西安交大復(fù)變函數(shù)課件511本性奇點(diǎn)

1、1一、孤立奇點(diǎn)的概念一、孤立奇點(diǎn)的概念定義定義 如果如果函數(shù)函數(shù)0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).例例10 z是函數(shù)是函數(shù)zzezsin,1的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).1 z是函數(shù)是函數(shù)11 z的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).注意注意: : 孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn), 但奇點(diǎn)不一定是孤但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn)立奇點(diǎn).2例例2 2 指出函數(shù)指出函數(shù)0 z在點(diǎn)在點(diǎn)zzzf1sin)(2 的奇點(diǎn)特性的奇點(diǎn)特性. .解解 kzz1,0),2,1( k，因?yàn)橐驗(yàn)?1lim kk即在即

2、在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), 的奇點(diǎn)存在的奇點(diǎn)存在, 函數(shù)的奇點(diǎn)為函數(shù)的奇點(diǎn)為)(zf總有總有0 z不是孤立奇點(diǎn)不是孤立奇點(diǎn).所以所以3孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)依據(jù))(zf在其孤立奇點(diǎn)在其孤立奇點(diǎn)0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:1可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)1可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn); 2極點(diǎn)極點(diǎn); 3本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn).如果洛朗級數(shù)中不含如果洛朗級數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 0zz 0z)(zf那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn) 稱為稱為 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).1) 定義定義4其和函數(shù)其和函數(shù))(zF為在為在0z解析的函數(shù)解析的

3、函數(shù).0000,)( , )()(zzczFzzzFzf）即說明說明: (1),)(0的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若是是zfz.)()()(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz ,)(00czf (2) 無論無論在在是否有定義是否有定義, )(zf0z補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義則函數(shù)則函數(shù)在在0z解析解析.)(zf5 2) 可去奇點(diǎn)的判定可去奇點(diǎn)的判定(1) 由定義判斷由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負(fù)的洛朗級數(shù)無負(fù)0z)(zf在在如果如果冪項(xiàng)則冪項(xiàng)則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).(2) 判斷極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值,則

4、則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).6如果補(bǔ)充定義如果補(bǔ)充定義:0 z時(shí)時(shí), 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例3 42! 51! 311sinzzzz中不含負(fù)冪項(xiàng)中不含負(fù)冪項(xiàng),0 z是是zzsin的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn) . 7例例4 說明說明0 z為為zez1 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).zez1 無負(fù)冪項(xiàng)無負(fù)冪項(xiàng)另解另解 zzzzeze00lim1lim 因?yàn)橐驗(yàn)? z所以所以的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 82. 極點(diǎn)極點(diǎn) 10120

5、20)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc, )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中關(guān)于其中關(guān)于的最高冪為的最高冪為即即級極點(diǎn)級極點(diǎn).0z)(zfm那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗?) 定義定義 0zz 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個(gè)如果洛朗級數(shù)中只有有限多個(gè)的的負(fù)冪項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng), 001( )( ), ( )()0()mf zg zg zg zzz0在z 處解析,且9說明說明: 20201)()()(zzczzcczgmmm1.內(nèi)內(nèi)是是解解析析函函數(shù)數(shù)在在 0zz2.0)(0 zg特點(diǎn)特點(diǎn):(1)(2)

6、的極點(diǎn)的極點(diǎn) , 則則0z)(zf為函數(shù)為函數(shù)如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)2(23)(2 zzzzf是二級極點(diǎn)是二級極點(diǎn), 0 z2 z是一級極點(diǎn)是一級極點(diǎn).102)極點(diǎn)的判定方法極點(diǎn)的判定方法)(zf的負(fù)冪項(xiàng)為有的負(fù)冪項(xiàng)為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項(xiàng)限項(xiàng).在點(diǎn)在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定義判別由定義判別(2) 由定義的等價(jià)形式判別由定義的等價(jià)形式判別(3) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判

7、斷 .11本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)3.如果洛朗級數(shù)中如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個(gè)含有無窮多個(gè)0zz 那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)0z稱為稱為)(zf的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個(gè)含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng) 特點(diǎn)特點(diǎn): 在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. 為為本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)，所所以以0 z同時(shí)同時(shí)zze10lim不存在不存在.12綜上所述綜上所述:孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級極點(diǎn)級極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級數(shù)特點(diǎn)洛朗級數(shù)特點(diǎn))(lim0zfzz 存在且為存在且為有限值

