第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用本章導(dǎo)航第七章中我們知道了多元函數(shù)的解析式對(duì)應(yīng)什么圖形，從這一章開(kāi)始，我們進(jìn)入討論多元函數(shù)的微積分問(wèn)題，首先討論多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，即多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用。想一想上冊(cè)討論一元函數(shù)微分時(shí)設(shè)計(jì)了哪些內(nèi)容呢？是不是第一章是一元函數(shù)的概念與極限（包括連續(xù)），第二章是導(dǎo)數(shù)與微分，第三章是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用呢？那么和一元函數(shù)的內(nèi)容相對(duì)應(yīng)的，第八章討論的內(nèi)容包括了多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）與微分（全微分），導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容。第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念本節(jié)導(dǎo)航本節(jié)內(nèi)容對(duì)應(yīng)于上冊(cè)的第一章，內(nèi)容涉及了多元函數(shù)的概念，多元函數(shù)的極限，多元函數(shù)的連續(xù)性，請(qǐng)先復(fù)習(xí)上冊(cè)的第一章，

2、再與之對(duì)照學(xué)習(xí)此節(jié)。內(nèi)容精講本節(jié)主要討論多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)。但教材因?yàn)槎嘣瘮?shù)概念中用到“點(diǎn)集”這一名詞，所以教材中的第一個(gè)大問(wèn)題是平面點(diǎn)集。我們?yōu)榱朔洗蠹业乃季S習(xí)慣，我們先從這節(jié)的重點(diǎn)多元函數(shù)的概念開(kāi)始。教材中有與多元函數(shù)的精確定義，我們不再重復(fù)，下面我們只是從與一元函數(shù)的比較中引入多元函數(shù)概念。其實(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，大家沒(méi)必要去死記多元函數(shù)的概念，我們則只需要理解概念并會(huì)應(yīng)用，這點(diǎn)是最重要的：能用你自己的語(yǔ)言說(shuō)出什么時(shí)多元函數(shù)，并能之處看到的一個(gè)表達(dá)式是不是多元函數(shù)。所有我們學(xué)習(xí)的知識(shí)都是如此，并不是看你死記住了就行了，而是看你能不能理解你所學(xué)的知識(shí)，你能不能用所學(xué)的知識(shí)。一、 多

3、元函數(shù)的基本概念1. 舉例引入多元函數(shù)首先，我們知道、中的變量都隨著變量變化而變化，我們說(shuō)它們是函數(shù)，是自變量，是因變量。因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)中的自變量都只有一個(gè)，所以從現(xiàn)在開(kāi)始，我們稱這兩個(gè)函數(shù)為“一元函數(shù)”。下面，我們會(huì)想一下上一章學(xué)的平面與曲面方程，比如：平面，也可變?yōu)?；曲面?，F(xiàn)在我們用函數(shù)的觀點(diǎn)看一下，這兩個(gè)表達(dá)式中變量都隨著變量和變化而變化，和是自變量，是因變量，因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)中的自變量都有兩個(gè)和，所以我們稱這兩個(gè)函數(shù)為“二元函數(shù)”。類似地，有三個(gè)自變量的函數(shù)稱為三元函數(shù)，等等，有個(gè)自變量的函數(shù)稱為元函數(shù)。由一元函數(shù)推廣到二元函數(shù)時(shí)，函數(shù)的性質(zhì)會(huì)有本質(zhì)的變化，而由二元函數(shù)推廣到三元與三元以

4、上的函數(shù)時(shí)，函數(shù)性質(zhì)不會(huì)發(fā)生本質(zhì)變化。所以，以后我們討論多元函數(shù)時(shí)以二元函數(shù)為主即可。2. 函數(shù)的兩個(gè)基本與要素與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的兩個(gè)基本要素也為定義域與對(duì)應(yīng)法則。我們遇到的的多元函數(shù)大都由一個(gè)數(shù)學(xué)解析式給出，所以對(duì)應(yīng)法則即由解析式確定，我們重點(diǎn)討論定義域。在教材p6第二段有如下約定：在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)時(shí)，就以是這個(gè)算是有意義的變?cè)闹邓M成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域。這里需要說(shuō)明，因?yàn)槲覀冇懻摱嘣瘮?shù)以二元函數(shù)為主要對(duì)象，所以我們舉幾個(gè)二元函數(shù)的例子，求其定義域：函數(shù)的定義域?yàn)椋缓瘮?shù)的定義域?yàn)檫@兩個(gè)二元函數(shù)的定義域都是平面上的點(diǎn)集，所以我們有必要研究平面點(diǎn)集，這

