數(shù)字圖像處理

1、數(shù)字圖像處理數(shù)字圖像處理第十三章基于特征向量的變換CH13 基于特征向量的變換l一、主分量分析、K-L變換l二、圖像數(shù)據(jù)壓縮l三、矩陣展開和奇異值分解l四、DCT與K-L變換的關(guān)系l要點(diǎn)總結(jié)l上機(jī)實(shí)習(xí)1 主分量分析（K-L變換）l1）思想l2）特征分析l3）主分量分析及一維K-L變換l4）K-L變換的性質(zhì)l5）圖像K-L變換l6）基于K-L變換的特征臉識(shí)別方法1 主分量分析（K-L變換）l1）思想l目的是尋找任意統(tǒng)計(jì)分布的數(shù)據(jù)集合主要分量的子集。l基向量滿足相互正交性，且由它定義的空間最優(yōu)的考慮了數(shù)據(jù)的相關(guān)性。l將原始數(shù)據(jù)集合變換到主分量空間使單一數(shù)據(jù)樣本的互相關(guān)性(cross-correla

2、tion)降低到最低點(diǎn)。1 主分量分析（K-L變換）l2）特征分析l特征值100kkkNNANkNAIN對(duì)于一個(gè)的矩陣 ，有 個(gè)標(biāo)量 ，滿足稱為矩陣的一組特征值。如果給定的矩陣是奇異的，那么 個(gè)特征值中至少有一個(gè)為 。矩陣的秩 定義為矩陣非零特征值的個(gè)數(shù)。矩陣的條件數(shù) 定義為最大特征值與最小特征值的比值的絕對(duì)值。病態(tài)矩陣 條件數(shù)很大。1 主分量分析（K-L變換）l通常將特征值按降序排列。212122112140211 3A 例：1 主分量分析（K-L變換）l特征向量1,0kkkkkkNvAvvAvAV滿足下式的的向量則 稱為 的特征向量。求特征向量的方法是解線性方程組1112221221221

3、1 0 2212213 0 221Avvvv 例： 求其特征向量。1 主分量分析（K-L變換）l3）主分量分析及一維K-L變換l一種可以去掉隨機(jī)向量中各元素間相關(guān)性的線性變換。lSTEP1：定義協(xié)方差矩陣。 1231111,111niNiiNTTfiNTTiiifNfffffffNE ffNCEffffNf fN假設(shè) 是一個(gè)的隨機(jī)向量集合，即 都是隨機(jī)變量, 的均值可統(tǒng)計(jì) 個(gè)樣本向量估計(jì)。其協(xié)方差矩陣定義為1 主分量分析（K-L變換）lSTEP2：求協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量。lSTEP3：定義變換核矩陣和反變換。 01fiiiiiCiN ，式中 是特征值，相應(yīng)的特征向量是。12*nTTTA

4、KLFfA ffFA F 因此變換核矩陣 為特征向量組成正交化后為，將記作 。因此定義一維變換為反變換定義為1 主分量分析（K-L變換）l例例123161718160166169506058171 0 11562981655 1 40149 42 42566 4 21428 42 560000.95930.25100.120 6.860700093.1393ffffuC 970.27410.71530.64280.06850.6522 0.75491 主分量分析（K-L變換）l4）K-L變換的性質(zhì) 12121023FffFTTTFfffFTTTFffnTnFE FE A fAE fAFCCE

5、A ffAAC ACaaCAC ACaaaa的均值為零的協(xié)方差為對(duì)角陣1 主分量分析（K-L變換）11221 1221211220000TTTTnnnTTnnnnaaaaaaaaaaaa1 主分量分析（K-L變換） 14FFiiTTfCCafiK LAAfA F u中各元素是不相關(guān)的由于 為對(duì)角陣，所以各元素是不相關(guān)的。5 特征值 就是特征向量 方向上 第個(gè)元素的方差由于變換是正交對(duì)稱的，所以所以反變換1 主分量分析（K-L變換）l例例1230000.08591.89361.80777.87353.66264.2110000000 6.860900093.1407FFFFFC 1 主分量分析（

6、K-L變換）l5）圖像K-L變換l思想：將二維圖像采用行堆疊或列堆疊轉(zhuǎn)換為一維處理。1,0,1,11,2:,0,1,1liiiiiiji MiSteplf x yfx yfx yStepMNffjffjffffj N：同一幅圖象 次傳送，形成圖象集合采用行堆疊將每一個(gè)大小樣本表為向量其中元素1 主分量分析（K-L變換）1123114-TfffLTTi iffifiifTMNfStepfCEfff fLCMN MNeCiMNAeeeStepK LFA fu ：定義向量的協(xié)方差陣和相應(yīng)變換核矩陣顯然 陣是維。令 和 為 陣的特征值和特征向量，顯然，。：定義二維變換。1 主分量分析（K-L變換）l6