8、有限值不存在不存在且不為且不為 無負(fù)冪項(xiàng)無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)10)( zzmzz )(0關(guān)于關(guān)于的最高冪的最高冪為為13二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1.零點(diǎn)的定義零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)不恒等于零的解析函數(shù))(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z 解析且解析且m為某一正整數(shù)為某一正整數(shù), 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點(diǎn)級零點(diǎn).例例6的一級零點(diǎn)，的一級零點(diǎn)，是函數(shù)是函數(shù)3)1()(0 zzzfz注意注意: : 不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的

9、不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.)1()(13的三級零點(diǎn)的三級零點(diǎn)是函數(shù)是函數(shù) zzzfz142.零點(diǎn)的判定零點(diǎn)的判定零點(diǎn)的充要條件是零點(diǎn)的充要條件是證證 (必要性必要性)由定義由定義:)()()(0zzzzfm 設(shè)設(shè)0)(zz 在在 的泰勒展開式為的泰勒展開式為:,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在在解析解析, 那末那末為為的的級級)(zf)(zfm0z如果如果為為的的級零點(diǎn)級零點(diǎn))(zf; )1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm15的的泰泰勒勒展展開開式式為為在在從從而而0)(zzf10100)()()( mmz

10、zczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展開式的前展開式的前m項(xiàng)系數(shù)都為零項(xiàng)系數(shù)都為零 ,由泰勒級數(shù)的系數(shù)由泰勒級數(shù)的系數(shù)公式知公式知:);1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn并且并且. 0!)(00)( cmzfm充分性證明略充分性證明略 .16(1)由于由于123)1( zzf知知1 z是是)(zf的一級零點(diǎn)的一級零點(diǎn) .課堂練習(xí)課堂練習(xí)0 z是五級零點(diǎn)是五級零點(diǎn),iz 是二級零點(diǎn)是二級零點(diǎn).知知是是)(zf的一級零點(diǎn)的一級零點(diǎn).0 z解解 (2)由于由于0cos)0( zzf答案答案例例7 求以下函數(shù)的零點(diǎn)及級數(shù)求以下函數(shù)的零點(diǎn)及級數(shù):, 1)(

11、3 zzf(1)(2).sin)(zzf , 03 , 01 225)1()( zzzf的零點(diǎn)及級數(shù)的零點(diǎn)及級數(shù) .求求173.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系證證000定 理 ： 如 z 是 f(x)的 m級 零 點(diǎn) ， 是 g(x)的 n級 零 點(diǎn) ，f(x）則 當(dāng) mn時(shí) ， z 是的 可 去 極 點(diǎn) ,當(dāng) mn時(shí) ， zg(x)f(x）是的 (n-m)級 極 點(diǎn)g(x)0( )()( ),mf zzzz00( )()0zzz在 處解析且00( )()0zzz在 處解析且0( )()( ),ng zzzz1800( )(),( )( ),1( )( ),()( )m nn mxzzmnz

12、f xxg zmnzzz故定理成立。19說明說明 此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡便的方法簡便的方法. .例例8 函數(shù)函數(shù)zsin1有些什么奇點(diǎn)有些什么奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn)如果是極點(diǎn), 指出指出它的級它的級.解解 函數(shù)的奇點(diǎn)是使函數(shù)的奇點(diǎn)是使0sin z的點(diǎn)的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是這些奇點(diǎn)是. )2,1,0( kkz是孤立奇點(diǎn)是孤立奇點(diǎn). kzkzzzcos)(sin因因?yàn)闉榈囊患壛泓c(diǎn)，的一級零點(diǎn)，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一級極點(diǎn)的一級極點(diǎn).即即20),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0

