數(shù)學(xué)分析-第十二章-課件-函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、1 函數(shù)序列的一致收斂概念函數(shù)序列的一致收斂概念例例1 1 2( )1nnxfxnx2lim( )lim1nnnnxfxnx2lim( ),(,)11 nxxf xxxnn解：解： 例例2 2 ( ) nnfxx0111lim( )lim1,1 nnnnxxfxxxx，不存在,0,11lim( )( )1,1 nnxfxf xx解：解： 故故 ( )f x連續(xù)，但卻不連續(xù)連續(xù)，但卻不連續(xù)( )nfx例例3 3 2( )1nnnxfxx0,0,1lim( )( )1,12 nnxxfxf xx解：解： ( )f x連續(xù)，但卻不連續(xù)連續(xù)，但卻不連續(xù)( )nfx（一）概念（一）概念 函數(shù)序列一致收斂

2、函數(shù)序列一致收斂 定義定義 ( )nfxxX設(shè)，是一函數(shù)序列，0( )N 若對，存在僅與 有關(guān)的正整數(shù)，( )nN當(dāng)時(shí)，|( )( )|nfxf x xX對一切成立，( )nfx則稱在X上一致( ),f x收斂于( )( ).nf xf x記為：X( ),f x或均勻收斂于一致收斂的等價(jià)敘述一致收斂的等價(jià)敘述nnxXsup | f ( x )f ( x )| ( )0() nnfxn則在X上一致收斂 函數(shù)函數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級數(shù)一致收斂級數(shù)一致收斂 定義定義1( )nnuxxD對于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，1( )( )nnknkSxuSxD令，如果在 上一致收( )S x斂于，則稱1( )nnuxD級數(shù)在 上一致收。

3、斂于)(xS（二）幾何描述（二）幾何描述0( )N 對，存在僅與 有關(guān)的正整數(shù)，( )nN當(dāng)時(shí)，( )nnyfxxX函數(shù)，的圖象都落在帶狀區(qū)域( , )/,( )( )x yxX f xyf x 之中。xyo)(xSy )(xSy)(xSy)(xSyn（三）內(nèi)閉一致收斂（三）內(nèi)閉一致收斂 概念概念 定義定義 , a bD若對于任意給定的閉區(qū)間，( ) , ( ),nSxa bS x函數(shù)序列在上一致收斂于( )( )nSxDS x則稱在 上內(nèi)閉一致收斂于。 性質(zhì)性質(zhì) D函數(shù)序列在 上一致收斂D函數(shù)列在 上內(nèi)閉一致收斂。？例例4 4考慮例考慮例1. 1. 2( ),0,11nnxfxxnxlim(

4、 )( )nnfxf xx解：解： 3222,0,111nxxxxxnxnxn由于由于 ( )nfx則在則在0,10,1一致收斂于一致收斂于 x例例5. 5. 證明證明: :22( ),(,)1 nxfxxn x在一致收斂lim( )( )0nnfxf x解：解： 221( )0,(,)12 nxfxxn xn由于由于 ( )nfx則在則在 一致收斂于一致收斂于 0(,) 例例6. 6. 證明證明1( ),0, ,20,1)nnfxx在一致收斂但不一致收斂例例7. 7.證明證明: :22( ),(,)1,(,) nnxfxn x在每一點(diǎn)都收斂到0 但在不一致收斂定理定理12.112.1若函數(shù)列

5、若函數(shù)列 每一項(xiàng)每一項(xiàng) 在在 a, , b 連續(xù)連續(xù)( )nfx( )nfx且在且在 a, , b 一致收斂于一致收斂于 ，則，則( )f x( )nfx在在 a, , b 連續(xù)。連續(xù)。( )f x定理定理12.212.2若函數(shù)列若函數(shù)列 每一項(xiàng)每一項(xiàng) 在在 a, , b 連續(xù)連續(xù)( )nfx( )nfx且在且在 a, , b 一致收斂于一致收斂于 ，則，則( )f x( )nfx( )lim( )bbnaanf x dxfx dx即即lim( )lim( )bbnnaannfx dxfx dx下面的例下面的例8 8說明在定理說明在定理12.212.2一致收斂的條件不能少一致收斂的條件不能少

