波動光學習題（二）

1、二、光的衍射（一）惠更斯菲涅爾原理 同一波面上各點都可以認為是相干波源；它們發(fā)出的子波在空間各點相遇時，其強度分布是所有子波相干疊加的結果?；军c：子波干涉LfoaBAPxCsina22k)2 ,1(k減弱減弱212）（k)2 ,1(k加強加強（二）夫朗和費單縫衍射光的衍射是同一光束中無數(shù)子波在障礙物后相干疊加的結果。半波帶法計算光程差單縫最邊沿（上下）兩光線的光程差sintanffx條紋位置條紋間距afxxxkk1中央明紋寬度afx22afk)2 ,1(k暗紋暗紋afk212）（)2 ,1(k明紋明紋xbadkfoxP光柵方程光柵方程k)2 ,1 ,0(ksin)(ba主極大明紋主極大明紋b

2、afkx )2 ,1 ,0(k明紋明紋明紋位置明紋位置（三）光柵衍射光柵衍射是每一狹縫衍射的同一方向的子波間相互干涉的結果，因而光柵衍射是單縫衍射與縫間干涉的總效果。與單縫衍射相比，在黑暗的背景上顯現(xiàn)窄細明亮的譜線，且縫數(shù)越多，譜線越細越亮。kkad)321(， k缺級條件缺級條件I單單0 0-2-2-1-11 12 2I0 04 48 8-4-4-8-8單縫衍射單縫衍射 輪廓線輪廓線光柵衍射光柵衍射光強曲線光強曲線在在 處出現(xiàn)缺級。處出現(xiàn)缺級。 譜線強度受單縫衍射調制（ ，衍射暗紋），有時有缺級現(xiàn)象（ ）缺級kasinkadkkadk（四）光學儀器的分辨本領 兩個點光源 、 ，若 像中央最亮

3、處剛好與 像第一暗處重合，則這兩點恰能分辨，稱瑞利判據(jù)。這兩點光源在透鏡處所張角程為最小分辨角，其倒數(shù)稱為光學儀器的分辨率。A BAB最小分辨角D22. 10分辨率D0122.110D1S2S2/d0Lx三、光的偏振光波是橫波，偏振現(xiàn)象是橫波特有的現(xiàn)象。（一）光的五種偏振態(tài)自然光線偏振光橢圓偏振光部分偏振光圓偏振光（二）產生偏振光的三種方法1、偏振片2、反射、折射3、雙折射 光， 光 Oe自然光自然光線偏振光線偏振光部分偏振光部分偏振光212cosII20cos21I2P1P0I1I2I0i1n2n0i0r120tgnni2/00ri 例例1: 在單縫衍射實驗中在單縫衍射實驗中,當縫的寬度當縫

4、的寬度a遠大于遠大于單色光的波長時單色光的波長時,通常觀察不到衍射條紋通常觀察不到衍射條紋.試由試由單縫衍射暗條紋條件公式說明這是為什么單縫衍射暗條紋條件公式說明這是為什么.答:由單縫衍射暗紋公式: 可知,當 很小的時候, 級次不太高的那些暗紋(角很小)都聚集在狹窄的中央明紋附近( ),以致不能分辨出條紋.而且K很大的暗紋之間的明紋本來就暗到看不見了,不必加以考慮.這樣就觀察不到衍射條紋.)2 , 1( sinkkaa/afl20 例例2: 用納光用納光589.3nm垂直照射到某光柵上垂直照射到某光柵上,測得第三級測得第三級光譜的衍射角為光譜的衍射角為60度度 (1)若換用另一光源測得第二級光

5、譜的衍射角為若換用另一光源測得第二級光譜的衍射角為30度度,求求后一光源的波長后一光源的波長 (2)若以白光若以白光(400-760nm)照射到該光柵上照射到該光柵上,求其第二級求其第二級光譜的張角光譜的張角01111025)4 .2041/7602(sin );4 .2041/4002(sin)/2(sin2sin4 .2041360sin)2( ddnmdd由nmdd3 .5102330sin60sin230sin360sin）1：（221002010解 例例3 :自然光以自然光以60度入射角照射到某兩介質交界面度入射角照射到某兩介質交界面時時,反射光為完全線偏振光反射光為完全線偏振光,則

