第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型(一)

1、 研究與分析一個(gè)系統(tǒng)，不僅要定性地了解系統(tǒng)的工作原理及特性，而且更要定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系。這就要求建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是控制工程的基本方法。p 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化p 重要的分析工具：拉普拉斯變換及其逆變換重要的分析工具：拉普拉斯變換及其逆變換p 經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù)經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù) p 控制系統(tǒng)的圖形表示：方框圖及信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的圖形表示：方框圖及信號(hào)流圖數(shù)學(xué)模型的基本概念o 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 是描

2、述是描述系統(tǒng)系統(tǒng)輸入、輸出變量輸入、輸出變量以及于內(nèi)部其以及于內(nèi)部其它變量之間關(guān)系的它變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)表達(dá)式，表達(dá)式，它揭示它揭示了系統(tǒng)了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 如：以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的如：以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程微分方程是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫(xiě)傳遞函數(shù)和狀態(tài)是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫(xiě)傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)?？臻g方程的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型的基本概念o 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型o 靜態(tài)靜態(tài)條件（條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。反映系統(tǒng)處于之間關(guān)系的代數(shù)方程。反映系統(tǒng)

3、處于穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)時(shí)，系時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間的數(shù)學(xué)模型統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間的數(shù)學(xué)模型。o 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型o 描述描述變量各階導(dǎo)數(shù)變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的代數(shù)方程。反之間關(guān)系的代數(shù)方程。反映系統(tǒng)映系統(tǒng)瞬態(tài)和過(guò)渡態(tài)瞬態(tài)和過(guò)渡態(tài)的模型的模型。也可定義為描述實(shí)。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量隨時(shí)間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動(dòng)態(tài)際系統(tǒng)各物理量隨時(shí)間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號(hào)，而且的輸出不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號(hào)，而且與它過(guò)去的工作狀態(tài)有關(guān)。與它過(guò)去的工作狀態(tài)有關(guān)。數(shù)學(xué)模型的基本概念o 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 解析法解析法 根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵

4、循的物理或根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型?；瘜W(xué)規(guī)律，列寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。 實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為也稱為系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型的基本概念o 數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式n 時(shí)間域：時(shí)間域： 微分方程微分方程 差分方程差分方程 狀態(tài)空間方程（一階微分方程組）狀態(tài)空間方程（一階微分方程組）n 復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 函數(shù)方框圖、信號(hào)流圖函數(shù)方框圖、信號(hào)流圖n 頻率域

5、頻率域 頻率特性頻率特性數(shù)學(xué)模型的基本概念p 對(duì)于給定的系統(tǒng)，對(duì)于給定的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型表達(dá)不唯一數(shù)學(xué)模型表達(dá)不唯一。工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程、傳微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程遞函數(shù)、狀態(tài)方程。對(duì)于線性系統(tǒng)，它們之。對(duì)于線性系統(tǒng)，它們之間是間是等價(jià)等價(jià)的。的。2-1 數(shù)學(xué)模型的建立o 機(jī)械位移系統(tǒng)機(jī)械位移系統(tǒng)彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器阻尼器例：例：求求外力外力F(t)與質(zhì)量塊與質(zhì)量塊m位移位移(t)之間的之間的微分方程。微分方程。解 由牛頓第二定律列出方程22( )( )( )( )dy td y tF tky tfmdtdt即22( )( )( )( )d y

6、 tdy tmfky tF tdtdt2-1 數(shù)學(xué)模型的建立o 在機(jī)械系統(tǒng)中在機(jī)械系統(tǒng)中n 有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度n 有些構(gòu)件慣性較小、柔度較大有些構(gòu)件慣性較小、柔度較大彈性忽略，彈性忽略，視為視為質(zhì)量塊質(zhì)量塊集中參數(shù)法慣性忽略慣性忽略，視為視為無(wú)質(zhì)量的彈簧無(wú)質(zhì)量的彈簧集中參數(shù)法2-1 數(shù)學(xué)模型的建立o 機(jī)械位移系統(tǒng)機(jī)械位移系統(tǒng) 動(dòng) 力滑 臺(tái)yo(t)工件Fi(t)(tfiFi(t)yo(t)MkfNoImage組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)力學(xué)模型力學(xué)模型 tftkytyDtyMtyMtyDtkytfMaFiooooooi 即：牛頓第二定律： 2-1 數(shù)學(xué)

