數(shù)學(xué)物理方法

1、 數(shù)學(xué)物理方法格林函數(shù)法格林函數(shù)法n格林函數(shù)的一般概念n穩(wěn)定問(wèn)題的基本解n穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù)n演化問(wèn)題的基本解n演化問(wèn)題的格林函數(shù)n本章小結(jié)格林函數(shù)的一般概念n概念n定義：純點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng) （不計(jì)初始條件和邊界條件的影響）。n例子： G = (r-r)，G|=0 (t a2) G = (r-r)(t-t)， G|= G|t=0=0n一般形式 L G(xi) = (xi-xi) G|邊界= G|初始=0格林函數(shù)的一般概念n分類：n按泛定方程可以分為： 穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù) L = 熱傳導(dǎo)問(wèn)題的格林函數(shù) L = (t a2) 波動(dòng)問(wèn)題的格林函數(shù) L = (tt a2)n按邊界條件可以分為 無(wú)界空間的格

2、林函數(shù)，又稱為基本解； 齊次邊界條件的格林函數(shù)。格林函數(shù)的一般概念格林函數(shù)穩(wěn)定問(wèn)題G = (r-r)輸運(yùn)問(wèn)題(t a2) G = (r-r)(t-t)G|t=0=0波動(dòng)問(wèn)題(tt a2) G=(r-r)(t-t) G|t=0=0Gt|t=0=0無(wú)界空間泊松方程的基本解熱傳導(dǎo)方程的基本解波動(dòng)方程的基本解齊次邊界G|= 0泊松方程的格林函數(shù)熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)波動(dòng)方程的格林函數(shù)格林函數(shù)的一般概念n性質(zhì)：n設(shè)數(shù)學(xué)物理方程為 L u(x) = f (x)n而格林函數(shù)方程為 L G(x) =(x-x)n在相同的齊次定解條件下n因?yàn)椋?f(x) =f (x)(x-x) dxn所以： u(x) =f (x)

3、 G(x-x) dxn應(yīng)用（求解數(shù)學(xué)物理方程的格林函數(shù)法）n范圍：非齊次泛定方程、齊次定解條件n程序：先求出對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)，再積分得待求函數(shù)穩(wěn)定問(wèn)題的基本解原問(wèn)題點(diǎn)源問(wèn)題點(diǎn)電荷電場(chǎng)方程解)(rfu) (rrG0/ ) (rrqV| |40rrqV| |41rrG| |4) (rrdrfu穩(wěn)定問(wèn)題的基本解可以利用靜電場(chǎng)類比法得到穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù)原問(wèn)題0|)(urfu點(diǎn)源問(wèn)題0|) (GrrG關(guān)系) ,() ()() () ()(drrGrfrudrrrfrfn基本思路穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù)n求解方法 穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù)也可以利用靜電場(chǎng)類比法得到。 點(diǎn)源問(wèn)題可以看成接地的導(dǎo)體邊界內(nèi)在 r 處有一個(gè)電

4、量為 - 0 的點(diǎn)電荷。 邊界內(nèi)部的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與導(dǎo)體中的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。 在一些情況下，導(dǎo)體中所有感應(yīng)電荷的作用可以用一個(gè)設(shè)想的等效電荷來(lái)代替，該等效電荷稱為點(diǎn)電荷的電像。 這種方法稱為電像法穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù)n例題在半空間內(nèi)求解穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù)0|0),() () (0zGzzzyyxxG解：根據(jù)題目，定解問(wèn)題為 這相當(dāng)于在接地導(dǎo)體平面上方點(diǎn) M(x,y,z) 處放置一個(gè)電量為 - 0 的點(diǎn)電荷，求電勢(shì)。 設(shè)想在M的對(duì)稱點(diǎn) N (x,y,-z)處放置一個(gè)電量為 + 0 的點(diǎn)電荷，容易看出在平面 z=0上電勢(shì)為零，這表明在N點(diǎn)的點(diǎn)電荷就是電像。穩(wěn)定問(wèn)題的格林函數(shù)|141| |141) ,

5、(NrrrrrrG根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式，我們不難得到格林函數(shù)222222) () () (141) () () (141zzyyxxzzyyxx演化問(wèn)題的基本解問(wèn)題等價(jià)問(wèn)題基本解輸運(yùn)波動(dòng)0|)()(02ttGtxGaG)(2exp)(4)(22taGtax| ,| , 021taxtaxGa演化問(wèn)題的基本解可以利用沖量定理法得到)(|002xGGaGtt0|0|)()(002tttttGGtxGaG)(|0|0002xGGGaGttttt演化問(wèn)題的基本解0|)()(02ttGtxGaG)(2exp),()(4)(022tafddutaxt無(wú)界輸運(yùn)問(wèn)題的求解0|),(02txxtutxfuau)

6、(2exp)(4)(22taGtax)()(),(),(0 txfddtxft),;,(),(),(0txGfddtxut 演化問(wèn)題的基本解0|0|)()(002tttttGGtxGaGafddutaxtaxt21),()()(0無(wú)界波動(dòng)問(wèn)題的求解0|0|),(002tttxxttuutxfuau| ,| ,021taxtaxGa)()(),(),(0 txfddtxft),;,(),(),(0txGfddtxut 演化問(wèn)題的格林函數(shù)問(wèn)題等價(jià)問(wèn)題基本解輸運(yùn)波動(dòng)0|0|)()(002tLxxtGGGtxGaG)(expsinsin2221taxGnLnnn演化問(wèn)題的格林函數(shù)也可以用沖量定理法得到)(|0|0002xGGGGaGtLxxt0|0|0|)()(0002tttLxxttGGGGtxGaG)(|0|0|00002xGGGGGaGtttLxxtt)(sinsinsin21taxGnLannnn本章小結(jié)n格林函數(shù)問(wèn)題有兩個(gè)要素n泛定方