13、)0( 所以所以0 z不是二級極點(diǎn)不是二級極點(diǎn), 而是一級極點(diǎn)而是一級極點(diǎn).0 z是是3sinhzz的幾級極點(diǎn)的幾級極點(diǎn)?思考思考例例9 問問0 z是是21zez 的二級極點(diǎn)嗎的二級極點(diǎn)嗎?注意注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .21三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1. 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn) z的去心的去心鄰域鄰域 zR內(nèi)解析內(nèi)解析, 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) 為為)(zf的孤的孤立奇點(diǎn)立奇點(diǎn).Rxyo22令變換令變換:1zt 規(guī)定此變換將規(guī)定此變換將: tfzf1)(則則映射為映射為 z, 0 t擴(kuò)充擴(kuò)充 z 平面平面擴(kuò)充

14、擴(kuò)充 t 平面平面映射為映射為)( nnzz)0(1 nnntzt映射為映射為 zRRt10 映射為映射為),(t 23結(jié)論結(jié)論: 在去心鄰域在去心鄰域 zR內(nèi)對函數(shù)內(nèi)對函數(shù))(zf的研究的研究在去心鄰域在去心鄰域Rt10 內(nèi)對函數(shù)內(nèi)對函數(shù))(t 的研究的研究Rt10 因?yàn)橐驗(yàn)?)(t 在去心鄰域在去心鄰域內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).規(guī)定規(guī)定: m級奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn)級奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn) .)(t 的可去奇點(diǎn)、的可去奇點(diǎn)、m級奇點(diǎn)或級奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn),如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇點(diǎn)、的可去奇點(diǎn)、 那末就稱點(diǎn)那末就稱點(diǎn)241)不含正冪項(xiàng)不

15、含正冪項(xiàng);2)含有有限多的正冪項(xiàng)且含有有限多的正冪項(xiàng)且mz為最高正冪為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項(xiàng)含有無窮多的正冪項(xiàng);那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn) ;2) m 級極點(diǎn)級極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn) .判別法判別法1 (利用洛朗級數(shù)的特點(diǎn)利用洛朗級數(shù)的特點(diǎn))2.判別方法判別方法:)(zf zR在在內(nèi)的洛朗級數(shù)中內(nèi)的洛朗級數(shù)中:如果如果25例例10 (1)函數(shù)函數(shù)1)( zzzf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z1內(nèi)的洛朗展開式為內(nèi)的洛朗展開式為: nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正冪項(xiàng)不含正冪項(xiàng)所以所以 z是是)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn) .(2)函數(shù)函數(shù)zzzf1)(

16、含有正冪項(xiàng)且含有正冪項(xiàng)且 z 為最高正為最高正冪項(xiàng)冪項(xiàng),所以所以 z是是)(zf的的 m級極點(diǎn)級極點(diǎn).26(3)函數(shù)函數(shù)zsin的展開式的展開式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有無窮多的正冪項(xiàng)含有無窮多的正冪項(xiàng)所以所以 z是是)(zf的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).課堂練習(xí)課堂練習(xí).0,是本性奇點(diǎn)是本性奇點(diǎn)是一級極點(diǎn)是一級極點(diǎn) zzzezzf1)( 的奇點(diǎn)及其的奇點(diǎn)及其類型類型.說出函數(shù)說出函數(shù)答案答案27判別法判別法2 : (利用極限特點(diǎn)利用極限特點(diǎn))如果極限如果極限)(limzfn 1)存在且為有限值存在且為有限值 ; 2)無窮大無窮大; 3)不存在且不為無窮大不存在且不為無

17、窮大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn) ;2)m級極點(diǎn)級極點(diǎn) ;3)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn) .28例例11 函數(shù)函數(shù)332)(sin)2)(1()(zzzzf 在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)有些什么類型的奇點(diǎn)? 如果是極點(diǎn)如果是極點(diǎn), 指出它的級指出它的級.解解 函數(shù)函數(shù))(zf除點(diǎn)除點(diǎn)2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin處均不為零處均不為零在在因因 zzz所以這些點(diǎn)都是所以這些點(diǎn)都是z sin的一級零點(diǎn)的一級零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除故這些點(diǎn)中除1, -1, 2外外, 都是都是)(zf的三級極點(diǎn)的三級極點(diǎn). z內(nèi)解析內(nèi)解析 .在在29),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11級極點(diǎn)級極點(diǎn)的的是