空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)知識要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間

2、任意兩個向量、（），/存在實(shí)數(shù)，使。4. 共面向量 （1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系： （1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

3、，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示。（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若，則， ， 。若，則。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。（4）模長公式：若，則，（5）夾角公式：。（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則，或 7. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記

4、作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：。（交換律）。（分配律）。（6）：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，則(1) ； (2) ；(3) (R)； (4) ·；2.設(shè)A，B，則= .3、設(shè)，則； .4.夾角公式 設(shè)，則.5異面直線所成角=.6平面外一點(diǎn)到平面的距離 已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，到平面的距離為：【典型例題】例1. 已知平行六面體ABCD，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。； ； ； 。例2. 對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式： （其中）的四點(diǎn)是否共面

5、？ 例3. 已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量。例4. 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如易錯寫成，切記！例5. 長方體中，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求長方體的高?？臻g向量與立體幾何練習(xí)題一、選擇題1.如圖，棱長為的正方體在空間直角坐標(biāo)系中，若分別是中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（ ）A. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B.C. D.圖2如圖，ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是（ ）A BCD圖3.在四棱錐中，底面是正方形，為中點(diǎn)，若，則（ ）A. B.C. D

6、.二、填空題4.若點(diǎn),且,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_.5在正方體中，直線與平面夾角的余弦值為_.三、解答題1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB1與底面ABCD所成的角為，（1）求證（2）求二面角的正切值2在三棱錐中，, 是中點(diǎn),點(diǎn)在上,且,(1)求證：；(2)求直線與夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離的值.3在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90°，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD與底面成30°角（1）若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值4、已知棱長為1的正方體AC1，E、F分

7、別是B1C1、C1D的中點(diǎn)（1）求證：E、F、D、B共面；（2）求點(diǎn)A1到平面的BDEF的距離；（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角5、已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，求：（）D1E與平面BC1D所成角的大??；（）二面角DBC1C的大??；【模擬試題】1. 已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）； （2）； （3）。2. 已知平行四邊形ABCD，從平面外一點(diǎn)引向量。（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面。3. 如圖正方體中，求與所成角的余弦。4. 已知空間三點(diǎn)A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標(biāo)。5.已知平行六面體中，求的長。參考答案1. 解：如圖， （1）；（2）。；（3）。2. 解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，共面；