6、折射光為則折射光為 (A)完全線偏振光且折射角是完全線偏振光且折射角是30度度 (B)部分偏振光且只是在該光由真空入射到折射率為部分偏振光且只是在該光由真空入射到折射率為 的的介質時介質時,折射角是折射角是30度度 (C)部分偏振光部分偏振光,但須知兩種介質的折射率才能確定折射角但須知兩種介質的折射率才能確定折射角 (D)部分偏振光且折射角是部分偏振光且折射角是30度度31n2n0i答：答：D 解：設入射光強為解：設入射光強為I0，連續(xù)穿過，連續(xù)穿過P1 P2后的透射光強為：后的透射光強為：02max20200020max2020604/1cos4/cos30cos4330cos:0cos30

7、cosIIIIIIII時為最大透射光強 例例4 : 兩偏振片兩偏振片P1，P2疊在一起，一束單色線疊在一起，一束單色線偏振光垂直入射到偏振光垂直入射到P1上，其光矢量振動方向上，其光矢量振動方向與與P1的偏振化方向之間的夾角固定為的偏振化方向之間的夾角固定為30度。度。當連續(xù)穿過當連續(xù)穿過P1，P2后的出射光強為最大出射光后的出射光強為最大出射光強的強的1/4時，時， P1，P2的偏振化方向夾角的偏振化方向夾角是多是多少？少？030P1P1例5.一束自然光自空氣射向一塊平板玻璃(如圖)，設入射角等于布儒斯特角i0，則在界面 2 的反射光 B （A）是自然光（B）是線偏振光且光矢量的振動方向垂直

8、于入射面；（C）是線偏振光且光矢量的振動方向平行于入射面；（D）是部分偏振光。i01213.13.反射光與折射光的偏振反射光與折射光的偏振 / / 三、玻璃堆三、玻璃堆0r21000)tg(90tgnnir1例6.一束自然光入射一塊平板玻璃上(如圖)，已知其上表面的反射光線1為完全偏振光，設玻璃板兩側都是空氣，試證明其下表面的反射光線2也是完全偏振光。解：因為入射角滿足布儒斯特定律且i013.13.反射光與折射光的偏振反射光與折射光的偏振 / / 三、玻璃堆三、玻璃堆0rnnctgiir00000)tg(90tg1200tgnni 9000ir所以：下表面的入射角也滿足布儒斯特定律，因而反射光

9、線2也是完全偏振光例、 透光介質、如圖安排，兩個交界面相互平行一束自然光由中入射試證明：若i為起偏角，則、下界面上的反射光為線偏振光 解：證：設介質證：設介質、的折射率分別為的折射率分別為n n1 1、n n2 2，、交界面交界面( (圖中的上界面圖中的上界面) )處折射角為處折射角為r r， 它也等于它也等于、下界面處的入下界面處的入射角最后的折射角為射角最后的折射角為 由折射定律由折射定律 ii2/2/irir這表明在下界面處也滿足布儒斯特定律，所以在下界面處的反射光也是線偏振光 i n1 sini = n2 sinr = n1 sin i i ,n1,n2 i,n1 irri例例9：一束

10、自然光以布儒斯特角入射到平板玻璃上，就：一束自然光以布儒斯特角入射到平板玻璃上，就偏振狀態(tài)來說則反射光為偏振狀態(tài)來說則反射光為 ，反射光，反射光 矢量矢量 的振動方向的振動方向 ，折射光，折射光為為 。 E例例8：He-Ne激光器發(fā)出激光器發(fā)出=632.8nm=632.8nm的平行光束，的平行光束，垂直照射到一單縫上，在距單縫垂直照射到一單縫上，在距單縫3m3m遠的屏上觀察遠的屏上觀察夫瑯和費衍射圖樣，測得兩個第二級暗紋間距是夫瑯和費衍射圖樣，測得兩個第二級暗紋間距是10cm10cm，則單縫的寬度，則單縫的寬度a=_a=_。例例7：一束白光垂直照射在一光柵上，在形成的：一束白光垂直照射在一光柵