7、模型的建立o 無(wú)源電路無(wú)源電路 ti ti1 ti2uiuo1RC2R 4 3 2 1 tiRtutiRdttic1tiRtututititi2o21121oi21 姆姆定定律律，有有根根據(jù)據(jù)基基爾爾霍霍夫夫定定律律和和歐歐 tudttduCRtuRRRdttduCRiioo122111432，并整理得到：分別代入、將2-1 數(shù)學(xué)模型的建立o 有源電路有源電路 _ K0 + ui(t) i1(t) i2(t) uo(t) C R A B ( ) ( )oidu tRCu tdt 整整理理得得數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型 12( )( )( )( )( )( )iAooi ti tu td utu tdu

8、tCCRdtdt 而而因因?yàn)闉檫\(yùn)運(yùn)放放的的輸輸入入阻阻抗抗很很高高，所所以以。因因此此有有點(diǎn)為虛地點(diǎn)。一般很大又因?yàn)锳KtutuKoA0)()(00)()()()(00tuKtutuKtuAABo2-1 數(shù)學(xué)模型的建立o 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟n 分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；n 從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)傳遞變換過(guò)程，依從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)傳遞變換過(guò)程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫(xiě)出各據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫(xiě)出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程；元件、部

9、件的動(dòng)態(tài)微分方程；n 消消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；輸出變量之間關(guān)系的微分方程；n 標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列列2-2 數(shù)學(xué)模型的線性化實(shí)際系統(tǒng)一般都有實(shí)際系統(tǒng)一般都有非線性現(xiàn)象非線性現(xiàn)象嚴(yán)格講：幾乎所有實(shí)際嚴(yán)格講：幾乎所有實(shí)際物理系統(tǒng)都是非線性的。物理系統(tǒng)都是非線性的。 電機(jī)死區(qū)電機(jī)死區(qū) 放大器飽和放大器飽和機(jī)械間隙機(jī)械間隙xixixix0 x0 x0閥門(mén)閥門(mén)非線非線性性2-2 數(shù)學(xué)模型的線性化p 線性化的提出線性化的提出n 線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作線性

10、系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性。范圍內(nèi)具有線性特性。n 非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的。非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的。n 對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下做某種近對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下做某種近似或縮小工作范圍，用線性模型近似代替非似或縮小工作范圍，用線性模型近似代替非線性模型進(jìn)行處理，能夠滿足實(shí)際需要線性模型進(jìn)行處理，能夠滿足實(shí)際需要。2-2 數(shù)學(xué)模型的線性化o 線性化條件線性化條件n 非線性因素對(duì)系統(tǒng)影響很小非線性因素對(duì)系統(tǒng)影響很小n 系統(tǒng)變量只發(fā)生微小偏移，可通過(guò)切線法進(jìn)系統(tǒng)變量只發(fā)生微小偏移，可通過(guò)切線法進(jìn)行線性化，求其行線性化，求其增量增量方程。方

11、程。 不是各個(gè)變量的絕對(duì)數(shù)量，不是各個(gè)變量的絕對(duì)數(shù)量，而是它們偏離平衡點(diǎn)的量而是它們偏離平衡點(diǎn)的量2-2 數(shù)學(xué)模型的線性化AByx00 xxx00y00yy)(xfy (,)B xx yy 00002202( )()|()1( )|().2!xxxxdf xyf xxxdxdfxxxdx )(|000 xxdxdyyyxx xKxdxdyyxx0|2-2 數(shù)學(xué)模型的線性化-實(shí)例 )(to mTi(t)P 15 圖 2-5 單 擺l單擺 2o2dtt2oidmlltsinmgtT ：根根據(jù)據(jù)牛牛頓頓第第二二定定律律，有有: sin ! 5! 3sin 0sin 53可近似為線性方程量，則很小時(shí)，