5、就是教材中的第一個(gè)大問(wèn)題“平面點(diǎn)集”并由此推廣到“維空間”的由來(lái)，這些我們留待第二個(gè)大問(wèn)題在討論。下面我們先討論二元函數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)，即它們的圖形。3. 二元函數(shù)的圖形回想上一章空間解析幾何中我們已經(jīng)討論了，比如二元函數(shù)的圖形是一個(gè)平面曲面，二元函數(shù)的圖形是橢圓拋物面。這些曲面在坐標(biāo)面上的投影即為二元函數(shù)的定義域。二、 平面點(diǎn)集 維空間上面再討論二元函數(shù)的定義域是我們說(shuō)道二元函數(shù)的定義域是平面點(diǎn)集，所以我們有必要討論平面點(diǎn)集。在平面點(diǎn)集中，為例討論二元函數(shù)的極限與連續(xù)，其中你非常常用就是一種特殊的平面點(diǎn)集“區(qū)域”，其實(shí)我們這個(gè)問(wèn)題最重要的名詞就是“區(qū)域”，而要說(shuō)清楚什么是“區(qū)域”，教材中進(jìn)行了

6、很長(zhǎng)的鋪墊，包括“鄰域”“內(nèi)點(diǎn)”“外點(diǎn)”“聚點(diǎn)”“開(kāi)集”“閉集”“連通集”等很多名詞。大家記住，其實(shí)這里最重要的就是知道什么是區(qū)域。1. 平面點(diǎn)集坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合稱為平面點(diǎn)集，就像我們上面的例子中二元函數(shù)的定義域就是一些平面點(diǎn)集。特別地，二元有序?qū)崝?shù)組的全體，即就表示坐標(biāo)平面。下面為了將平面點(diǎn)集進(jìn)行分類我們先討論鄰域的概念。鄰域上冊(cè)中我們已經(jīng)討論了鄰域概念，那時(shí)是針對(duì)一元函數(shù)討論的?；叵胍幌?，一元函數(shù)中什么叫鄰域？即點(diǎn)附近的那些點(diǎn)，這些點(diǎn)與點(diǎn)近到什么程度呢？近到與點(diǎn)的距離比要小的程度，用式子表達(dá)就是：，在幾何上表示數(shù)軸上以為中心，以為半徑的左右對(duì)稱的開(kāi)區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)。下面我們將一

7、元函數(shù)的鄰域概念推廣到二元函數(shù)的鄰域概念。點(diǎn)是平面上的一個(gè)點(diǎn)，則鄰域表示點(diǎn)附近的那些點(diǎn)，這些點(diǎn)與點(diǎn)近到什么程度呢？近到與點(diǎn)的距離比要小的程度，用式子表達(dá)就是：。在幾何上，就是平面上以點(diǎn)為中心，為半徑的圓內(nèi)部的點(diǎn)的全體。與上冊(cè)中鄰域的幾何表示比較一下，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的鄰域中的點(diǎn)在“面”上，而原來(lái)的點(diǎn)在“線”上。有了鄰域概念，下面根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系，可以將點(diǎn)分為三種內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)與邊界點(diǎn)閱讀教材p2圖8-1左邊關(guān)于內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)與邊界點(diǎn)的定義，這里不再贅述。根據(jù)點(diǎn)集所屬點(diǎn)的特征，可以定義一些平面點(diǎn)集，其中最重要的就是區(qū)域。開(kāi)集、閉集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域、有界集與無(wú)界集閱讀教材p3關(guān)于開(kāi)集、

8、閉集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域、有界集與無(wú)界集的定義，這里不再贅述。設(shè) ，即 ，減法與數(shù)乘運(yùn)算有類似結(jié)果。請(qǐng)仔細(xì)閱讀教材p295-297頁(yè)上內(nèi)容與例2，例3，學(xué)習(xí)例3后面的注意。三、 向量的兩種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化 向量的模、方向角向量有兩種表示方法，第一種是向量由它的大小與方向確定；第二種是向量由它的坐標(biāo)確定。既然用這兩種表示方法都可以確定一個(gè)向量，那么這兩種表示方法之間應(yīng)該可以相互轉(zhuǎn)化。1 已知向量的坐標(biāo)求向量的大小與方向 向量的模 方向角設(shè)向量 求向量的大小 向量的模與兩點(diǎn)間的距離 請(qǐng)閱讀教材p297-298內(nèi)容并自己做例4、5、6 求向量的方向 方向角與方向余弦怎樣才能說(shuō)清楚空間中的一個(gè)

