周期現(xiàn)象和周期函數(shù)定稿

1、感受錢塘江潮間隔相同，重復(fù)出現(xiàn)間隔相同，重復(fù)出現(xiàn)海水的潮汐現(xiàn)象海水的潮汐現(xiàn)象大約在每一晝夜的時間大約在每一晝夜的時間里，潮水會漲落兩次，是一個周期現(xiàn)象，里，潮水會漲落兩次，是一個周期現(xiàn)象，當(dāng)潮汐發(fā)生時，水的深度會產(chǎn)生周期變化當(dāng)潮汐發(fā)生時，水的深度會產(chǎn)生周期變化.每隔相同的時間就會每隔相同的時間就會重復(fù)出現(xiàn)重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象這種變化規(guī)律這種變化規(guī)律就叫就叫周期性。周期性。我們生活在周期變化的世界中，大到我們生活在周期變化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、電子都在周期地球、月亮，小到原子、電子都在周期地運(yùn)動；時間在年復(fù)一年，日復(fù)一日地地運(yùn)動；時間在年

2、復(fù)一年，日復(fù)一日地逝去總而言之，周期現(xiàn)象在現(xiàn)實生活逝去總而言之，周期現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中中無處不在無處不在.練習(xí)練習(xí)1：判斷下列現(xiàn)象是否周期現(xiàn)象，：判斷下列現(xiàn)象是否周期現(xiàn)象，如果是，指出一個周期：如果是，指出一個周期：（1）地球上一年春、夏、秋、冬四季的變化）地球上一年春、夏、秋、冬四季的變化（2）鐘表的分針的運(yùn)動）鐘表的分針的運(yùn)動（3）連續(xù)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上）連續(xù)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上考點(diǎn)一：周期現(xiàn)象的概念考點(diǎn)一：周期現(xiàn)象的概念關(guān)鍵：關(guān)鍵：判斷該現(xiàn)象是否具有重復(fù)性！判斷該現(xiàn)象是否具有重復(fù)性！例1 今天星期六，再過22天是()A星期六 B星期日C星期五 D星期一 B變式訓(xùn)練1：今天是星期日

3、，則500天后是星期幾？考點(diǎn)二：周期性的應(yīng)用考點(diǎn)二：周期性的應(yīng)用解：解：由于星期具有周期性，由于星期具有周期性，7是一個周期，是一個周期， 而而5007713， 500天后是星期三天后是星期三例例2：1,2,3,4,5,612,11,10,9,8,713,14,15,16,17,1824,23,22,21,20,1925,26，問問2014是第幾行第幾列的數(shù)？是第幾行第幾列的數(shù)？點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：利用周期性解題利用周期性解題解：解：由題意知，這些數(shù)在排列時每行由題意知，這些數(shù)在排列時每行6個個數(shù)，且奇數(shù)行的數(shù)字，從左向右依次增大，數(shù)，且奇數(shù)行的數(shù)字，從左向右依次增大，偶數(shù)行從右向左依次增大，呈周期性

4、偶數(shù)行從右向左依次增大，呈周期性而而201433564，2014為第為第336行從左向右第行從左向右第3個數(shù)個數(shù)規(guī)律技巧：規(guī)律技巧：抓住每行中數(shù)的規(guī)律是解決此抓住每行中數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵類問題的關(guān)鍵鞏固深化，發(fā)展思維l例例1.地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)，地球到太陽的地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)，地球到太陽的距離距離y是時間是時間t的函數(shù)嗎？如果是，這個的函數(shù)嗎？如果是，這個函數(shù)函數(shù)yf(t)具有何種規(guī)律？具有何種規(guī)律？ 解析：解析：在任何確定的時間，地球與太陽距離在任何確定的時間，地球與太陽距離y是唯一確定的，每經(jīng)過一年地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)是唯一確定的，每經(jīng)過一年地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)一周。無論從哪個時間一周。無論

