第10章靜電學(xué)-3-靜電場環(huán)路定理

1、110. 4 靜電場環(huán)路定理 1.電場的環(huán)量-場強(qiáng)沿閉合路徑的線積分。即 lllElEdcosd 設(shè)想將試驗電荷q0沿閉合路徑移動一周，則電場力作功 llFAd可見，電場環(huán)量等于單位正電荷沿閉合路徑移動一周電場力所作的功電場環(huán)量的物理意義。 lllEqlEqdcosd00 Eldl2在點電荷q的電場中qrarbabLqo barroorrqqd24 由此可見, 在點電荷q的電場中, 電場力的功只與路徑的起點和終點位置有關(guān), 而與路徑形狀無關(guān)。)11(4baoorrqq baolEqcosdr Edrdl 此結(jié)論可通過場強(qiáng)疊加原理推廣到任意點電荷系(包括帶電體)的電場。dl babaA 2. 環(huán)

2、路定理 oq E 3即：電場力做功只與路徑的起點和終點位置有關(guān), 而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)電場力是保守力。這一結(jié)論稱為靜電場的環(huán)路定理。 在靜電場中，電場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分(即環(huán)量)恒等于零。靜電場的另一重要性質(zhì) 靜電場是保守場 (也稱靜電場是無旋場)。00 LLlEqlFAdd0 LlEd0 LlEd結(jié)論4(1)電勢能其中： Wa是qo在a點的電勢能; Wb是qo在b點的電勢能。 即：電場力的功等于電勢能增量的負(fù)值。 由PAEW 保保 若取b點為電勢能的零點(零勢點), 即令Wb =0，則qo在a點的電勢能為 零勢點零勢點aoalEqWd0d()bbaabaAqElWWWW 3.電勢差和

3、電勢5(2)電勢 定義：場中a點的電勢 三種表述：(1)等于單位正電荷在該點的電勢能； (2)等于將單位正電荷從該點經(jīng)過任意路徑移到零勢點時電 場力所作的功。(3)等于場強(qiáng)從該點沿任意路徑到零勢點的線積分。 零勢點零勢點aoaalEqWUd說明：(1)電勢是相對量，要確定場中各點的電勢必須選定電勢零點。 (2)原則上電勢零點可任意選擇，視方便而定 。6 aalEUd(3)電勢是標(biāo)量, 其值可正可負(fù), 不僅與源電荷有關(guān)還與零勢點的選擇有關(guān)。 babaablEUUUd(3)電勢差： 靜電場中a、b兩點的電勢差等于將單位正電荷由a沿任意路徑移至b過程中電場力做的功。電勢差是絕對量，與電勢零點的選擇無

4、關(guān)。對有限大小的帶電體, 通常取無窮遠(yuǎn)為零勢點, 于是7aaqUW 得)(baabUUqA 得,d 零勢點零勢點由由aalEqWd,bababaAqElWW 由由)(baabUUqA aaqUW 公式小結(jié) 零勢點零勢點aalEUd babalEUUd84. 電勢的計算(1)已知場強(qiáng)計算電勢根據(jù)電勢的定義式： 零勢點零勢點aalEUd(2)已知電荷分布計算電勢計算方法：點電荷的電勢公式+電勢疊加原理 點電荷的電勢：取無窮遠(yuǎn)為電勢零點，點電荷q場中任一點a的電勢 rqo4 rorrqd24 aalEUd點電荷的電勢公式9點電荷系(q1,q2,qiqn)場中的電勢，Ei 為qi產(chǎn)生的電場。即 nii

5、aUU1式中: Ui代表第i個點電荷qi單獨存在時在a點產(chǎn)生的電勢。這一結(jié)論稱作電勢疊加原理。 niioirq14 iiEE因 aiaialElEU)d(d10對于電荷連續(xù)分布的帶電體，可將其分割為無數(shù)多電荷元dq，每個電荷元dq當(dāng)作點電荷，其電勢為rqU04dd 根據(jù)電勢疊加原理 VrqU04d積分遍及整個帶電體，V是帶電體的體積。 電勢疊加原理也可以計算多個帶電體所產(chǎn)生電場的總電勢，總電勢應(yīng)等于各帶電體所產(chǎn)生電場的電勢的代數(shù)和。 VSlqdddd 11例10-13 (1)正六邊形邊長a，各頂點有一點電荷，如圖所示。將單位正電荷從無窮遠(yuǎn)移到正六邊形中心o點的過程中, 電場力的功？解)(oUU

