第3章信號與系統(tǒng)的頻域分析

1、)2(T11n1n0)sincos()(ntnbtnaatf1n1n0)cos(ntnAa TttfTa001d)( TnttntfTa012dcos)( TnttntfTb012dsin)( )arctan(,2n2nnnnnabbaA0100 TttfTad)(02221 TTnttntfTadcos)( 2011201221442TTTTnntnTAttnATttntfTb cosdsindsin)(),(5314 nnA ),(6420 n)sinsin(sin)( tttAtf1115513314 （1） f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù) tftf對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱于坐標(biāo)原點(diǎn) 0= )(1

2、220TTdttfTa0na2/2/1sin)(2TTntdtntfTb2010sin)(4TtdtntfT（2） f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對稱于坐標(biāo)縱軸對稱于坐標(biāo)縱軸 tftf 2010cos)(4TntdtntfTa0 nb )(2 200TdttfTa7 , 5 , 3 , 10sin)(40cos)(4201201ntdtntfTbtdtntfTaTnTn 2Ttftf 波形移動波形移動 T/2后后，與原波形與原波形橫軸對稱橫軸對稱。f(t)的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)偶次偶次諧波為零諧波為零奇次奇次諧波：諧波：042420bbaaa即 2Ttftff(t)的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)奇次奇次諧波為零

3、諧波為零（4）f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù) 波形移動波形移動 T/2后后，與原波形與原波形重合重合。0cos)(4201TntdtntfTa0sin)(4201TntdtntfTb偶次偶次諧波：諧波：0531531bbbaaa即8 , 6 , 4 , 2nTtjntjnTtjnndteedtetfF00)(周期信號周期信號f(t)=f(t+nT) ，滿足狄氏條件時，可展成：，滿足狄氏條件時，可展成：tjnnneFtf)(TtjndtetfT0)(1其中：其中：00AF njnnnneAjbaF22njnnnneAjbaF22(n0)(n0)其中：=1 =T210)cos()(nnntnAAtf

4、)0(ntjnnneFtf)()(n1 1）2 2）本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例，討論頻譜的特點(diǎn)。本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例，討論頻譜的特點(diǎn)。2/2/)(1TTtjnndtetfTF22sinnnT441nSFan4T1ExxxSadefsin)(取樣函數(shù)取樣函數(shù)22包絡(luò)線41xxxSasin)()1 (頻頻譜譜包包絡(luò)絡(luò)服服從從抽抽樣樣函函數(shù)數(shù)(3)(3) n=0n=0 mnmn22(5)(5)( (F=1/)F=1/)：(4)(4)F Fn n=0=0頻帶寬度：頻帶寬度：2241)( 2100 f對于一般信號，對于一般信號，頻帶寬度頻帶寬度定義為幅值下降為定義為幅值下降為max101nF例：語

5、音信號頻率約為例：語音信號頻率約為 300 3400Hz300 3400Hz 音樂信號頻率約為音樂信號頻率約為 50 15,000Hz50 15,000Hz 擴(kuò)大器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為擴(kuò)大器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為 1520,000Hz1520,000HzsTs41201) 1 (155nSEFansTs4181)2(1 22nSEFan結(jié)論：結(jié)論： 增大時：增大時： 不變，譜線間距相等；不變，譜線間距相等； 零分量頻率減?。毫惴至款l率減?。築 或或F變小；變?。?有效譜帶內(nèi)諧波分量減少；有效譜帶內(nèi)諧波分量減少； 譜線振幅較大，減小變化急速。譜線振幅較大，減小變化急速。2nSaTFnsT2015)