5、從哪個時間t算起，經(jīng)過一年時間算起，經(jīng)過一年時間(T=365天），地球又回到原來的位置，所以天），地球又回到原來的位置，所以地球與太陽的距離是周期變化的。地球與太陽的距離是周期變化的。y=f(t+365)=f(t)。太陽太陽地球地球潮汐現(xiàn)象的探究潮汐現(xiàn)象的探究 若確定一個位置，考察該位置的水深若確定一個位置，考察該位置的水深和時間和時間 的關(guān)系，那么的關(guān)系，那么 是是 的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？ 答：由于一個時間答：由于一個時間 t 對應(yīng)唯一一個海水深度對應(yīng)唯一一個海水深度H，所以所以H是關(guān)于是關(guān)于t的一個函數(shù)，記為的一個函數(shù)，記為H=H（t）.函數(shù)函數(shù)H=H（t）又具有何種規(guī)律呢？）又具有何種規(guī)律

6、呢？數(shù)學(xué)建模：潮汐中的函數(shù) 某港口在某一天水深H與時間t的對應(yīng)關(guān)系H(t)記錄如下：時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m1:005.09:002.517:006.22:006.210:002.718:005.33:007.511:003.519:004.14:007.312:004.420:003.15:006.213:005.021:002.56:005.314:006.222:002.77:004.115:007.523:003.58:003.116:007.324:004.4圖像具有什么特征？圖像具有什么特征？4812162420由散點(diǎn)圖可知，每經(jīng)過相同的時間間隔由散點(diǎn)圖可知，每經(jīng)過相同

7、的時間間隔T（12h），），水深就重復(fù)出現(xiàn)相同的數(shù)值，即水深就重復(fù)出現(xiàn)相同的數(shù)值，即 H（t+T）=H（t）函數(shù)圖像重復(fù)出現(xiàn)函數(shù)圖像重復(fù)出現(xiàn) 1.函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(x),如果如果存在存在一個一個不為零的不為零的常數(shù)常數(shù)T，使得當(dāng)，使得當(dāng)x取取定義域內(nèi)的每一個值定義域內(nèi)的每一個值時，時， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做叫做周期函數(shù)周期函數(shù)，T叫做函數(shù)的一個叫做函數(shù)的一個周期周期，稱稱y=f(x)具有周期性。具有周期性。抽象概括：抽象概括：常數(shù)常數(shù)T0T0，不一定是正數(shù)；，不一定是正數(shù)；如果如果T T 為函數(shù)的一個周期

8、，那么為函數(shù)的一個周期，那么T T的整數(shù)倍的整數(shù)倍nTnT 也是函數(shù)的周期；也是函數(shù)的周期；對定義域內(nèi)對定義域內(nèi)任意任意x， f(x+T)=f(x)都成立；都成立；定義域至少是無限集定義域至少是無限集. . 如：潮汐現(xiàn)象的函數(shù)中，如：潮汐現(xiàn)象的函數(shù)中，12h、24h、36h都是都是 一個周期，但是最小的是一個周期，但是最小的是12h，所以這，所以這函數(shù)的最小正周期是函數(shù)的最小正周期是12h. 如果如果在在所有的周期所有的周期中中存在存在著一個著一個最小的最小的正數(shù)正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期最小正周期. . 周期函數(shù)不一定都有最小正周期；周期函數(shù)不一定都有最小

9、正周期；（導(dǎo)學(xué)案（導(dǎo)學(xué)案P7P7狄利克雷函數(shù)）狄利克雷函數(shù)） 注意：今后所稱周期，若無特別說明，均指注意：今后所稱周期，若無特別說明，均指函數(shù)的最小正周期。函數(shù)的最小正周期。如何判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)？如何判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)？例例已知奇函數(shù)已知奇函數(shù)f(x)是以是以5為周期的周為周期的周期函數(shù)，期函數(shù)，f(1)1，則，則f(4)等于等于()A1 B1C6 D5解析解析：f(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，f(1)1，f(1)1，又又f(x)是以是以5為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)f(4)f(45)f(1)1，故選，故選B. B考點(diǎn)三：利用周期函數(shù)的周期性求函數(shù)值考點(diǎn)三：利用周期函數(shù)的周期