9、向量的方向呢？我們是通過(guò)說(shuō)明這個(gè)向量與三條坐標(biāo)軸的夾角來(lái)說(shuō)明它的方向的。要說(shuō)明向量與三臺(tái)條坐標(biāo)軸的夾角，首先要說(shuō)明什么是兩個(gè)向量的夾角。請(qǐng)閱讀教材p298倒數(shù)三段。教材中定義了向量與三條坐標(biāo)軸的夾角記為、稱為向量的方向角，知道了向量的方向角就知道了向量的方向。那么知道向量的坐標(biāo)，怎樣求向量的方向角呢？再觀察圖7-2，在直角三角形中，為直角，為向量與軸的夾角，為角的鄰邊，為角的斜邊，是有向線段的值，故在直角三角形中可知，直角三角形中，從而向量所對(duì)應(yīng)的單位向量為上式說(shuō)明（1）一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的單位向量的三個(gè)坐標(biāo)分別為這個(gè)向量的三個(gè)方向余弦，所以知道一個(gè)向量的坐標(biāo)，只需求出其單位向量確定方向余弦，進(jìn)而

10、求出方向角，這樣就確定了該向量的方向。（2）因?yàn)閱挝幌蛄康娜齻€(gè)坐標(biāo)是向量的方向余弦，所以2 已知向量的大小與方向求向量的坐標(biāo)已知向量的大小與方向，就是知道向量的模與方向余弦，于是四、 一個(gè)新角度去看向量的坐標(biāo)-向量在軸上的投影在日光燈的正下方有一條木棍OM，木棍與日光燈所在平面與地面相交得到一直線L,木棍在日光燈的照射下會(huì)在L上有一個(gè)影子ON.但是因?yàn)橐媹D才能說(shuō)明一條線段在一條直線上的影子，所以在運(yùn)算中很難應(yīng)用。我們知道，如果將影子和一個(gè)數(shù)建立起聯(lián)系，那么數(shù)可以不用畫圖就能表示與計(jì)算。怎樣用數(shù)說(shuō)明有向線段在一個(gè)軸上的影子呢？并且既能說(shuō)明影子的大小也能說(shuō)明影子的方向呢？如圖7-2所示，向量是一

11、條有向線段，考慮它在軸上的影子。用垂直于軸的光線去照射向量，則點(diǎn)在軸上的影子就是點(diǎn)，即點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)與軸垂直的平面與軸的交點(diǎn)，數(shù)學(xué)上我們將點(diǎn)稱為點(diǎn)在軸上的投影，于是向量在軸上的影子即為，即向量在軸上的影子是它在軸上的分向量。下面的問(wèn)題就是如何將這個(gè)分向量用一個(gè)數(shù)說(shuō)明？因?yàn)?，于是向量在軸上的影子與唯一的一個(gè)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，這樣向量在軸上的影子就可以用一個(gè)數(shù)表示，數(shù)學(xué)上我們將這個(gè)數(shù)稱為向量在軸上的投影，數(shù)的絕對(duì)值表示影子的長(zhǎng)短，數(shù)的正負(fù)號(hào)表示影子的方向是與軸正向同向還是反向。上面我們已經(jīng)知道數(shù)是向量的橫坐標(biāo)，現(xiàn)在知道數(shù)又是向量在軸上的投影，所以一個(gè)向量的橫坐標(biāo)就是這個(gè)向量在軸上的投影。請(qǐng)閱讀教材p300內(nèi)容

12、并自己做例9.要點(diǎn)回顧重新閱讀本節(jié)教材內(nèi)容，運(yùn)算律的推導(dǎo)可以不用看。先自己總結(jié)要點(diǎn)之后再與本書對(duì)照。1.空間點(diǎn)的坐標(biāo)，各卦限、坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)2.3.已知兩點(diǎn)和，則4.知大小與方向，求坐標(biāo)5.知坐標(biāo)，求大小與方向 大小 方向 6.知向量坐標(biāo)，就可求出任意兩向量的和、差及數(shù)與向量的乘積 見(jiàn)教材p296上公式 由數(shù)與向量的乘積可得判斷兩向量平行的方法：兩向量平行它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例7.一個(gè)新角度看向量的坐標(biāo)：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別是該向量在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影必做習(xí)題1.例題自己做一遍教材中本節(jié)的例題，不一定全仔細(xì)做，但要保證每道題能快速正確做出來(lái)2. 基本題（必須會(huì)的題） 類型一： 向量運(yùn)算律、利用圖形進(jìn)行向量的運(yùn)算 1,2,3；類型二：空間直角坐標(biāo)系中各種點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)6，7，8，9，10，11；類型三：利用坐標(biāo)進(jìn)行向量的運(yùn)算4，5，12，13，14，15， 17，18，193.中等難