6、 1 (55nSEFan1010nSEFan2020nSEFan結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)周期當(dāng)周期 變大時變大時 零分量頻率不變：零分量頻率不變：B 或或F不變；不變； 減小，譜線間距減小，譜線變密；減小，譜線間距減小，譜線變密； 有效譜帶內(nèi)諧波分量增多；有效譜帶內(nèi)諧波分量增多； 譜線振幅減小，變化緩慢。譜線振幅減小，變化緩慢。（2）設(shè)）設(shè) f(t) 中的中的 E不變，不變， 不變，當(dāng)周期不變，當(dāng)周期 變化時，變化時，頻譜如何變化？頻譜如何變化？sT20110)2(sT20120) 3(0, 02)4(TETT，當(dāng)周期函數(shù)周期函數(shù) 非周期函數(shù)非周期函數(shù) （2）矩形脈沖信號的頻帶寬度：）矩形脈沖信號的頻帶

7、寬度：離散頻譜離散頻譜 連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜TT2) 1 (譜線間隔幅度（3 3）矩形脈沖頻譜特點(diǎn)：離散性，諧波性，收斂性）矩形脈沖頻譜特點(diǎn)：離散性，諧波性，收斂性1F占有帶寬與脈寬成反比占有帶寬與脈寬成反比 )1()(ntjnneFtf)2()(122TTtjnndtetfTF周期信號周期信號 非周期信號非周期信號離散譜離散譜 連續(xù)譜，幅度無限小連續(xù)譜，幅度無限小TT 221TTtjnndtetfTF)(fnFTnF1dtetfTFtjTn)(22)(TTtjnndtetfTF)(FndeFtj)(21 dnTtjnnneTTFtf1)(2tjnnneTFTtjnnneTFtf2)()(jFTF

8、n ntjnneFtf)()()()(tfdtetfFtjF F)()(21)(1tfdeFtftjF F FtfF F1、F(j )反映單位頻率上幅值與相位分布情況，反映單位頻率上幅值與相位分布情況， 故稱故稱頻譜密度函數(shù)，是連續(xù)譜。頻譜密度函數(shù)，是連續(xù)譜。注意：注意：3 3、傅立葉變換與反變換是一種線性積分變換、傅立葉變換與反變換是一種線性積分變換2 2、付氏變換存在的、付氏變換存在的充分充分條件：條件： dttf 22112211FaFatfatfaF F)(| )(|)(jeFF|)(|jF：幅幅度度頻頻譜譜 )(：相相位位頻頻譜譜 4 4、 dtetfFtj)()( jba dttt

9、fjdtttf)sin()()cos()( a b )()()(22baF )()(arctan)( ab5*、f(t)的分解的分解 dtFjdtFsin21cos21 deeFtftjj)(21 tjxtrl 任意信號任意信號f(t)可分解為無窮多個幅度為無窮小的可分解為無窮多個幅度為無窮小的 連續(xù)指數(shù)信號之和。連續(xù)指數(shù)信號之和。l 任意信號任意信號f(t)可分解為無窮多個幅度為無窮小的可分解為無窮多個幅度為無窮小的 連續(xù)余弦信號之和。連續(xù)余弦信號之和。l 任意信號任意信號f(t)可分解為實(shí)函數(shù)和虛函數(shù)之和?？煞纸鉃閷?shí)函數(shù)和虛函數(shù)之和。)2(Sa)2()2sin(de)(22-jtFt21t

10、20t)(tg 2 1 f1de )()(-jttFt1)(t)(21j1de)(0)j(tFt j1e )(tt)()(ttft ej1)()(F2121)sgn(t)0(1)0(1tt)sgn(tj2)(F2Sa j 1 0,tet1 2 *sgn t j2 j1 t t 1)(tgd)(21d)(22FttfW 0101ttt)sgn()()(),()(2211FtfFtf若)()()()(22112211FaFatfatfa則j212 )()sgn(tt )()( 2j12 F F)()(FtfF F若)(1)(aFaatfF F則)()(Ftf若0j0)()(teFttf則)(je)

11、()(FF)(jj00e)(e)(ttFF)()()()(TtgTtgtgtf)()()()(TtgTtgtgtf)ee1)(2Sa()(jjT-TF)cos)(T 212Sa( )2sin()23sin()2Sa(TT。的的頻頻譜譜求求圖圖示示信信號號)()(jFtf)1()1()(22tgtgtf解：解：)(2)(2SatgjjeSaeSaF)(2)(2)(sin)(4Saj)()(Ftf若)()(0j0Fetft則)(21)(21cos)(000FFttfttgtf0acos)()( 2Sa2Sa200a )()()( jF課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：解：解：)4(232)4(21)(jejFj