10、性求函數(shù)值練習(xí)1：已知是定 義在實數(shù)集上的周期函數(shù)，且滿足 ， ， 求 的值。2T1) 1 (f(2013)f練習(xí)2：若周期函數(shù)f(x) 偶函數(shù)，6是f(x)的一個周期，且f(-1)=1，則f(-5)=？練習(xí)3：設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，求f(2)+f(4)+f(6)的值。（答案：0）變式：已知奇函數(shù)變式：已知奇函數(shù)f f( (x x) )的定義域為的定義域為R R，f f(1)(1)1 1且且f f( (x x) )是以是以3 3為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)，求求f f( 1 )( 1 ) f f( 2 )( 2 ) f f( 3 )( 3 ) f f(2015)(

11、2015)點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：先求出一個周期內(nèi)各項之和，再利用周先求出一個周期內(nèi)各項之和，再利用周期性求解期性求解解：解：f(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，f(0)0，又，又f(x)是以是以3為周期的周期函數(shù)且為周期的周期函數(shù)且f(1)1，f(1)f(1)1，又又f(2)f(13)f(1)1，f(3)f(03)f(0)0f(1)f(2)f(3)1100，f(1)f(2)f(3)f(2015)6710f(2014)f(2015)f(36711)f(36712)f(1)f(2)f(1)f(1)110.規(guī)律技巧：規(guī)律技巧：已知函數(shù)的周期性求某些已知函數(shù)的周期性求某些連續(xù)項的和，應(yīng)先求一個周期內(nèi)各項的連續(xù)項的和，應(yīng)

12、先求一個周期內(nèi)各項的和，再看這些項有多少個周期，余下幾和，再看這些項有多少個周期，余下幾項，再利用周期性求和項，再利用周期性求和拓拓展展1 1. .有有關(guān)關(guān)周周期期性性的的結(jié)結(jié)論論1( ),af xx. . 設(shè)設(shè) 為為非非零零常常數(shù)數(shù)，若若對對于于定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意恒恒有有下下列列條條件件之之一一成成立立， 2f xa則則函函數(shù)數(shù)是是周周期期函函數(shù)數(shù)， 是是它它的的一一個個周周期期. .(2)()( )f xaf x 1(3)()( )f xaf x1(4)()( )f xaf x (1)()()f xaf xal判斷周期練習(xí)： 116 ,21,131,423,fxfxfxfxfxf

13、xfxfxfxfxfxfx 已知函數(shù)在其定義域上滿足求此函數(shù)的周期。已知函數(shù)在其定義域上滿足求此函數(shù)的周期。已知函數(shù)在其定義域上滿足求此函數(shù)的周期。已知函數(shù)在其定義域上滿足求此函數(shù)的周期。T=5 T=2T=2T=2練習(xí)2： 122,221 .f xRfxfxf xf xf xRf xf xf xf x是定義在 上的偶函數(shù)，且滿足求證：是周期函數(shù)。（如果是奇函數(shù)呢？）設(shè)是定義在 上的函數(shù)，并且對任意的x,都有求證：是周期函數(shù)，并求出它的一個周期4T 8T 拓展拓展2：周期性與奇偶性的結(jié)論：周期性與奇偶性的結(jié)論) 1() 2()(xfxfxf) 2() 3() 1(xfxfxf) 1()3() 1

14、()(xfxfxfxf-（1）-（2）將（2）代入（1）得0) 3()(xfxf) 3()(xfxf) 6(3) 3() 3()(xfxfxfxf6 T（2）解：拓展拓展2：周期性與奇偶性的結(jié)論：周期性與奇偶性的結(jié)論1若一個偶函數(shù)，關(guān)于若一個偶函數(shù)，關(guān)于x=a對稱，則該函數(shù)對稱，則該函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為為周期函數(shù)，最小正周期為2a.2若一個奇函數(shù)，關(guān)于若一個奇函數(shù)，關(guān)于x=a對稱，則該函數(shù)對稱，則該函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為為周期函數(shù)，最小正周期為4a.42447 .4_ _ _ _ _fxxfxxf練練 習(xí)習(xí) 與與 習(xí)習(xí) 題題 ：3 3 . . 函函 數(shù)數(shù)是是 周周 期期 為為的的

