數(shù)學(xué)20章《一次函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

1、導(dǎo)學(xué)引領(lǐng)，樹梁中學(xué)對(duì)標(biāo)檢測(cè)”嘗試教學(xué)導(dǎo)學(xué)案 八年級(jí)上第二十章一次函數(shù)授課教師： 主備教師： 王繼勇 審核校對(duì)：初四數(shù)學(xué)組【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1） 理解具體問題中的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律；（2） 了解常量、變量的意義；（3） 了解函數(shù)的概念及三種表示方法；（4） 掌握函數(shù)的自變量取值范圍、會(huì)求出函數(shù)值；（5） 掌握一次函數(shù)及表達(dá)式； （6） 掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；（7） 理解正比例函數(shù)；（8） 能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解；（9）能用一次函數(shù)解決實(shí)際問題.【知識(shí)梳理】一、知識(shí)要點(diǎn)： 1、一次函數(shù)：形如y=kx+b (k0, k, b為常數(shù))的函數(shù)。 注意：（1）k0,否則自變量x的最高

2、次項(xiàng)的系數(shù)不為1； （2）當(dāng)b=0時(shí)，y=kx，y叫x的正比例函數(shù)。 2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線， （1）兩個(gè)常有的特殊點(diǎn)：與y軸交于（0，b）；與x軸交于（-，0） （2）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。3求一次函數(shù)解析式的方法 求函數(shù)解析式的方法主要有三種 (1)由已知函數(shù)推導(dǎo)或推證 (2)由實(shí)際問題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法（或不易）判斷兩個(gè)變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。 (3)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。 “待定系數(shù)法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某

3、種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個(gè)等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個(gè)含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況： 利用一次函數(shù)的定義 構(gòu)造方程組。 利用一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)項(xiàng)b恰為函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即由b來定點(diǎn)；直線y=kx+b平行于y=kx，即由k來定方向 。利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。 利用題目已知條件直接構(gòu)造方程 。 4、性質(zhì)：(1)圖象的位置: (2)增減性 k>0時(shí)，y隨x增大而增大 k<0時(shí)，y隨x增大而減小 4求一次函數(shù)解析式的方法 求函數(shù)解析式的方法主要

4、有三種 (1)由已知函數(shù)推導(dǎo)或推證 (2)由實(shí)際問題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法（或不易）判斷兩個(gè)變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。 (3)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。 “待定系數(shù)法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個(gè)等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個(gè)含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況： 利用一次函數(shù)的定義 構(gòu)造方程組。 利用一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)項(xiàng)b恰為函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即由b來定點(diǎn)；直線y=kx+b平行于y=kx，即由k來定方向

5、 。利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。 利用題目已知條件直接構(gòu)造方程 。二、例題舉例： 例1已知y=，其中=(k0的常數(shù))，與成正比例，求證y與x也成正比例。證明：與成正比例， 設(shè)=a(a0的常數(shù)), y=, =(k0的常數(shù)), y=·a=akx， 其中ak0的常數(shù)， y與x也成正比例。 例2已知一次函數(shù)=(n-2)x+-n-3的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，判斷=(3-)是什么函數(shù)，寫出兩個(gè)函數(shù)的解析式，并指出兩個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的位置及增減性。 解：依題意，得 解得 n=-1， =-3x-1, =(3-)x, 是正比例函數(shù)； =-3x-1的圖象經(jīng)過第二、三

6、、四象限，隨x的增大而減?。?=(3-)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，隨x的增大而增大。 說明：由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n，故求解析式的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n的方程，此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)就是圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)”來構(gòu)造方程。 例3直線y=kx+b與直線y=5-4x平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點(diǎn)在y軸上，求此直線解析式。 分析：直線y=kx+b的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定與y軸的交點(diǎn)，若兩直線平行，則解析式的一次項(xiàng)系數(shù)k相等。例 y=2x,y=2x+3的圖象平行。 解：y=kx+b與y=5-4x平行， k=-4, y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x

