第二章 2.1.2 第2課時

1、第2課時橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進一步鞏固橢圓的幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓位置關(guān)系等相關(guān)知識知識點一點與橢圓的位置關(guān)系思考類比點與圓的位置關(guān)系的判定，你能給出點P(x0，y0)與橢圓1(a>b>0)的位置關(guān)系的判定嗎？答案當(dāng)P在橢圓外時，>1；當(dāng)P在橢圓上時，1；當(dāng)P在橢圓內(nèi)時，<1.梳理設(shè)P(x0，y0)，橢圓1(a>b>0)，則點P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外>1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)<1知識點二直線與橢圓的位置關(guān)系思考直線與橢圓有幾種位置關(guān)系？如何判斷？答案有三種位置關(guān)系，分別是相交、相切、相離可以通過直

2、線與橢圓的公共點的個數(shù)判斷梳理直線ykxm與橢圓1的位置關(guān)系的判定聯(lián)立消去y得關(guān)于x的一元二次方程.位置關(guān)系解的個數(shù)的取值相交兩解>0相切一解0相離無解<0知識點三直線與橢圓的相交弦思考若直線與橢圓相交，如何求相交弦弦長？答案有兩種方法：一種方法是聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出交點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式可求得，另一種方法是利用弦長公式可求得梳理弦長公式：(1)|AB|x1x2|；(2)|AB| |y1y2| (直線與橢圓的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，k為直線的斜率)其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x后得到關(guān)于x或y

3、的一元二次方程得到(1)點與橢圓的位置關(guān)系有且僅有三種()(2)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C有且只有一個公共點()類型一直線與橢圓的位置關(guān)系命題角度1直線與橢圓位置關(guān)系判斷例1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系是()A相交 B相切 C相離 D不確定考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的公共點的個數(shù)問題答案A解析直線ykxk1k(x1)1過定點(1,1)，且該點在橢圓內(nèi)部，因此必與橢圓相交反思與感悟直線與橢圓的位置關(guān)系判別方法(代數(shù)法)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程：(1)>0直線與橢圓相交有兩個公共點(2)0直線與橢圓相切有且只有一個公共點(3)<0直線

4、與橢圓相離無公共點跟蹤訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.求k的取值范圍考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的公共點的個數(shù)問題解由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21.整理得x22kx10.直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k244k220，解得k或k.即k的取值范圍為.命題角度2距離的最值問題例2在橢圓1上求一點P，使它到直線l：3x2y160的距離最短，并求出最短距離考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點距離的最值問題解設(shè)與橢圓相切并與l平行的直線方程為yxm，代入1，并整理得4x23mxm270，9m2

5、16(m27)0m216m±4，故兩切線方程為yx4和yx4，由圖可知yx4距l(xiāng)最近，故最短距離d，P點為切點，即P.反思與感悟解此類問題的常規(guī)解法是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x得到關(guān)于x或y的一元二次方程，則(1)直線與橢圓相交>0；(2)直線與橢圓相切0；(3)直線與橢圓相離<0，所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，方程及其判別式是最基本的工具跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓1，直線l：4x5y400.橢圓上是否存在一點，它到直線l的距離最??？最小距離是多少？考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點距離的最值問題解如圖，由直線l的方程與橢圓的方程可知，直線l與橢圓不相交設(shè)直線m平行于直線l，則

6、直線m的方程可以寫成4x5yk0.由方程組消去y，得25x28kxk22250.令方程的根的判別式0，得64k24×25×(k2225)0.解方程得k125或k225.由圖可知，當(dāng)k25時，直線m與橢圓的交點到直線l的距離最近，此時直線m的方程為4x5y250.直線m與直線l間的距離d.所以，最小距離是.類型二弦長與中點弦問題例3已知橢圓1和點P(4,2)，直線l經(jīng)過點P且與橢圓交于A，B兩點(1)當(dāng)直線l的斜率為時，求線段AB的長度；(2)當(dāng)P點恰好為線段AB的中點時，求l的方程考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點中點弦問題解(1)由已知可得直線l的方程為y2(x4)，即yx.由

7、消去y，可得x2180，若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x20，x1x218.于是|AB| ×63.所以線段AB的長度為3.(2)方法一當(dāng)直線l的斜率不存在時，不合題意所以直線l的斜率存在設(shè)l的斜率為k，則其方程為y2k(x4)聯(lián)立消去y，得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若設(shè)A(x3，y3)，B(x4，y4)，則x3x4，由于AB的中點恰好為P(4,2)，所以4，解得k，且滿足>0.這時直線的方程為y2(x4)，即x2y80.方法二設(shè)A(x3，y3)，B(x4，y4)，則有兩式相減得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中點，x1

8、x28，y1y24，于是kAB，于是直線AB的方程為y2(x4)，即x2y80.引申探究若P(4,2)恰是直線l：x2y80被橢圓1(ab0)所截弦AB的中點，求該橢圓的離心率解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，kAB，a24b2.又c2a2b23b2，e2，e.反思與感悟處理直線與橢圓相交的關(guān)系問題的通法是通過解直線與橢圓構(gòu)成的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系或中點坐標(biāo)公式解決，涉及弦的中點，還可使用點差法：設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點與斜率的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓ax2by21(a>0，b>0且ab)與直線xy10相交于A，B兩點，C是AB的中點，

9、若|AB|2，OC的斜率為，求橢圓的方程考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點中點弦問題解方法一設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B為直線xy10上的點，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直線xy10的斜率k1.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.聯(lián)立ax2by21與xy10，消去y，得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224·.將ba代入式，解得a，b.所求橢圓的方程是1.方法二由得(