6、 )(baabUUqA 0 UUo=oA+1= - Uo將Uo代入功的式子，得aqAoo aqaqoo 44a+q+q+q+q+q-qo12)(caoacUUqA (2)電荷分布如圖所示, 將點電荷qo從a 經(jīng)半圓b移到c的過程中, 電場力對qo的功？044 RqRqooRqRqoo4)3(4 Rqo6 RqqAooac6 解RRaRo-q+qbc aU cU13例10-14 一均勻帶電直線段，長為L，電量為q ;取無窮遠(yuǎn)為電勢零點，求直線延長線上離一端距離為d 的P點的電勢。解 將帶電直線分為許多電荷元dq(點電荷)xPdLqdLdLq ln40dPPUU 0d4dLdqxLx dd4Poq

7、Ux dxdqdddqqxxL 利用點電荷電勢公式積分： 14 例10-15 一圓臺的上下底面半徑分別為R1和R2，它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為 ，取無窮遠(yuǎn)為電勢零點，求頂點o的電勢。解 將圓臺分為若干個圓環(huán)積分。 PU 21xxrxsindd )(212RRo ,sin rx 由于 212RRoPrUd得xxr042dR1R2orxdx15例10-16 求半徑為R、總電量為q的均勻帶電球面的電勢分布。 解 由高斯定理求出其場強(qiáng)分布: ;0:1 ERr224:rqERro 選定無限遠(yuǎn)處的電勢為零，由電勢的定義式，有r R: 內(nèi)內(nèi)Ur R: 外外U RrrE d1R RrE d2Rqo4 r

8、qo4 rrE d2 rlEd結(jié)論：球面內(nèi)任一點的電勢都等于球面上的電勢；而球面外任一點的電勢與所有電荷集中在球心的點電荷產(chǎn)生的電勢相同。Pr204rqE 內(nèi)內(nèi)16解 將平面分為若干個圓環(huán)積分。 xPoRxoRdrr Eo412322)(/rx x 2 rdr R2322)(41/oRxxqE 圓環(huán):222Rxxo 例10-17 一無限大平面( ), 中部有一半徑為R的圓孔，求圓孔中心軸線上P點的場強(qiáng)和電勢。 (取o點的電勢為零)方向沿軸線向右方向沿軸線17 xPoR采用另一種方法求場強(qiáng)：填補(bǔ)法題中帶電平面=無限大平面(帶電 )+半徑為R的圓盤(帶電- )(1)無限大帶電平面的場:oE 21

9、P點的總場強(qiáng):21EEE (2)半徑為R的帶電圓盤:幻燈片 2312222RxxEo 2202xRxE 方向沿軸線向右方向沿軸線向左方向沿軸線向右ixRxE2202 18 xPoRxoRdrrrqUo4 圓環(huán):RrPxq opplEUd2202dRxxxox )(222xRRo 取o點的電勢為零, 求P點的電勢。P點的電勢： RxrrrUU2204d2d 思考ixRxE2202 19解 (1)在忽略邊緣效應(yīng)的情況下, 兩圓筒之間的場具有軸對稱性R1rR2: BAR2R1lr+ - 例10-18 兩同軸金屬薄圓筒(R1=0.5mm，R2=4.5 mm)，V=UB-UA=300伏, 忽略邊緣效應(yīng)。

10、求: (1)兩筒間的電場； (2)一電子剛從A筒表面出發(fā)時所受的力; (3)電子到達(dá)B筒時的速度。(4)若擊穿場強(qiáng)Eo=200kV/cm, R1可調(diào)整, 能承受的最大電壓是多少?rlE 2 )(1d內(nèi)內(nèi)sisoqSE )(1lo 設(shè)內(nèi)外圓筒單位長度分別帶電 ，20 2121ddRRRRBArElEUU故電場為:12lnRRrVE rEo 2 12ln2RRo 兩筒間的電勢差：BAR2R1= -V負(fù)號表示電場方向垂直于筒面并指向軸線21(2)一電子剛從A筒表面出發(fā)時所受的力:NRRReV141211037. 4ln 方向沿半徑指向B 筒。(3)電子到達(dá)B筒時的速度。221 meV , =1.03