7、+18相交于y軸， b=18， y=-4x+18。 說明：一次函數(shù)y=kx+b圖象的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定點(diǎn)，即函數(shù)圖象平行于直線y=kx，經(jīng)過(0, b)點(diǎn)，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k，由與y軸交點(diǎn)定b。 例4直線與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)B到x軸的距離為2，求直線的解析式。 解：點(diǎn)B到x軸的距離為2， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，±2）， 設(shè)直線的解析式為y=kx±2, 直線過點(diǎn)A（-4，0）， 0=-4k±2, 解得：k=±, 直線AB的解析式為y=x+2或y=-x-2. 說明：此例看起來很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上隱

8、含了很多推理過程，而這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。 （1）圖象是直線的函數(shù)是一次函數(shù)； （2）直線與y軸交于B點(diǎn)，則點(diǎn)B（0，）； （3）點(diǎn)B到x軸距離為2，則|=2； （4）點(diǎn)B的縱坐標(biāo)等于直線解析式的常數(shù)項(xiàng)，即b=； （5）已知直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可設(shè)y=kx+， 下面只需待定k即可。 例5已知一次函數(shù)的圖象，交x軸于A（-6，0），交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，且點(diǎn)B在第三象限，它的橫坐標(biāo)為-2，AOB的面積為6平方單位，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。 分析：自畫草圖如下： 解：設(shè)正比例函數(shù)y=kx， 一次函數(shù)y=ax+b， 點(diǎn)B在第三象限，橫坐標(biāo)為-2， 設(shè)B（-2，），其中&l

9、t;0， =6， AO·|=6， =-2， 把點(diǎn)B（-2，-2）代入正比例函數(shù)y=kx，得k=1 把點(diǎn)A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b， 得 解得： y=x, y=-x-3即所求。 說明：（1）此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫出含待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式，注意兩個(gè)函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示； （2）此例需要把條件（面積）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B的坐標(biāo)。這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)含有兩步：一是利用面積公式AO·BD=6（過點(diǎn)B作BDAO于D）計(jì)算出線段長(zhǎng)BD=2，再利用|=BD及點(diǎn)B在第三象限計(jì)算出=-2。若去掉第三象限的條件，想一想點(diǎn)B的位置有幾種可能，結(jié)果會(huì)有什么變化？（答：有兩種可

10、能，點(diǎn)B可能在第二象限（-2，2），結(jié)果增加一組y=-x, y=(x+3). 例6已知正比例函數(shù)y=kx (k<0)圖象上的一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于13，過這點(diǎn)向x軸作垂線，這點(diǎn)到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等于30，求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式。 分析：畫草圖如下：則OA=13，=30， 則列方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可。 解法1：設(shè)圖象上一點(diǎn)A（x, y）滿足 解得：； 代入y=kx (k<0)得k=-, k=-. y=-x或y=-x。 解法2：設(shè)圖象上一點(diǎn)A（a, ka）滿足 由（2）得=-, 代入（1），得(1+)·(-)=. 整理，得60+169k+60=0.

11、解得 k=-或k=-. y=-x或y=-x. 說明：由于題目已經(jīng)給定含有待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式y(tǒng)=kx，其中k為待定系數(shù)，故解此例的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于k的方程。此例給出的兩個(gè)解法代表兩種不同的思路：解法1是把已知條件先轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造方程解出，再求k；解法2是引進(jìn)輔助未知數(shù)a，利用勾股定理、三角形面積公式直接構(gòu)造關(guān)于a、k的方程組，解題時(shí)消去a，求出k值。 例7在直角坐標(biāo)系x0y中，一次函數(shù)y=x+的圖象與x軸，y軸，分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D在x軸上，且BCD=ABD，求圖象經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式。 分析：由已知可得A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0，）

12、，點(diǎn)C是確定的點(diǎn)（1，0），解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D在x軸上，以BCD=ABD的條件，結(jié)合畫草圖可知BCD的邊BC確定，頂點(diǎn)C確定，但邊CD可以有兩個(gè)方向，即點(diǎn)D可以在C點(diǎn)右側(cè)，也可以在C點(diǎn)左側(cè)，因此解此題要分類討論。 解：點(diǎn)A、B分別是直線y=x+與x軸和y軸交點(diǎn)， A（-3，0），B（0，）， 點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0）由勾股定理得BC=，AB=， 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x, 0）， （1）當(dāng)點(diǎn)D在C點(diǎn)右側(cè)，即x>1時(shí)， BCD=ABD， BDC=ADB， BCDABD， = =- - - - = 8-22x+5=0 x1=, x2=, 經(jīng)檢驗(yàn)：x1=, x2=,都是方程的根。 x=,不