11、上，在形成的同一級光柵光譜中，偏離中央明紋最遠的是同一級光柵光譜中，偏離中央明紋最遠的是(A)紫光紫光. (B)綠光綠光. (C)黃光黃光. (D)紅光紅光答: (D)mmacmafkx2106 . 7102答：完全（線）偏振光；垂直于入射面；部分偏振光答: (D)；例例11：汽車兩前燈相距：汽車兩前燈相距L，與觀察者相距為，與觀察者相距為S=10km，夜間人眼瞳孔直徑為夜間人眼瞳孔直徑為d=5.0mm。人眼敏感波長為。人眼敏感波長為=550nm=550nm，若只考慮人眼的園孔衍射，則人眼可分辯出，若只考慮人眼的園孔衍射，則人眼可分辯出汽車兩前燈的最小間距汽車兩前燈的最小間距L=L= 。 例例

12、10：在：在單縫夫瑯和費衍射實驗中，波長為單縫夫瑯和費衍射實驗中，波長為單單色平行光束垂直照射到寬度為色平行光束垂直照射到寬度為a=2a=2的單縫上，的單縫上，對應于衍射角為對應于衍射角為3030度方向，單縫處的波面可分成度方向，單縫處的波面可分成的半波帶數(shù)目為的半波帶數(shù)目為_。=1.342230sin0kkadSLdSL22. 122. 1例例12：（：（1）在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，垂直入）在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，垂直入射的光有兩種波長，射的光有兩種波長，1 1=400nm=400nm，2 2=760nm.=760nm.已知單已知單縫寬度縫寬度 , ,透鏡焦距透鏡焦距f=50cmf=50

13、cm。求兩種光第。求兩種光第一級衍射明紋中心之間的距離。一級衍射明紋中心之間的距離。（2 2）若用）若用光柵常數(shù)光柵常數(shù) 的光柵替換單縫，的光柵替換單縫，其他條件和上一問相同，求兩種光第一級主極大之其他條件和上一問相同，求兩種光第一級主極大之間的距離。間的距離。cma2100 . 1cmd3100 .1解：由單縫衍射的明紋公式cmafxxxafxafxfxkakak27. 0/23 /23 , /23 /sin232) 12(sin232) 12(sin , 11122211222111，）?。?）由光柵方程：cmdfxxxfxkdkdk8 . 1/ sinsin ;sin , 1122221

14、11取 解：設兩入射自然光光強分別為解：設兩入射自然光光強分別為I1， I2，連續(xù)穿過兩連續(xù)穿過兩偏振片后的透射光強為：偏振片后的透射光強為：32coscoscos21cos21122221222121IIII 例例13 : 兩偏振片疊在一起，在它們的偏振化方兩偏振片疊在一起，在它們的偏振化方向成向成 時，觀測一束單色自然光，時，觀測一束單色自然光， 又在又在 時觀測另一束單色自然光。若兩時觀測另一束單色自然光。若兩次觀測所測得的透射光強度相等，求兩次入射次觀測所測得的透射光強度相等，求兩次入射自然光的強度之比。自然光的強度之比。01300245 解：透過第一個偏振片后的光強為：解：透過第一個

15、偏振片后的光強為：32/560cos)8/5(:8530cos21212100202002001IIIIIII光強透過第二個偏振片后的）（）（ 例例(14) : 強度為強度為I0的一束光，垂直入射到兩個的一束光，垂直入射到兩個疊在一起的偏振片上，這兩個偏振片偏振化疊在一起的偏振片上，這兩個偏振片偏振化方向之間的夾角為方向之間的夾角為60度，若這束入射光是強度，若這束入射光是強度相等的線偏振光和自然光混合而成的，且度相等的線偏振光和自然光混合而成的，且線偏振光的光矢量振動方向與此二偏振片的線偏振光的光矢量振動方向與此二偏振片的偏振化方向皆成偏振化方向皆成30度角，求透過每個偏振片度角，求透過每個

