D的精確表達式

6、計算得%4 .89D 為了得到比較簡單的結果，在鉤子數(shù) 相對于工人數(shù)n較大，即 較小的情況下，將多項式 展開后只取前3項，則有DE1與n成正比，與m成反比。通常工人數(shù)目n是固定的，一周期內通過的鉤子數(shù) 增加一倍，可使“效率” 降低一倍。mE思考：思考：如何改進模型使“效率”降低？（可理解為相反意義的效率）mp/1111qpm 于是任一鉤對為空的概率為1(0)(1)nPm鉤對上只掛一件產品的概率是11(1)11nPmnm 鉤對掛上兩件產品的概率是11111(2)(1)1nnnPmmm則一周期內m只鉤對帶走產品數(shù)的平均數(shù)為0(0) 1(1)2(2)SmPPP 1111112 1 (1)111nnnnnmmmmmm 11122(1)1nn