13、合題意，舍去。x=， D點(diǎn)坐標(biāo)為（, 0）。 設(shè)圖象過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b， 所求一次函數(shù)為y=-x+（2）若點(diǎn)D在點(diǎn)C左側(cè)則x<1， 可證ABCADB， - - - - 8-18x-5=0 x1=-, x2=, 經(jīng)檢驗(yàn)x1=-, x2=,都是方程的根。 x2=不合題意舍去，x1=-, D點(diǎn)坐標(biāo)為（-, 0）， 圖象過B、D（-, 0）兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=4x+綜上所述，滿足題意的一次函數(shù)為y=-x+或y=4x+. 例8已知：如圖一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C（4，0）作AB的垂線交AB于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D、E的坐標(biāo)。 解

14、：直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，-3）， OA=6，OB=3， OAOB，CDAB， ODC=OAB， cotODC=cotOAB,即 OD=8. 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8）， 設(shè)過CD的直線解析式為y=kx+8,將C( 4,0)代入 0=4k+8, 解得 k=-2 直線CD：y=-2x+8, 由解得 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，-） 說明：由于點(diǎn)E既在直線AB上，又在直線CD上，所以可以把兩直線的解析式聯(lián)立，構(gòu)成二元一次方程組，通過解方程組求得。 一次函數(shù)基本題型過關(guān)卷題型一、點(diǎn)的坐標(biāo)方法： x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則他們的橫坐標(biāo)相同，

15、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則它們的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)；1、 若點(diǎn)A（m,n）在第二象限，則點(diǎn)（|m|,-n）在第_象限；2、 若點(diǎn)P（2a-1,2-3b）是第二象限的點(diǎn)，則a,b的范圍為_；3、 已知A（4，b），B（a,-2），若A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，則a=_,b=_;若A,B關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=_,b=_;若若A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=_,b=_；4、 若點(diǎn)M（1-x,1-y）在第二象限，那么點(diǎn)N（1-x,y-1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第_象限。題型二、關(guān)于點(diǎn)的距離的問題方法：點(diǎn)到x軸的距離用縱坐標(biāo)的絕對(duì)

16、值表示，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離用橫坐標(biāo)的絕對(duì)值表示； 任意兩點(diǎn)的距離為； 若ABx軸，則的距離為； 若ABy軸，則的距離為； 點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離為1、 點(diǎn)B（2，-2）到x軸的距離是_；到y(tǒng)軸的距離是_；2、 點(diǎn)C（0，-5）到x軸的距離是_；到y(tǒng)軸的距離是_；到原點(diǎn)的距離是_；3、 點(diǎn)D（a,b）到x軸的距離是_；到y(tǒng)軸的距離是_；到原點(diǎn)的距離是_；4、 已知點(diǎn)P（3,0），Q(-2,0),則PQ=_,已知點(diǎn),則MQ=_; ,則EF兩點(diǎn)之間的距離是_;已知點(diǎn)G（2，-3）、H（3,4），則G、H兩點(diǎn)之間的距離是_；5、 兩點(diǎn)（3，-4）、（5，a）間的距離是2，則a的值為_；6、 已知點(diǎn)A（0,2）

17、、B（-3，-2）、C（a,b），若C點(diǎn)在x軸上，且ACB=90°，則C點(diǎn)坐標(biāo)為_.題型三、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的識(shí)別方法：若y=kx+b(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù)，特別的，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就成為y=kx(k是常數(shù)，k0)，這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，一次函數(shù)就成為若y=b，這時(shí)，y叫做常函數(shù)。A與B成正比例óA=kB(k0)1、當(dāng)k_時(shí)，是一次函數(shù)；2、當(dāng)m_時(shí)，是一次函數(shù)；3、當(dāng)m_時(shí)，是一次函數(shù)；4、2y-3與3x+1成正比例，且x=2,y=12,則函數(shù)解析式為_；題型四、函數(shù)圖像及其性質(zhì)方法：函數(shù)圖象性質(zhì)經(jīng)過象限變化規(guī)律y=kx+