12、可忽略高階小當(dāng)臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，得：附近用在將程，這是一個(gè)非線性微分方ooooooooo ttmgldtt2Tdmlio2o2 2-2 數(shù)學(xué)模型的線性化o 線性化步驟線性化步驟n 找出靜態(tài)工作點(diǎn)（工藝上給出的參數(shù)）找出靜態(tài)工作點(diǎn)（工藝上給出的參數(shù)）。工作點(diǎn)工作點(diǎn)不同，所得線性化方程的系數(shù)也不同；不同，所得線性化方程的系數(shù)也不同；n 變量變量的偏移愈小，線性化精度越高的偏移愈小，線性化精度越高；n 在在工作點(diǎn)工作點(diǎn)附近展開(kāi)附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)成泰勒級(jí)數(shù)；n 略去高階項(xiàng)，僅略去高階項(xiàng)，僅考慮泰勒級(jí)數(shù)考慮泰勒級(jí)數(shù)的一次項(xiàng)，得的一次項(xiàng)，得到關(guān)于到關(guān)于增量增量的線性化微分方程。的線性化微分方程。2-3 Lap

13、lace Transform & its inverse transformLaplace Transform & its inverse transform 拉普拉斯變換及反變換 一種解線性常微分方程的簡(jiǎn)便方法時(shí)域微分方程復(fù)變函數(shù)代數(shù)方程拉氏變換拉氏反變換復(fù)變量和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)有實(shí)部和虛部，兩部分都是常數(shù)。有實(shí)部和虛部，兩部分都是常數(shù)。 如：如：復(fù)變量復(fù)變量指復(fù)數(shù)的實(shí)部或虛部中含有變量。指復(fù)數(shù)的實(shí)部或虛部中含有變量。 如：如：復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) F(S)是是 s 的函數(shù)，有實(shí)部和虛部。的函數(shù)，有實(shí)部和虛部。 如：如： 25tanarg525222 jsj sFsFyjxsFFF 22arct

14、anxyyxF sF sFFFF復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)相加（減相加（減）：兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相加得和（差）的實(shí)部和虛部。 如：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)相乘（除）相乘（除）：積的幅值等于兩個(gè)復(fù)數(shù)幅值的乘積（商），相角等于兩個(gè)復(fù)數(shù)相角的和（差）。如：復(fù)數(shù)分母有理化復(fù)數(shù)分母有理化 分子和分母同時(shí)乘上分母的共軛復(fù)數(shù)。如： (25)(47)(24)(57)612jjjj)(/,212121222111rrFFFrFrF138143264128)32)(32()32)(24(32242222jjjjjjjjjjj例如：例如： 2 : 222 rsrjsssG其中其中GxGyjG(s)平面平面40S平面平面20jwp 拉普拉斯變換

15、可以理解為拉普拉斯變換可以理解為廣義單邊傅里葉變換廣義單邊傅里葉變換。傅氏變換建立了傅氏變換建立了時(shí)域和頻域時(shí)域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了變換建立了時(shí)域和復(fù)頻域時(shí)域和復(fù)頻域之間的聯(lián)系。之間的聯(lián)系。2-3 拉普拉斯變換及其逆變換o(,均為實(shí)均為實(shí)數(shù)）數(shù)）原函數(shù)原函數(shù)復(fù)變量復(fù)變量 象象函數(shù)函數(shù) 若x(t)在t=0處有一個(gè)脈沖函數(shù)，則必須明確拉氏積分的下限是0+還是0。o 拉拉氏變換積分下限的說(shuō)明氏變換積分下限的說(shuō)明0 ( )( )stL x tx t edt0000 ( )( )( )( )stststL x tx t edtx t edtx t edt ( ) ( )L x