12、Y).()23()()()(4jYetftyjFtftj的的頻頻譜譜，求求已已知知例：例：)(2)(:ftF則有，若)()(Ftf。和求)()(,2sin)(, 1)(2121jFjFtttftf)()()(2)(421gjFjF例：例：)(Sgnj的頻譜函數(shù)。求函數(shù)t1解：解：jtSgn2)()(22Sgnjt)()(3SgnjjF)()(),()(2211FtfFtf設(shè))()()(*)(2121FFtftf則 dtedtfftftfFtj2121* ddtetfftj)(21 deFfj)(21defFj)(12)()(21FF證明：其其他他0)(tttf)2(Sa)2Sa()2Sa()(

13、22F)(*)()(tgtgtf)()()()(*)()(HFYthtfty-jde )()(tthHt 卷積定理揭示了信號時域與頻域的運(yùn)算關(guān)系，卷積定理揭示了信號時域與頻域的運(yùn)算關(guān)系，在通訊、信息傳輸?shù)裙こ填I(lǐng)域中具有重要理論意義在通訊、信息傳輸?shù)裙こ填I(lǐng)域中具有重要理論意義和應(yīng)用價值和應(yīng)用價值。)(*)(21)()(2121FFtftftjejFtttfttf0)()(*)()(00)()(2*)(21)(000jFjFetftj)()(Ftf若)(j)(Ftf則j)( t1j1)(j)()(tt)(j)(FddttfEg. 如圖所示梯形脈沖信號，試求其頻譜函數(shù)F(j)。bb-aaf(t)tA

14、abAk設(shè)設(shè)bbaat)(tf k-bb-aat)(tf )(btk)(atk)(atk)(btk)()()()()( jFjtfFjtfF22 )()( jbjajajbeeeektfF )cos(cos abk 2)()( jFj2)cos(cos abk 2)cos(cos)( bakjF 22由傅立葉變換的微分性質(zhì)：由圖所以， )()(Ftf若d )(tf則0)(,j)(0FF0)(,j)()()0(0FFFttfFFd)()0()(0tje01 )(02 )(costjtjeet00210 )()(oo)()(ooj)(sintjtjeejt00210 ntnFtf1jne)(e )

15、(1jnntnFF F F)(21nnFn。求求圖圖示示信信號號)(),(jFtf ntjnneFtf)()(2 nSaTFn )(nFnn 2F F ntjnneFtf)()()()(nnSaTjFn 221)( )()(nnSan 2)()()(FHY)()()(FYHd)e(21)(j tHthtthHtde )()(j -相頻特性幅頻特性頻率特性)()()(HH)(je)()(HH0)()(tKH)()(0ttKfty0je )()(tKFY0je)()()(tKFYH)(Hcj0etc0)(Sade21)(0cc)(jcc0ttthttxxxtsttdsin121)()(00c)(*)()(ttGtpT )()()(tstftfs)2(Sa)(2)(ssnsnnTFnFPn)(*)()(ttGtpT )(jP nssSsnFnSaTPFF)()2(*21)( 1) 當(dāng)當(dāng) s 2 m時，時，F(xiàn)s( )是是F( )在不同在不同 s倍數(shù)上的倍數(shù)上的重復(fù)與再現(xiàn)，僅幅值有變化。重復(fù)與再現(xiàn)，僅幅值有變化。2) 當(dāng)當(dāng) s2 m時，時，F(xiàn)s( )中出現(xiàn)中出現(xiàn)F( ) 的疊加與混合的疊加與混合（混迭現(xiàn)象）（混迭現(xiàn)象） 。 )()2()(nssSsnjFnSaTFm21fT m2f1、實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號離散化，、實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號離散化，為信號的數(shù)字處理奠定基礎(chǔ)；為信