18、b（k、b為常數(shù)，且k0）k0b0b=0b0k0b0b=0b0一次函數(shù)y=kx+b（k0）中k、b的意義： k(稱為斜率)表示直線y=kx+b（k0） 的傾斜程度；b（稱為截距）表示直線y=kx+b（k0）與y軸交點(diǎn)的 ，也表示直線在y軸上的 。 同一平面內(nèi)，不重合的兩直線 y=k1x+b1（k10）與 y=k2x+b2（k20）的位置關(guān)系：當(dāng) 時(shí)，兩直線平行。 當(dāng) 時(shí)，兩直線垂直。 當(dāng) 時(shí)，兩直線相交。 當(dāng) 時(shí)，兩直線交于y軸上同一點(diǎn)。 特殊直線方程： X軸 : 直線 Y軸 : 直線 .與X軸平行的直線 與Y軸平行的直線 一、 三象限角平分線 二、四象限角平分線 1、對(duì)于函數(shù)y5x+6，y的

19、值隨x值的減小而_。2、對(duì)于函數(shù), y的值隨x值的_而增大。 3、一次函數(shù) y=(6-3m)x(2n4)不經(jīng)過第三象限，則m、n的范圍是_。4、直線y=(6-3m)x(2n4)不經(jīng)過第三象限，則m、n的范圍是_。5、已知直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，那么直線y=-bx+k經(jīng)過第_象限。6、無論m為何值，直線y=x+2m與直線y=-x+4的交點(diǎn)不可能在第_象限。7、已知一次函數(shù)    （1）當(dāng)m取何值時(shí)，y隨x的增大而減小？    （2）當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)的圖象過原點(diǎn)？題型五、待定系數(shù)法求解析式方法：依據(jù)兩個(gè)獨(dú)立的條件確定k,b

20、的值，即可求解出一次函數(shù)y=kx+b（k0）的解析式。 已知是直線或一次函數(shù)可以設(shè)y=kx+b（k0）； 若點(diǎn)在直線上，則可以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式構(gòu)建方程。1、若函數(shù)y=3x+b經(jīng)過點(diǎn)（2，-6），求函數(shù)的解析式。2、直線y=kx+b的圖像經(jīng)過A（3，4）和點(diǎn)B（2，7），3、如圖1表示一輛汽車油箱里剩余油量y（升）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系求油箱里所剩油y（升）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并且確定自變量x的取值范圍。4、一次函數(shù)的圖像與y=2x-5平行且與x軸交于點(diǎn)（-2,0）求解析式。5、若一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-2x6，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11y9，求

21、此函數(shù)的解析式。6、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于y軸對(duì)稱，求k、b的值。7、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于x軸對(duì)稱，求k、b的值。8、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k、b的值。題型六、平移方法：直線y=kx+b與y軸交點(diǎn)為（0，b），直線平移則直線上的點(diǎn)（0，b）也會(huì)同樣的平移，平移不改變斜率k，則將平移后的點(diǎn)代入解析式求出b即可。直線y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右減，上加下減”）。1. 直線y=5x-3向左平移2個(gè)單位得到直線 。2. 直線y=-x-2向右平移2個(gè)單位得到直線 3. 直線y=x向右平移2個(gè)單位得到直線 4. 直線y=向左平移2個(gè)單位得到直線 5. 直線y=2x+1向上平移4個(gè)單位得到直線 6. 直線y=-3x+5向下平移6個(gè)單位得到直線 7. 直線向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到直線 。8. 直線向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位得到直線_。9. 過點(diǎn)（2，-3）且平行于直線y=2x的直線是_ _。10. 過點(diǎn)（2，-3）且平行于直線y=-3x+1的直線是_.11把函數(shù)y=3x+1的圖像向右平移2個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位，可得到的圖像表示的函數(shù)是_；12直