固體物理習題(1)

1、)2cos81cos87()(22kakamakE式中式中a為晶格常數。計算為晶格常數。計算: 1）電子在波矢）電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；的狀態(tài)時的速度；2）能帶底部和能帶頂部電子的有效質量）能帶底部和能帶頂部電子的有效質量5.1 設一維晶體的電子能帶可以寫成設一維晶體的電子能帶可以寫成解：電子在波矢解：電子在波矢k狀態(tài)時的速度狀態(tài)時的速度dkkdEkv)(1)()2sin41(sin)(kakamakv222/*kEm kakamm2cos21cos*0kmm2*akmm32*電子的有效質量電子的有效質量能帶底部能帶底部能帶頂部能帶頂部有效質量有效質量有效質量有效質量)2cos81cos8

2、7()(22kakamakE41241 128187222222kacosma)kacos(kacosma)k(E晶格常數為晶格常數為2.5 的一維晶格，當外加的一維晶格，當外加102 V/m和和107 V/m的電場時，分別估算電子自能帶底運動到能帶頂所需的電場時，分別估算電子自能帶底運動到能帶頂所需要的時間。要的時間。能帶底到能帶頂能帶底到能帶頂 k 的變化為的變化為 /a，所需時間，所需時間eEdtdkF 5.2解：解：電子倒空間里電子倒空間里 k 方向上勻速運動方向上勻速運動eEdtdks.aeEheE/adtdk/at81934101038 1001061106261051 2 E=1

3、00 V/ms.aeEht1371934101038 101061106261051 2 E=107 V/m5.3 試證在磁場中運動的布洛赫電子，在試證在磁場中運動的布洛赫電子，在k空間中軌跡空間中軌跡面積面積Sn和在和在r空間的軌跡面積空間的軌跡面積An之間的關系為之間的關系為解：在磁場中電子運動方程為解：在磁場中電子運動方程為BdtdrqBqVdtdk dr/qB/Bqdrdk nnSqBcA2nnSqBA2SI制制r/qBk所以電子在所以電子在k空間中軌跡面積空間中軌跡面積Sn和在和在r空間的軌跡面積空間的軌跡面積An之間有如下關系之間有如下關系nnSqBA25.4 （1）根據自由電子模

4、型計算）根據自由電子模型計算K的德的德哈斯哈斯-范阿范阿爾芬效應的周期爾芬效應的周期 (1/B)（2）對）對B=1T，在其實空間中電子運動軌跡的面積，在其實空間中電子運動軌跡的面積有多大？有多大？解：（解：（1）德德哈斯哈斯-范阿爾芬效應的震蕩周期為范阿爾芬效應的震蕩周期為FSqB 21SF為垂直于磁場方向和費米面的極值軌道面積為垂直于磁場方向和費米面的極值軌道面積在自由電子模型下，費米面為球面，即在自由電子模型下，費米面為球面，即 FFFmEqm/kmqkqB 22221222FFkS 3123/FVNk K為單價為單價Bcc金屬，金屬，n=N/V=2/a3，a=5.2，221FkqB 31

5、23/FVNk 191031323121057102593 63 m.aVNk/F14182341921045 10571005511061221 T.kqBF（2）由）由5.3題有題有k空間軌跡面積空間軌跡面積Sn與與r空間軌跡面積關系空間軌跡面積關系nnSqBA2191057 m.kF 22092107711057 m.kSFn則當則當B=1T，在真實空間中運動軌跡面積為，在真實空間中運動軌跡面積為2102021934105971077111061100551m.An 因而該效應只能在低溫純凈樣品中才可能觀察到因而該效應只能在低溫純凈樣品中才可能觀察到323222221212222)(mk

6、mkmkkE,*mqB232221321*mmmmmmm外加磁場外加磁場B相對于橢球主軸方向余弦為相對于橢球主軸方向余弦為1) 寫出電子的準經典運動方程寫出電子的準經典運動方程2) 證明電子繞磁場回轉頻率為證明電子繞磁場回轉頻率為其中其中5.5 設電子等能面為橢球設電子等能面為橢球解解 恒定磁場中電子運動的基本方程恒定磁場中電子運動的基本方程( )dkqv kBdt )(1)(kEkvk323222221212222)(mkmkmkkE123123( )kEEEE kkkkkkk222123123123( )kkkkE kkkkmmm電子的速度電子的速度電子能量電子能量電子的速度電子的速度12

7、3123123( )kkkv kkkkmmmBkvqdtkd)(123kkk123123123123()()dkkkkqBkkkkkkdtmmm 磁感應強度磁感應強度代入電子運動方程代入電子運動方程123()BB kkk應用關系應用關系電子運動方程電子運動方程)()()(221131133233221mkmkqBdtdkmkmkqBdtdkmkmkqBdtdk0)(0)(0)(221131133233221mkmkqBdtdkmkmkqBdtdkmkmkqBdtdk123123123123()()dkkkkqBkkkkkkdtmmm 令令tititiekkekkekk033022011,000