11、 107(m/s)1RreEF BAR2R112lnRRrVE V=UB-UA=300VeVUUeABA )(22BAR2R112lnRRrVE (4)若擊穿場強(qiáng)Eo=200kV/cm, R1可調(diào)整, 能承受的最大電壓是多少?1ln12 RR02maxEeRV eRR 12 =33kV顯然r=R1處的場強(qiáng)最強(qiáng)，最先擊穿，令E=E01210lnRRREV 得：0lndd01201 ERRERV令23例10-19一半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為q；球面外有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為 , 長為l, 細(xì)線近端離球心距離為ro, 求細(xì)線受的力和細(xì)線在球面電場中的電勢能。Rroloq xdx 解 F

12、dx lrroo)(4lrrlqooo W dx lrrooooorlrq ln4 aaqUW 由24xqoxqo424例10-20 兩根無限長的均勻帶電直線，相互平行，相距為2a，電荷線密度分別為+ 和- 。求(1)每單位長度的帶電直線所受的吸引力；(2)場中電勢的分布。2a+ - 解 在帶電- 直線上取一電荷元dq= - dldqFd該電荷元所受電場力的大小)d(22dd0laqEF 則單位長度所受電場力alFF024dd 方向垂直于帶電直線，負(fù)號表示吸引力。252a+ - (2)場中電勢的分布取兩直線中心處一點o為電勢零點, 則oaa+ - Pr+r- UUUPU+是帶電+ 直線在P點的

13、電勢，即 oPoPlElEUdcosd rarrarln2d200 同理可得帶電- 直線在P點的電勢，即 raUln20 rrln20 r+oa+ PldEr oaa+ - Pr-r+26 在電場中, 電勢相等的點所組成的曲面叫等勢面。 5.等勢面與電勢梯度 等勢面與場強(qiáng)之間有如下的一般關(guān)系: 等勢面與電場線處處正交; 電場線的方向總是指向電勢降低的方向。 等勢面分布較密的地方, 電場強(qiáng)度較大。rqUo4 點電荷的等勢面+qE(1)等勢面27(2)電勢梯度 在同一場點, 其電勢沿不同方向的空間變化率是不同的。lUnUdddd 即場中某點電勢梯度矢量, 其大小等于電勢沿等勢面法向的空間變化率，也

14、就是該處電勢的最大空間變化率，方向垂直于等勢面并指向電勢增加方向。定義電勢梯度矢量：ngradenUU (gradient梯度)UU+dU12dldnne cosddnU PP1P228nElEdcosd )cos(dlE nUE 上式表明, 靜電場中任何一點的電場強(qiáng)度等于該點電勢梯度矢量的負(fù)值。 lEUUUbadd nenUE Ugrad abUU+dU12dldnneE若考慮場強(qiáng)的方向，則有29 cos)cos(nUEEl lU 即電場強(qiáng)度在任一方向的分量等于電勢沿該方向上的空間變化率的負(fù)值。zUEyUExUEzyx ,kzUjyUixUE 在直角坐標(biāo)系中:電場強(qiáng)度E沿任一方向dl 的分量

15、： abUU+dU12dldnneE30引入微分算符：zkyjxi UE 積分關(guān)系 （由場強(qiáng)求電勢）微分關(guān)系 （由電勢求場強(qiáng)）判斷：1.場強(qiáng)大的地方，電勢一定高。 4.場強(qiáng)不變的空間，電勢處處相等。3.電勢不變的空間，場強(qiáng)處處為零。2.電場為零的地方，電勢也一定為零。 零勢點零勢點aalEUdUE 場強(qiáng) 與電勢U 的關(guān)系E31例10-21 求半徑為R、均勻帶電q的圓環(huán)軸線上一點的電勢和場強(qiáng)。 rqUo4 解224Rxqo iRxxqo2/322)(41 xqRrPxixUUE 與例10-3的結(jié)果完全相同32例10-22 計算電偶極子電場的電勢和場強(qiáng)。 解 (1)電偶極子電場的電勢：任一場點P的極坐標(biāo)為(x, y)，則該點的電勢 rrrrqrqrqU000444由于 rrrlr ,30202044cos4cosrrprprqlU -q+qlrr+r-oxyP(x, y)33(2)電偶極子電場的場