必修二《圓與方程》知識點整理

1、數(shù)學(xué)必修二圓與方程知識點整理一、標(biāo)準(zhǔn)方程1.求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù)：往往已知圓上三點坐標(biāo)，例如教材例2利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交相切：利用到圓心與切點的連線垂直直線相交：利用到點到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無需記，關(guān)鍵能理解）條件 方程形式圓心在原點 過原點 圓心在軸上 圓心在軸上 圓心在軸上且過原點 圓心在軸上且過原點 與軸相切 與軸相切 與兩坐標(biāo)軸都相切 二、一般方程1.表示圓方程則2. 求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法：3.?？捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的范圍三、點與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：點到圓心的距離與

2、半徑的大小關(guān)系點在圓內(nèi)；點在圓上；點在圓外2.涉及最值：（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值（2）圓內(nèi)一點，圓上一動點，討論的最值 思考：過此點作最短的弦？（此弦垂直）四、直線與圓的位置關(guān)系1.判斷方法（為圓心到直線的距離）（1）相離沒有公共點（2）相切只有一個公共點（3）相交有兩個公共點這一知識點可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2.直線與圓相切（1）知識要點基本圖形主要元素：切點坐標(biāo)、切線方程、切線長等問題：直線與圓相切意味著什么？圓心到直線的距離恰好等于半徑（2）常見題型求過定點的切線方程切線條數(shù)點在圓外兩條；點在圓上一條；點在圓內(nèi)無求切線方程的方法及注意點i）點

3、在圓外如定點，圓：，第一步：設(shè)切線方程第二步：通過，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當(dāng)不存在時，應(yīng)補上千萬不要漏了！如：過點作圓的切線，求切線方程.答案：和ii）點在圓上1） 若點在圓上，則切線方程為會在選擇題及填空題中運用，但一定要看清題目.2） 若點在圓上，則切線方程為碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運用上述結(jié)果. 由上述分析，我們知道：過一定點求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是判斷點與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù).求切線長：利用基本圖形，求切點坐標(biāo)：利用兩個關(guān)系列出兩個方程3.直線與圓相交（1）求弦長及弦長的應(yīng)用問題垂徑定理及勾股定理常用弦長公式：（暫作了

4、解，無需掌握）（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過定點，而定點恰好在圓內(nèi).（3）關(guān)于點的個數(shù)問題例：若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_. 答案：4.直線與圓相離會對直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時）五、對稱問題1.若圓，關(guān)于直線，則實數(shù)的值為_.答案：3（注意：時，故舍去）變式：已知點是圓:上任意一點，點關(guān)于直線的對稱點在圓上，則實數(shù)_.2.圓關(guān)于直線對稱的曲線方程是_.變式：已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則直線的方程為_.3.圓關(guān)于點對稱的曲線方程是_.4.已知直線：與圓：，問：是否存在實數(shù)使自發(fā)出的光線被直線反射后與圓相切于點？若存在，求

5、出的值；若不存在，試說明理由.六、最值問題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.已知實數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；看作斜率（2）的最小值；截距（線性規(guī)劃）（3）的最大值和最小值.兩點間的距離的平方2.已知中，點是內(nèi)切圓上一點，求以，為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！3.設(shè)為圓上的任一點，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 答案：（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可?。┢摺⑾嚓P(guān)應(yīng)用1.若直線（，），始終平分圓的周長，則的取值范圍是_.2.已知圓：，問：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，

6、寫出直線的方程，若不存在，說明理由. 提示：或弦長公式. 答案：或3.已知圓：，點，設(shè)點是圓上的動點，求的最值及對應(yīng)的點坐標(biāo).4.已知圓：，直線：（）（1）證明：不論取什么值，直線與圓均有兩個交點；（2）求其中弦長最短的直線方程.5.若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍.6.已知圓與直線交于，兩點，為坐標(biāo)原點，問：是否存在實數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.八、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）（1）外離 （2）外切（3）相交 （4）內(nèi)切（5）內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補充說明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，

7、則表示連心線的中垂線方程.3圓系問題（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）說明：1）上述圓系不包括；2）當(dāng)時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）（2）過直線與圓交點的圓系方程為（3）有關(guān)圓系的簡單應(yīng)用（4）兩圓公切線的條數(shù)問題相內(nèi)切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公切線；相離時，有四條公切線九、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動點坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程.例：過圓外一點作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點的軌跡方程.分析：（3）相關(guān)點法（平移轉(zhuǎn)換法）：一點隨另一點的變動而變動 動點 主動點特點為：主

