線性代數(shù)：矩陣2-6矩陣的秩

1、第六節(jié)第六節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩., 2階子式階子式的的稱為矩陣稱為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們在變它們在不改不改元素元素處的個處的個），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩陣矩陣在在kAkAknkmkkkAnm 定義定義例例1,00000320002113011111 A,12111 第六節(jié)第六節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩., 2階子式階子式的的稱為矩陣稱為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們在變它們在不改不改元素元素處的個處的個），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取

2、矩陣矩陣在在kAkAknkmkkkAnm 定義定義例例1,00000320002113011111 A.6200130111 .)()(0)(10 ArAArADrDkA或或的的秩秩，記記作作秩秩矩矩陣陣稱稱為為的的最最高高階階非非零零子子式式，數(shù)數(shù)稱稱為為矩矩陣陣那那末末，全全等等于于如如果果存存在在的的話話階階子子式式，且且所所有有階階子子式式的的中中有有一一個個不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣 .)(中中非非零零子子式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)是是的的秩秩矩矩陣陣AArAnm . 個個階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmCCkAnm 零矩陣的秩規(guī)定為零矩陣的秩規(guī)定為0 0。定義定義矩陣秩的性

3、質(zhì)：矩陣秩的性質(zhì)：(1) (1) 若若A為為nm 矩陣，則矩陣，則 ),min()(0nmAr ； ( (2 2) ) )()(ArArT ；)()(ArkAr ( (0 k) )； ( (3 3) ) 若若A有有一一個個r階階子子式式不不為為零零， 則則 rAr )(； 若若A的所有的所有1 r階子式全為零，則階子式全為零，則rAr )(； ( (4 4) ) 對對于于n階階方方陣陣A而而言言，有有 0)( AnAr； 可逆矩陣也稱為可逆矩陣也稱為滿秩矩陣滿秩矩陣。;0)( AnAr( (5 5) ) 設(shè)設(shè)QP,為為可可逆逆陣陣, ,則則 )()(ArPAr , ,)()(ArAQr . .

4、 例例2.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階子式只有一個階子式只有一個的的又又AA3. 03221 ，且且0 A.2)( Ar例例3.00000340005213023012的秩的秩求矩陣求矩陣 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一個行階梯形矩陣，是一個行階梯形矩陣，3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B,0400230312 而而.3)( Br若矩陣的每行第一個非零元的下方及左下方全為零，若矩陣的每行第一個非零元的下方及左下方全為零，則稱之為則稱之為階梯形矩陣階梯形矩陣。 00000317000521040232 540001003020021 00

5、0000400321 00000100000100000310 任意一個矩陣都可以經(jīng)過一系列的初等行變換任意一個矩陣都可以經(jīng)過一系列的初等行變換化為階梯形矩陣?；癁殡A梯形矩陣。 初等變換不改變矩陣的秩。初等變換不改變矩陣的秩。階梯形矩陣的秩等于其中非零行的個數(shù)。階梯形矩陣的秩等于其中非零行的個數(shù)。矩陣秩的計算方法：矩陣秩的計算方法： 用初等行變換把矩陣化為階梯形，則該階梯用初等行變換把矩陣化為階梯形，則該階梯形矩陣中的非零行數(shù)就是所求矩陣的秩。形矩陣中的非零行數(shù)就是所求矩陣的秩。 例例4解解的秩的秩求矩陣求矩陣設(shè)設(shè)AA,41461351021632305023 41rr A 050233510

6、21632341461 4 146 1 11 3 40 117 9 120 128 12160 42rr 132rr 143rr 1281216011791201134041461 000840001134041461 233rr 244rr 34rr .3)( Ar 001134041461 8400 8400 00練習(xí)：練習(xí)：P83 習(xí)題二習(xí)題二33.(5) 34.補充題補充題1.1.設(shè)設(shè) 101100010A, , 求所有與求所有與A可交換的矩陣可交換的矩陣. . 2.2.若方陣若方陣A與與B可交換可交換, ,且且A可逆可逆, ,則則1 A與與B也可交換也可交換. . 3.3.設(shè)設(shè),2TxxEA 其中其中.),(4321Taaaax 若若,1 xxT 求求,TA ,2A ,TAA ,AAT.Ax 4.4.如果方陣如果方陣A與與B、