16、偏振片后的光束強度。后的光束強度。030P1P1P2P2例（例（15）：如果）：如果單縫夫瑯和費衍射的第一級暗紋單縫夫瑯和費衍射的第一級暗紋發(fā)生在衍射角為發(fā)生在衍射角為3030度方向上，所用單色光波長為度方向上，所用單色光波長為500nm500nm，則單縫寬度為（，則單縫寬度為（ ）。）。答：C;C 10D)2.5 10)1.0 10)1.0 10A)2.57 -6-5-5mmCmBm（ 例例(16):一束自然光以布儒斯特角入射到一玻璃表一束自然光以布儒斯特角入射到一玻璃表面上，反射光為面上，反射光為 (A)在入射面內振動的完全線偏振光在入射面內振動的完全線偏振光 (B)平行于入射面的振動占優(yōu)

17、勢的部分偏振光平行于入射面的振動占優(yōu)勢的部分偏振光 (C)垂直于入射面振動的完全線偏振光垂直于入射面振動的完全線偏振光 (D)垂直于入射面的振動占優(yōu)勢的部分偏振光垂直于入射面的振動占優(yōu)勢的部分偏振光例（例（17）：用一束具有兩種波長的平行光垂直入射在）：用一束具有兩種波長的平行光垂直入射在光柵上，光柵上，1 1=600nm=600nm，2 2=400nm=400nm，發(fā)現(xiàn)距中央明紋，發(fā)現(xiàn)距中央明紋5cm5cm處處1 1光的第光的第k k級主極大和級主極大和2 2光的第（光的第（k+1)k+1)級主極大相級主極大相重合，透鏡的焦距重合，透鏡的焦距f=50cmf=50cm，試問：，試問：（1 1）

18、上述的）上述的k=?k=?（2 2）光柵常數(shù)）光柵常數(shù)d=?d=?cmxfkdfxtgkkkkdkd312122121102 . 1sin)2(2)1( )1(sin sin )1(解： 解：解：121121 12121 121minmaxminmaxnnIIIIbaabaaba 例例(18) : 強度為強度為Ia的自然光和強度為的自然光和強度為Ib的線偏的線偏振光混合而成一束入射光，垂直入射到一偏振光混合而成一束入射光，垂直入射到一偏振片上，當以入射光方向為轉軸旋轉偏振片振片上，當以入射光方向為轉軸旋轉偏振片時，出射光將出現(xiàn)最大值和最小值，其比值時，出射光將出現(xiàn)最大值和最小值，其比值為為n。

19、試求出。試求出Ia/Ib與與n關系（關系（10分）。分）。例（例（19）：惠更斯）：惠更斯菲涅耳原理的基本內容是：波陣菲涅耳原理的基本內容是：波陣面上各面元發(fā)出的子波在觀察點面上各面元發(fā)出的子波在觀察點P的的 ，決決定了定了P P點的合振動及光強。點的合振動及光強。答：干涉（或相干疊加）kmDdLLdLd09.922.1D2.21D2.210剛能分辨時角汽車兩前燈對人眼的張人眼最小分辨角例（例（20）：設汽車前燈光波長按）：設汽車前燈光波長按=550nm計算，兩前燈計算，兩前燈距離距離d=1.22m，夜間人眼瞳孔直徑為，夜間人眼瞳孔直徑為D=5mm。試根據(jù)。試根據(jù)瑞利判據(jù)計算人眼剛能分辯上述兩

20、只車燈時，人與汽車瑞利判據(jù)計算人眼剛能分辯上述兩只車燈時，人與汽車的距離的距離L。 解：通過每一偏振片后的光皆為線偏振光，光振動方向與剛解：通過每一偏振片后的光皆為線偏振光，光振動方向與剛通過的偏振片的偏振化方向平行。通過的偏振片的偏振化方向平行。 8145cos ,4145cos ,211002230021201IIIII）（ 例例(21) :將三個偏振片疊放在一起，第二個與第三個將三個偏振片疊放在一起，第二個與第三個的偏振化方向分別與第一個的偏振化方向成的偏振化方向分別與第一個的偏振化方向成45度和度和90度角。度角。 （1）強度為）強度為I0的自然光垂直入射到這一堆偏振片上，的自然光垂直