7、）基于K-L變換的特征臉識(shí)別方法l（1）臉的檢測(cè)1 主分量分析（K-L變換）l（2）特征臉1 主分量分析（K-L變換）l（3）分類l將待識(shí)別人臉投影到新的M維人臉空間，即用一系列特征臉的線性加權(quán)和表示。此時(shí)待識(shí)別人臉問題轉(zhuǎn)換為投影系數(shù)向量，識(shí)別問題轉(zhuǎn)換為分類問題。最簡(jiǎn)單的分類是最小距離分類等。請(qǐng)參考請(qǐng)參考“分類識(shí)別分類識(shí)別”一章一章實(shí)驗(yàn)說明實(shí)驗(yàn)說明2 圖像數(shù)據(jù)壓縮l1）K-L變換用于圖像數(shù)據(jù)壓縮 -0 二維變換用于圖象處理時(shí)又稱為Hotelling變換。二維變換用于圖象處理時(shí)又稱為Hotelling變換。正變換 正變換 反變換 反變換 在變換域中，能量集中在特征值 大的系數(shù)中。在變換域中，能量

8、集中在特征值 大的系數(shù)中。舍掉特征值較小的 值對(duì)應(yīng)的特征向量，舍掉特征值較小的 值對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)成新的變換核矩陣。構(gòu)成新的變換核矩陣。fTfkfkKLFA ffA FFAfFF2 圖像數(shù)據(jù)壓縮相當(dāng)于原 的 維投影。相當(dāng)于原 的 維投影。圖象重建后恢復(fù)的圖象為，圖象重建后恢復(fù)的圖象為，kTkkfFFKfA F2 圖像數(shù)據(jù)壓縮l2）引進(jìn)誤差的分析 22222212111TTTkkNTkku kfNx kNTTx kNTfx kEffEAFFAFFEFFFFEF uF uA f xuEAfAE fAEfE ffE fAAC A 2 圖像數(shù)據(jù)壓縮2222111TTTkkifNNTfix kx kN

9、ix kEffEAFFAFFCAC A 設(shè)為的特征值，則=結(jié)論：采用K-L變換圖象降維后的誤差為。3 矩陣展開和奇異值分解l1）矩陣展開12,123 TTiTTiiiiiTiiiMNfu vStepffffStepuffMff uuStepNvf uv目的：將圖象為的矩陣 ，表為正交向量的外乘展開式。：構(gòu)造和皆為非負(fù)對(duì)稱陣，且有相同非零特征值 。：設(shè) 是的維特征向量，即=；：按下式選擇 維特征向量 ：3 矩陣展開和奇異值分解121211224 5 TTiiiiTTTTTiiiiiiiiiiiTTTiiiTiiiTTTiiiiiiStepvffffvvff uufff u fuf uvfff u

10、ffvffvvStepfuvf uvufv：可以證明 是的特征向量，即；=：將 表為正交向量 ， 的外乘展開式。12 Tiiifuv3 矩陣展開和奇異值分解l2）奇異值分解SVD122TTiiiTfuvUVUVffNNNN 以上兩式構(gòu)成奇異值分解（SVD）變換的正變換和反變換。性質(zhì)1：若 是方陣，則 最多有 個(gè)非零元素；即圖象可以獲得至少 倍的無損壓縮；性質(zhì) ：若忽略 中一些很小的奇異值，則可以獲得更大的有損壓縮比；性質(zhì)3：通常用于一系列相似圖象的壓縮。3 矩陣展開和奇異值分解01210614181461343 11436483614245421848654818134311436483614

11、0121061418146147.070.1860.6380.2410.6950.6951.8720.4760.0580.520.1330.0.05800AAAU例：1280.6910.4220.587000.4760.0580.520.1330.1280.1860.6380.2410.6950.69512.585000001.142000000.557000000000000U AU 正變換3 矩陣展開和奇異值分解123112233121610628.86232 101710 04540.5420.7070.766 0.643 00.4540.5420.7075.T

12、TAAAA Auvuvuv 例：370000.372020005.37000.4541.111.871.110000.7660.4540.7660.4541.873.151.870000.4541.111.871.11A忽略正變換中第 個(gè)奇異值3 矩陣展開和奇異值分解l3）SVD的應(yīng)用3 矩陣展開和奇異值分解去掉小于去掉小于1010的奇異值的奇異值3 矩陣展開和奇異值分解去掉小于去掉小于5050的奇異值的奇異值3 矩陣展開和奇異值分解去掉小于去掉小于10001000的奇異值的奇異值4 DCT與K-L變換的關(guān)系l1）馬爾可夫過程l大多數(shù)自然景物符合馬爾可夫過程；l馬氏過程的協(xié)方差表示為：1212

13、111NNNNNC4 DCT與K-L變換的關(guān)系2211 2 cos12sin1122jjijjjjNvijN馬氏過程的特征值馬氏過程的特征向量其中是一個(gè)超越方程的根。4 DCT與K-L變換的關(guān)系l2）當(dāng)概率趨近為1時(shí),0,1212cos2ii jvNivjNN要點(diǎn)總結(jié)l1）特征值和特征向量的定義；l2）協(xié)方差矩陣和主分量分析法；l3）一維K-L變換和二維K-L變換性質(zhì)及圖像壓縮后誤差分析；l4）矩陣展開的定義；l5）奇異值分解SVD。上機(jī)實(shí)習(xí)l1）特征值與特征向量分解函數(shù)1)1210.372323201215.37232),1210.372300232000121005.37230.54180.70710.45440.642600.76620.54180.70710.4544Eeig XXEV Deig XXVVDXDV 如，則，滿足如，則上機(jī)實(shí)習(xí)l2）奇異值分解函數(shù)1)1215.37232320.3723