15、 偶偶 函函 數(shù)數(shù) ，且且 當(dāng)當(dāng)，時時 ， 則則 7.47.48 7.4 0.6ff 64xx 分分析析：令令，8 8 ，則則2 2，4 4 ，4448f xxx從從而而， 4448f xfxf xx 432002345f xRff xABCD、是是定定義義在在 上上的的以以 為為周周期期的的奇奇函函數(shù)數(shù)，且且，則則方方程程在在 0 0， 6 6 內(nèi)內(nèi)解解的的個個數(shù)數(shù)的的最最小小值值是是、()()( )222TTTff Tf f(x)為奇函數(shù)，且定義域為R, f(0)=00)2(Tf又因周期T=3，所以f(3)=f(0)=0)2()2( )2(TfTTfTf又因為周期函數(shù)0)29()323()

16、23(fff又因0) 2 ( f0) 5 () 32 () 2 (fff所以02329253x( )()22TTff由奇函數(shù) 210231026,8f xRxff xf xxxxf x 5 5、已已知知函函數(shù)數(shù)是是定定義義域域為為 的的奇奇函函數(shù)數(shù)，且且其其圖圖象象關(guān)關(guān)于于直直線線對對稱稱。1 1 求求的的值值；證證明明函函數(shù)數(shù)是是周周期期函函數(shù)數(shù)；若若，求求時時的的解解析析式式。解：（1）因 f(x)為奇函數(shù)，且定義域為R, 所以f(0)=0（2）T=4)2(xf)4(xf)()(xfxf)2(xf（應(yīng)用奇函數(shù)）（再應(yīng)用奇函數(shù)）)2(2xf(再應(yīng)用關(guān)于x=1對稱)(應(yīng)用關(guān)于x=1對稱)2(

17、)2 2,2( )1 6, 2( ).yf xRxxf xxxf x 已已知知函函數(shù)數(shù)為為 上上的的偶偶函函數(shù)數(shù)，且且關(guān)關(guān)于于直直線線對對稱稱，當(dāng)當(dāng)時時，求求時時，的的解解析析式式1( )1(2)(2)23,(2006);1( )(2)( )(1)(1)(0)19,(4)93(59).f xf xfff xf xf xf xxRfff （ ）已已知知且且求求已已知知對對一一切切都都成成立立，且且，求求23321)2(1)42()6()2006()()4(1)8()(1)(1)(11)(1)(11)2(1)2(1)4(1 ffffxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf）解：（解：（(2)(

18、 )(1)(1)1,(1)( )(2)(1)(1)(2)(1)(2)(3)( )(6)( )(59)(6 95)(5)(4)(6)(4)(0)112f xf xf xxxf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xfffffff 對對一一切切實實數(shù)數(shù)都都成成立立，用用替替換換得得22770 71301202005 2005( )(,)()(),()(), , ( )( ).( )( )( )( ),f xfxfxfxfxffyf xf x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上滿滿足足且且在在區(qū)區(qū)間間上上，只只有有試試判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性；試試求求方方程程在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上根根的的個個數(shù)數(shù)，并并證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論. . 22441477141010310703033( -)()()( )()()( -)()()( )( )()( )( )( ),( ),(),( )()fxfxfxf xfxfxfxfxfxf xf xfxf xTffffff解解：(1)(1)由由函函數(shù)數(shù)的的周周期期為為又又而而故故函函數(shù)數(shù)是是非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù). .2103107900 1010 00 20054022005 04002005 2005802( )( )( )( ),(- )(- )( ) , ( )-( )-f xfffff