21、入射到這一堆偏振片上，試求經每一偏振片后的光強和偏振狀態(tài)。試求經每一偏振片后的光強和偏振狀態(tài)。 （2）如果說將第二個偏振片抽走，情況又如何？）如果說將第二個偏振片抽走，情況又如何？0I 2II2301）（045P1P1P2P2cm9 .13:答例：設天空中兩顆星對于一望遠鏡的張角為例：設天空中兩顆星對于一望遠鏡的張角為4.8410-6rad，它們都發(fā)出波長為，它們都發(fā)出波長為550nm的光，的光，為了分辨出這兩顆星，望遠鏡物鏡的口徑至少要等為了分辨出這兩顆星，望遠鏡物鏡的口徑至少要等于于= cmD22. 1例（例（22）：若星光的波長按）：若星光的波長按=550nm計算，孔徑計算，孔徑為為D=

22、127cm的大型望遠鏡所能分辨的兩顆星的最的大型望遠鏡所能分辨的兩顆星的最小角距離。小角距離。（從地上一點看兩星的視線間夾角）（從地上一點看兩星的視線間夾角）是是D2.2105.310-7rad例：用納光例：用納光=589.3nm=589.3nm做光源進行單縫夫瑯和費做光源進行單縫夫瑯和費實驗，實驗，單縫的寬度單縫的寬度a=0.50mm,a=0.50mm,在縫后放一焦距為在縫后放一焦距為700mm700mm 的會聚透鏡，的會聚透鏡，試求位于透鏡焦平面處的屏試求位于透鏡焦平面處的屏幕上中央明條紋寬度。幕上中央明條紋寬度。mmf46. 5a2x例（例（23）：單縫的寬度）：單縫的寬度a=0.10m

23、m,a=0.10mm,在縫后放一焦在縫后放一焦距為距為50cm50cm 的會聚透鏡，用平行綠光的會聚透鏡，用平行綠光=546nm=546nm垂垂直照射到單縫上，試求位于透鏡焦平面處的屏幕直照射到單縫上，試求位于透鏡焦平面處的屏幕上中央明條紋寬度。上中央明條紋寬度。mmafx65.12 例例(24): 波長波長=6000的單色光垂直入射到光柵上，已知的單色光垂直入射到光柵上，已知第二級主級大出現(xiàn)在第二級主級大出現(xiàn)在=300處，第三級缺級。求：處，第三級缺級。求： 1）、光柵常數(shù)）、光柵常數(shù)a+b 2）、光柵每個縫的寬度）、光柵每個縫的寬度a 3）、光屏上可以看到的明條紋數(shù)目。）、光屏上可以看到的

24、明條紋數(shù)目。2 ; 1 ;054/90sin)3()(8003/33/)2(24004230sin)1(00條條紋為所以屏上可以看到的明第三級缺級對應最小可能的解，dkkdanmdakkadnmdd：12nn例（例（25）：自然光以布儒斯特角）：自然光以布儒斯特角i0從第一種介質從第一種介質（折射率為（折射率為n1）入射到第二種介質（折射率為）入射到第二種介質（折射率為n2）內，則內，則tgi0= .例（例（26）簡答：為什么在日常生活中容易覺察聲波的）簡答：為什么在日常生活中容易覺察聲波的衍射現(xiàn)象而不太容易覺察到光波的衍射現(xiàn)象？衍射現(xiàn)象而不太容易覺察到光波的衍射現(xiàn)象？主要是因為聲波（空氣中）