8、022011030110330203302201kmqBkmqBkikmqBkmqBkikmqBkmqBki0)(0)(0)(221131133233221mkmkqBdtdkmkmkqBdtdkmkmkqBdtdk 有非零解，系數行列式為零有非零解，系數行列式為零030201,kkk0213132imqBmqBmqBimqBmqBmqBi000022011030110330203302201kmqBkmqBkikmqBkmqBkikmqBkmqBki0)()()(2312221223222mmqBmmqBmmqBi0)()()(2312221223222mmqBmmqBmmqBi無意義無意義

9、0231221232111mmmmmmqB321232221mmmmmmqB*mqB旋轉頻率旋轉頻率232221321*mmmmmmm其中其中)kkkkkk(cAk)k(Exzzyyx 2導出導出k = 0 點上的有效質量張量，并找出主軸方向。點上的有效質量張量，并找出主軸方向。5.6 若已知若已知)kkE()*m( 2211電子的倒有效質量電子的倒有效質量PA2cccA2cccA212設矩陣設矩陣P的本征值為的本征值為 ， 則則0222 AcccAcccA解得解得cAcA 222321)kkkkkk(cAk)k(Exzzyyx 2主軸的取法主軸的取法 ， 要求要求0zyxA2cccA2ccc

10、A2三個主軸方向可取為三個主軸方向可取為2116101121cA211131c2A2321，和，時，得到基，時，得到基k2ji61ji21,kji31，和，5.7 天體物理中的費米氣體天體物理中的費米氣體（a）已知太陽質量）已知太陽質量Ms=21030 kg，試估計太陽中的，試估計太陽中的電子數。如在白矮星中可離化出同樣多的電子，電子數。如在白矮星中可離化出同樣多的電子，把它們限制在半徑為把它們限制在半徑為2109 m的球中，求電子的球中，求電子的費米能的費米能（b）在相對論極限下）在相對論極限下e emc2，電子能量與波矢的關，電子能量與波矢的關系為系為e e Pc= kc，證明在此極限內費

11、米能近似為，證明在此極限內費米能近似為e eF=3 c(N/V)1/3（c）若上述數目電子限制在半徑為）若上述數目電子限制在半徑為10 km的脈沖星中，的脈沖星中，證明費米能約為證明費米能約為108 eV。利用這個數值說明為什。利用這個數值說明為什么可以認為脈沖星主要是由中子而不是電子和么可以認為脈沖星主要是由中子而不是電子和質子組成的質子組成的解：（解：（a）估計太陽中的質子數）估計太陽中的質子數N，令，令Na表示太陽的原子表示太陽的原子總數，總數，Z為平均原子序數，則為平均原子序數，則ZNNa 太陽質量為太陽質量為 mZmNMeaS me為電子質量，為電子質量，m為平均原子核的質量為平均原

12、子核的質量m可近似取核中質子質量的可近似取核中質子質量的2倍，即倍，即pZmm2 其中其中mp為質子質量為質子質量 ppapeaSNmZmNZmZmNM222 太陽中電子數約為太陽中電子數約為56273010061067121022 .mMNpS561006 .N如在白矮星中可離化出同樣多的電子，把它們限制如在白矮星中可離化出同樣多的電子，把它們限制在半徑為在半徑為2107 m的球中，電子的費米波矢為的球中，電子的費米波矢為 eV.J.mkeFF415312122342210521004 1011921080901005512 e e 11231375631332210809010241006

13、9 493433 m.RN/RNVNk/F費米能為費米能為（b）電子能量隨電子氣體密度增加而增加，當電子能量）電子能量隨電子氣體密度增加而增加，當電子能量比比mc2大得多時，成為超電子相對論電子氣體。這時電子大得多時，成為超電子相對論電子氣體。這時電子的能量和動量關系為的能量和動量關系為kccp e e對于量子態(tài)數和費米波矢對于量子態(tài)數和費米波矢kF來說，仍假設和非相對論電來說，仍假設和非相對論電子氣體一樣子氣體一樣此時費米能等于此時費米能等于 31313123123 33/FFV/NcVNcVNckc e e11231310809049 m.RNk/F得證得證將太陽中電子限制在半徑為將太陽中電子限制在半徑為10 km的脈沖星中，的脈沖星中，費米能為費米能為561006 .N即費米能約為即費米能約為108 eV量級。量級。 eV.J.V/Nc/F81131125634831101310974103410610055110333 e e 因而可以認為脈沖星主要是由中子而不是電子和質因而可以