6、例例8 8 221,0212( )(),20,1nn xxnfxnxxnnnxn lim( )( )0nnfxf x解： ( )nfx在每個(gè)在每個(gè)x連續(xù)，但連續(xù)，但 卻不一致收斂于卻不一致收斂于0 0( )nfx而 1100lim( )( )nnfx dxf x dx定理定理12.312.3若函數(shù)列在若函數(shù)列在a, ba, b逐點(diǎn)收斂于逐點(diǎn)收斂于( )nfx( )f x而在而在 a, , b 連續(xù)，且連續(xù)，且 一致收斂于一致收斂于 ( )( ) fxx( )nfx則則 在在 a, , b 可微，且可微，且( )f x( )nfx( ) x即即(lim( )lim( ) nnnnfxfx2 2函

7、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性及其判別法例例1 1求的收斂域與和函數(shù)求的收斂域與和函數(shù)0nnx011( )(,1)11nnknkxSxxnxxx 故收斂域?yàn)椋ü适諗坑驗(yàn)椋?1,1-1,1）解：解： 220( 1)( !)2kknxk例例2 2求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域：求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域： 22(1)212( )1( !)2( )(1)!21nnnnuxxnuxnx2210 ()(1)2xnn 故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)?(,) 解：解： 函數(shù)函數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級數(shù)一致收斂級數(shù)一致收斂 定義定義1( )nnuxxD對于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，1( )( )nnknkSxuSxD令，如果在 上一致收( )S x斂于，則稱1( )nnux

8、D級數(shù)在 上一致收。斂于)(xS一、一致收斂的判別一、一致收斂的判別（一）（一）CauchyCauchy收斂原理收斂原理定理定理 12.412.40( )NN 對于，使得對于一切1( )nnuxD級數(shù)在 上一致收斂12nnu p|u( x )u( x )u( x )|nNp，,有1|( )|.n pkk nux 定理定理 12.412.4中當(dāng)中當(dāng) p = 1 = 1 時(shí)得到時(shí)得到: :定理定理 12.512.51( )nnux級數(shù)在X上一致收斂( )nux函數(shù)序列收斂在X一致收斂于0（二）（二）Weierstrass(Weierstrass(MM-) -)判別法判別法定理定理 2 21( )n

9、nuxxD設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，的一般( )nux項(xiàng)滿足,| )(|Dxaxunn，1nna并且級數(shù)收斂，1( )nnuxD則在 上一致收斂。例例6 6 求求 在一致收斂在一致收斂0nnx1 12 2，例例7 7證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在一致收斂一致收斂 21sinnnxn(,) 例例8 8證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在一致收斂一致收斂 231nxxn(,) （ 三三 ） A-DA-D判別法判別法定理定理 3 3若下列兩個(gè)條件之一滿足，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)1( )nAbelaxxDn（ ）判別法）對每一固定的關(guān)于1( )( )nnnax bxD在上一致收斂：為單調(diào)的，且( )naxD在 上一致

10、有界：，NnDxMxan,| )(|1( )nnbxD同時(shí)，在上一致收斂。例例11 11 已知已知 收斂，收斂，0，11nna證明在一致收斂證明在一致收斂1nnna xDxxaDirichletn對每一固定的判別法）（)(2為單調(diào)的，且關(guān)于n，上一致收斂于在0)(Dxan上一致有界：的部分和序列在同時(shí)，Dxbnn1)(.,| )(|1NnDxMxbnkk，例例9 9 求求 在在 一致收斂一致收斂0，1例例1010證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在一致收斂一致收斂 1sinnnxn( ,2 - ) 11( 1)nnnxn3 3和函數(shù)的分析性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)

11、（一）連續(xù)性質(zhì)（一）連續(xù)性質(zhì)Page-76Page-76：定理定理 1212.1 .1 ( )( )nnSxSx設(shè)函數(shù)序列的每一項(xiàng)， , , ( ),a ba bS x在連續(xù)，且在上一致收斂于( ) , S xa b則在也連續(xù)。00lim lim( )lim lim( )nnxx nnxxSxSx0 , xa b即對任意，有定理定理 12.912.9( )nnux設(shè)對每個(gè) ， , a b在連續(xù)， , a b 也連續(xù)。1( ) , ( )nnuxa bS x且在上一致收斂于，( )S x則在0 , xa b即對任意，有)(lim10 xunnxx).(lim10 xunnxx注注 1 1( )(