25、波長數(shù)量級為0.1m到10m的范圍，而可見光波長數(shù)量級為1m，日常生活中遇到的孔或屏的線度接近或小于聲波波長，又遠大于光波波長，所以聲波的衍射現(xiàn)象很明顯，而光波的衍射現(xiàn)象不容易覺察到。聲波的衍射現(xiàn)象很明顯，而光波的衍射現(xiàn)象不容易覺察到。例(27).有三個偏振片堆疊在一起，第一塊與第三塊的偏振片化方向相互垂直，垂直入射自然光的光強為 I0，此自然光通過這一系統(tǒng)后，出射光的光強為I0/16，求第二個偏振片與第一個偏振片的偏振化方向之間的夾角。12. 12. 光的偏振光的偏振 / / 例題例題2 2解：設第二個偏振片與第一個偏振片偏振化方向之間的夾角為，透過第一個后的光強：,2/01II透過第二個后

26、的光強：212cosII P3P2P122sincos220I82sin20I2cos22II12. 12. 光的偏振光的偏振 / / 例題例題2 2tP3P2P12透過第三個后的光強：160I212sin2所以=sin-1( )/2=22.5018-4-8、波長為 的單色光垂直入射到寬度為 的單縫上，透鏡焦距 ，衍射圖樣觀察屏在透鏡的焦平面處，求nm600mma1 . 0mf0 . 1（1）中央明紋寬度 0 x（2）第二級暗紋中心離透鏡焦點的距離解：（1）（2）cmx2 . 12LfBAaocmafx2 . 12018-5-7、以波長為 的平行單色光斜入射在光柵常數(shù)為 ，縫寬為 的光柵上入射

27、角為 ，列出能看到的全部譜線的級次。A5000m10. 2m70. 0030ki解：斜入射時，光柵方程變?yōu)閗iddsinsin,.2, 1, 0kmax10030sin90sinkdd對應于0090,30i2max1k對應于0090,30imax20030sin)90sin(kddki6max2k370. 010. 2ad級譜線缺級。3, 6 綜上，能看到以下各級譜線：條。共7, 2 , 1 , 0 , 1, 2, 4, 5630sin90sinmax2max200kkdd或直接18-5-8、波長為 的單色光垂直入射到一光柵上，測得第二級主極大衍射角為 ，且第三級缺級，求：A6000030（1

28、）光柵常數(shù)（2）透光縫可能的最小寬度。（3）在選定了上述光柵常數(shù)和透光縫最小寬度后，在屏幕上可能呈現(xiàn)的全部主極大級次。解：（1）（2）（3）230sin0dmd4 . 2kad31 kmda8 . 031490sin0maxdk能觀察到的級次為2 , 1 , 0 , 1, 2 18-5-9、以波長為 的白光垂直入射在光柵上，衍射光譜中，第二級和第三級光譜發(fā)生部分重疊，則第二級光譜被重疊的波長范圍是多少？nmnm7604002k2k3k3kO解：2sind紫3sindnm600故，第二級光譜被重合的波長為nmnm760600光-19、一衍射光柵，每厘米有 條透光縫，每條透光縫寬為 ，在光柵后放一

29、焦距 f=1m 的凸透鏡， 現(xiàn)以 的單色平行光垂直照射光柵，求（1）透光縫 的單縫衍射中央明紋的寬度（2）在該寬度內，有幾個光柵衍射主極大？200cma3102nm600a解：（1）（2）cmcmmAafx6102160002230kdsinadksinamf0 . 11k1kcmd322105102101adkcma3102取值為k個。共52, 1, 0k注意：第一級單縫衍射暗紋不引起缺級；第二級單縫衍射暗紋引起第五級主極大缺級18-4-9、在單縫衍射實驗中，光源發(fā)出只含兩種波長 和 的光，垂直入射于單縫上。若 的第一級衍射極小與 的第二級衍射極小重合，問： （1）這兩種波長之間的關系。1212（2）在衍射圖樣中，是否還有其他衍射極小重合，求定量關系解： （1）（2）1sina22sina122111sinka22sinka211221kk122kk 的暗紋均重合。（1）縫寬 增大或減小。18-4-10、單縫夫瑯和費衍射裝置作如下調整，中央明紋中心位置和寬度有什么變化？設入射光為理想單色平行光a（2）縫沿與入射光正交方向上下稍微平移。（3）波長 增