8、動點一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運動.例1.如圖，已知定點，點是圓上的動點，的平分線交于，當(dāng)點在圓上移動時，求動點的軌跡方程.分析：角平分線定理和定比分點公式.例2.已知圓：，點，、是圓上的兩個動點，、呈逆時針方向排列，且，求的重心的軌跡方程.法1：，為定長且等于設(shè)，則取的中點為， （1），故由（1）得：（4）求軌跡方程常用到得知識重心，中點，內(nèi)角平分線定理：定比分點公式：，則，韋達(dá)定理.十、空間直角坐標(biāo)系知識梳理1.右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：軸、軸、軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指；已知點的坐標(biāo)作點的方法與步驟（路徑法）：沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移

9、動個單位，再沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，最后沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，即可作出點已知點的位置求坐標(biāo)的方法：過作三個平面分別與軸、軸、軸垂直于，點在軸、軸、軸的坐標(biāo)分別是，則就是點的坐標(biāo)2、在軸上的點分別可以表示為，在坐標(biāo)平面，內(nèi)的點分別可以表示為;3、點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為；點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為；點關(guān)于原點的對稱點。4. 已知空間兩點，則線段的中點坐標(biāo)為5空間兩點間的距離公式已知空間兩點，則兩點的距離為 ，特殊地,點到原點的距離為;重難點突破重點:了解空間直

10、角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系表示點的位置，會推導(dǎo)和使用空間兩點間的距離公式難點:借助空間想象和通過與平面直角坐標(biāo)系的類比，認(rèn)識空間點的對稱及坐標(biāo)間的關(guān)系重難點: 在空間直角坐標(biāo)系中，點的位置關(guān)系及空間兩點間的距離公式的使用1借助空間幾何模型進(jìn)行想象，理解空間點的位置關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系問題1：點到軸的距離為 解析借助長方體來思考，以點為長方體對角線的兩個頂點，點到軸的距離為長方體一條面對角線的長度，其值為2將平面直角坐標(biāo)系類比到空間直角坐標(biāo)系問題2：對于任意實數(shù)，求的最小值解析在空間直角坐標(biāo)系中，表示空間點到點的距離與到點的距離之和，它的最小值就是點與點之間的線段長，所以的最小值為。熱點考點題型探析

11、考點1: 空間直角坐標(biāo)系例1 （1）在空間直角坐標(biāo)系中，表示 （ ） A軸上的點 B過軸的平面 C垂直于軸的平面 D平行于軸的直線（2）在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示A在坐標(biāo)平面中，1，3象限的平分線 B平行于軸的一條直線 C經(jīng)過軸的一個平面 D平行于軸的一個平面【解題思路】認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系,可以類比平面直角坐標(biāo)系,如在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系中, 方程表示所有橫坐標(biāo)為1的點的集合 解析（1）表示所有在軸上的投影是點的點的集合，所以表示經(jīng)過點且垂直于軸的平面 （2）方程表示在任何一個垂直于軸的一個平面內(nèi)，1，3象限的平分線組成的集合題型2: 空間中點坐標(biāo)公式與點的對稱問題例2 點關(guān)于軸的對稱點為，

12、點關(guān)于平面的對稱點為，則的坐標(biāo)為 【解題思路】類比平面直角坐標(biāo)系中的對稱關(guān)系，得到空間直角坐標(biāo)系中的對稱關(guān)系解析因點和關(guān)于軸對稱, 所以點和的豎坐標(biāo)相同,且在平面的射影關(guān)于原點對稱,故點的坐標(biāo)為,又因點和關(guān)于平面對稱, 所以點坐標(biāo)為 【新題導(dǎo)練】1已知正四棱柱的頂點坐標(biāo)分別為，則的坐標(biāo)為 。解析正四棱柱過點A的三條棱恰好是坐標(biāo)軸，的坐標(biāo)為（2，2，5）2平行四邊形的兩個頂點的的坐標(biāo)為，對角線的交點為，則頂點C的坐標(biāo)為 , 頂點D的坐標(biāo)為 解析由已知得線段的中點為,線段的中點也是,由中點坐標(biāo)公式易得，3已知，記到軸的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為，則（ ）A B C D解析借助長方體來思考, 、分別是三條面對角線的長度。，選C考點2：空間兩點間的距離公式題型：利用空間兩點間的距離公式解決有關(guān)問題XAYBOZP例3 如圖：已知點，對于軸正半軸上任意一點，在軸上是否存在一點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)