12、 ) )nnuxSx如果（或( , )a b在連續(xù)，連續(xù)。1( )( )( , )nnnuxSxa b只要（或在上內(nèi)閉( )( , )S xa b則也在( )S x一致收斂于，證明證明: :0( , )xa bab對，則存在。使),(0 x1( )( )( , )nnnuxSxa b由于（或在( ) ,S x 由定理12.9（定理12.1）得，在0( )S xx連續(xù)。故在 點(diǎn)連續(xù)。0( )( , )xS xa b由 點(diǎn)的任意性，故在連續(xù)。( )S x上內(nèi)閉一致收斂于，（二）積分定理（二）積分定理( )( )nnSxSx設(shè)函數(shù)序列的每一項(xiàng)， , , ( ),a ba bS x在連續(xù)，且在上一致收

13、斂于( ) , S xa b則在可積，且.)(lim)(lim)(bannbannbadxxSdxxSdxxSPage-76Page-76：定理定理 1212.2 .2 定理定理 12.1112.11( )nnux設(shè)對每個(gè) ， , a b在連續(xù)，1( ) , ( )nnuxa bS x且在上一致收斂于，1( )( ).bbnaanS x dxux dx（三）微分定理（三）微分定理( )nSx設(shè)函數(shù)序列滿足 , a b在連續(xù)可導(dǎo)；( )1,2,nSxn （）（）( ) , ( ),nSxa bx（）在上一致收斂于( ) , S xa b則在可導(dǎo)，且).(lim)(lim)(xSdxdxSdxdx

14、Sdxdnnnn( ) , nSxa b（）在上逐點(diǎn)收斂于( )S x ；Page-78Page-78：定理定理 1212.3 .3 定理定理 12.12 12.12 1( )nnux設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)滿足 , a b在連續(xù)可導(dǎo)；）（）, 2 , 1)(nxun1( ) , ( ),nnuxa bx（）在上一致收斂于( ) , S xa b則在可導(dǎo)，且. )()()(11nnnnxudxdxudxdxSdxd1( ) , nnuxa b（）在上逐點(diǎn)收斂于( )S x ；（四）（四）DiniDini定理定理定理定理 7 7( )nSx設(shè)函數(shù)序列 , a b在連續(xù)，）（）, 2 , 1)(nxSn ,

15、a b在上( )nSxn（）關(guān)于 單調(diào)，( )S x ，如果( ) , S xa b（）在連續(xù)，( ) , ( )nSxa bS x則在上一致收斂于。逐點(diǎn)收斂于定理定理 12.1012.101( )nnux設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) , a b在連續(xù)，）（）, 2 , 1)(nxun( )S x ，如果( ) , S xa b（）在連續(xù)，1( ) , ( )nnuxa bS x則在上一致收斂于。1 , ( )nnxa bux（）對每個(gè)固定的，為正項(xiàng)級數(shù)或負(fù)項(xiàng)級數(shù)， , a b在上逐點(diǎn)收斂于例例1 1 1( )arctannnfxxn1( )( )0,0,22nfxf xxn120,1( )( )11,12n

16、nnxxfxxxx( )( )fxx0,2( )nfx 因因 在在 不一致收斂。不一致收斂。 (1,)11( )xnxn例例2 2 在在 連續(xù)且任意次可導(dǎo)連續(xù)且任意次可導(dǎo)小結(jié) 函數(shù)序列的一致收斂概念 一致收斂及其判別法習(xí)題 (又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1時(shí)，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時(shí)當(dāng)q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級數(shù)發(fā)散 .其和為1、討論等比級數(shù)2). 若,1q,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)當(dāng)qaa

17、aaan 1) 1(因此nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時(shí), 等比級數(shù)收斂 ;1q時(shí), 等比級數(shù)發(fā)散 .則,級數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.2、 判別級數(shù)2211lnnn的斂散性 .解解: :211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級數(shù)收斂 , 其和為.2ln3 3、 討論 p 級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解:

18、: 1) 若, 1p因?yàn)閷σ磺?Zn而調(diào)和級數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: : 因?yàn)?) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散 .4 4、5、 證明級數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收斂 . 證證: : nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正數(shù) ,21對無論多么大的正數(shù) N ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101

19、xrN而因此級數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 . 補(bǔ)充題補(bǔ)充題1、研究級數(shù) ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在區(qū)間 0, +) 上的收斂性.解解: : 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx)(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余項(xiàng)的絕對值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任給 0, 取自然數(shù) ,11N則當(dāng)n N 時(shí)有)0()(xxrn這說明級數(shù)在 0, +) 上一致收斂于 .11)(xxS2 2、 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為),xxxf0,10,1)(解: 先求傅里里葉系數(shù)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里葉級數(shù). oyx11xnxx