16、 tL x tn 0 0+ + 表示表示外外作用開(kāi)始作用作用開(kāi)始作用于于系統(tǒng)；系統(tǒng)；n 0 0- - 表示表示外作用尚未作用于系統(tǒng)，外作用尚未作用于系統(tǒng)，這時(shí)可確定系統(tǒng)這時(shí)可確定系統(tǒng)所所處處 的初始狀態(tài)；的初始狀態(tài)；n 工程工程實(shí)際中，常把開(kāi)始研究系統(tǒng)時(shí)刻規(guī)定為零時(shí)刻實(shí)際中，常把開(kāi)始研究系統(tǒng)時(shí)刻規(guī)定為零時(shí)刻，即，即 為為 0 0- - 時(shí)刻時(shí)刻的拉氏的拉氏變換。變換。2-3 拉普拉斯變換及其逆變換o 簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換1. 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) t1 00110ttt 0 00 011111111ststLttdtssee 0t1 t12. . 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) tet1

17、 0t1 tet1 tttt1cos1sin3 和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)、正正弦弦函函數(shù)數(shù) 2cos2sineeeejjjjj 則則 sincos sincos jjeejj 根據(jù)歐拉公式：根據(jù)歐拉公式： 2222222 ()111sin112211222LttLtjj sjsjsjsjjjj sjsjsee j tj t 22cos112111 2j tj tLttLtssjsjsee 同同理理：4. . 冪函數(shù)冪函數(shù) ttn1 ！則設(shè)nnndxexnexdexedxdxexdxexndxexxnxnxnxnxnxnx)(0)()()()() 1()( 0 1 0 0 0 0 0 11 0 10

18、t ttn1 應(yīng)記住的一些簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換 12222 1 1cos 1sin-s1 1s1 1 nntsn!tssttsttttte 象象函函數(shù)數(shù)原原函函數(shù)數(shù)2-3 拉普拉斯變換及其逆變換o 拉拉氏變換的性質(zhì)氏變換的性質(zhì)1. 疊加原理疊加原理 0dLx ts X sxdt 2. 微分定理微分定理 00 0 001( )( )( ) ()( )( )(0)1( )(0)1( )stststststL x tx t edtx t deseex tdx tssxdx tedtssdtxdx tLssdt xvuuvxvuddooo零初始條件零初始條件o兩個(gè)推論：兩個(gè)推論：oo00 1x tt t

19、tx1 ttoo 終值定理終值定理oo2222221)2(21 2sin)( sin 2sin ssFtLsFstLtL求例：o0td d (t)1p 定義定義可可用于用于描述描述: :單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的密度單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的密度, ,單位電量點(diǎn)電荷的電荷密度單位電量點(diǎn)電荷的電荷密度, ,單位光通量點(diǎn)光源的發(fā)光度單位光通量點(diǎn)光源的發(fā)光度, ,單位能量無(wú)限窄電脈沖的單位能量無(wú)限窄電脈沖的瞬時(shí)功率等。瞬時(shí)功率等。0001ddd ( ),( ),( ),( ),( )( )ttttttttt t 00000 , 0 0 ,1lim0tttttttt或或d d0t0t01 t 0000000111lim11l

20、im00tttttttttttt d d解：解：例例 求求f(t)的的象函數(shù)象函數(shù) 5421136( )cos( )tf tttet 221212cos ( ) sLtLtss 55421136421166( )cos( )cos()( )ttf tttetttet 6224152( ) ss eL f tss 延時(shí)定理延時(shí)定理衰減定理衰減定理o拉普拉斯反變換方法o使分子為零的使分子為零的S值稱值稱為象函數(shù)的為象函數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn)使分母為零的使分母為零的S值稱值稱為象函數(shù)的為象函數(shù)的極點(diǎn)極點(diǎn)1、只含不同單極點(diǎn)情況o對(duì)分母進(jìn)行因式分解對(duì)分母進(jìn)行因式分解再分解為部分分式再分解為部分分式o2、含有共軛復(fù)極點(diǎn)情況ooo2、含有共軛復(fù)極點(diǎn)情況o31