10、ab)x22bxb10.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，且直線AB的斜率k1，|AB|·.|AB|2，2，1.設(shè)C(x，y)，則x，y1x.OC的斜率為，將其代入式得，a，b.所求橢圓的方程為1.類型三橢圓中的最值(或范圍)問題例4已知橢圓4x2y21及直線yxm.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點橢圓中的最值問題解(1)由消去y，得5x22mxm210，因為直線與橢圓有公共點， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩

11、點，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以當(dāng)m0時，|AB|最大，此時直線方程為yx.引申探究在例4中，設(shè)直線與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求AOB面積的最大值及AOB面積最大時的直線方程解可求得O到AB的距離d，又|AB|，SAOB|AB|·d·· ·，當(dāng)且僅當(dāng)m2m2時，上式取“”，此時m±.所求直線方程為xy±0.反思與感悟解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等解決這類問題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)

12、化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件跟蹤訓(xùn)練4若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為_考點橢圓的幾何性質(zhì)題點橢圓的范圍的簡單應(yīng)用答案6解析由橢圓方程得F(1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則·(x0，y0)·(x01，y0)xx0y.P為橢圓上一點，1.·xx03x03(x02)22.2x02，·的最大值在x02時取得，且最大值等于6.1點A(a,1)在橢圓1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()Aa Ba或aC

13、2a2 D1a1考點橢圓的幾何性質(zhì)題點點與橢圓的位置關(guān)系答案A解析由題意知1，解得a.2若直線yx與橢圓x21(m>0且m1)只有一個公共點，則該橢圓的長軸長為()A1 B. C2 D2考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓公共點的個數(shù)問題答案D解析聯(lián)立消去y，得(m21)x22x6m20，(2)24(m21)(6m2)0，即4m2(m25)0，m>0且m1，m，故選D.3設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓y21的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P，Q兩點，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時，·的值等于()A0 B2 C4 D2考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點弦長與三角形面積答案D解析

14、由題意，得c，又22××|F1F2|·h(h為F1F2邊上的高)，當(dāng)hb1時，取最大值，此時F1PF2120°.·|·|·cos 120°2×2×2.4過點P(1,1)的直線交橢圓1于A，B兩點，若線段AB的中點恰為點P，則AB所在的直線方程為_考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點中點弦問題答案x2y30解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又兩式相減得.AB所在的直線方程為x2y30.5直線l：ykx1與橢圓y21交于M，N兩點，且|MN|，求直線l的方程考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點求橢圓中的直

15、線方程解設(shè)直線l與橢圓的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化簡，得(12k2)x24kx0，16k20，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化簡得k4k220，所以k21，所以k±1.所以所求直線l的方程是yx1或yx1.1直線與橢圓相交弦長的有關(guān)問題(1)當(dāng)弦的兩端點的坐標(biāo)易求時，可直接求出交點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式求弦長(2)當(dāng)弦的兩端點的坐標(biāo)不易求時，可用弦長公式設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則有|AB| 

16、3; ·(k為直線斜率)(3)如果直線方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情況2解決橢圓中點弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決(2)點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系特別提醒：利用公式計算弦長時，要注意這兩個公式的區(qū)別，切勿記錯一、選擇題1橢圓1上的點P到橢圓左焦點的最大距離和最小距離分別是()A8,2 B5,4 C5,1 D9,1考點橢圓的幾何性質(zhì)題點橢圓的范圍的簡單應(yīng)用答案D解析因為a5，c4，所以最大距離為a

17、c9，最小距離為ac1.2已知點(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍是()A42，42 B4，4C42，42 D4，4考點橢圓的幾何性質(zhì)題點橢圓的范圍的簡單應(yīng)用答案A解析方程可化為1，故橢圓焦點在y軸上，又a2，b，所以m，故422m424.3直線ykx1與橢圓1總有公共點，則m的取值范圍是()Am>1 Bm1或0<m<1C0<m<5且m1 Dm1且m5考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓公共點的個數(shù)問題答案D解析直線ykx1恒過(0,1)點，且直線與橢圓總有公共點，則點(0,1)在橢圓上或內(nèi)部，即1，得m1，又m5，所以選D.4直線y1被橢圓

18、1截得的線段長為()A4 B3 C2 D.考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點弦長與三角形面積答案C5若直線axby40和圓x2y24沒有公共點，則過點(a，b)的直線與橢圓1的公共點個數(shù)為()A0 B1C2 D需根據(jù)a，b的取值來確定考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓公共點的個數(shù)問題答案C解析直線與圓沒有交點，d >2，a2b2<4，即<1，<1，點(a，b)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓有2個交點6已知橢圓x22y24，則以(1,1)為中點的弦的長度是()A3 B2 C. D.考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點中點弦問題答案C解析設(shè)以(1,1)為中點的弦的兩端為A(x1，y1)，B

19、(x2，y2)，可得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，又，所在直線方程為y1(x1)，即yx，由得3x26x10，x1x22，x1x2.|AB| ××.二、填空題7直線ya與橢圓1恒有兩個不同的交點，則a的取值范圍是_考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓公共點的個數(shù)問題答案(2,2)解析如圖，2<a<2.8如圖，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率為_考點橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點求橢圓的離心率答案1解析由直線方程y(xc)，得直

20、線與x軸的夾角MF1F2，且過點F1(c,0)MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，|F1F2|2c，|F1M|c，|F2M|c，由橢圓定義可得2acc，離心率e1.9過橢圓1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為原點，則OAB的面積為_考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點弦長與三角形面積答案解析直線方程為y2x2，與橢圓方程1聯(lián)立，可以解得A(0，2)，B，SOAB|OF|·|yAyB|(也可以用設(shè)而不求的方法求弦長|AB|，再求出點O到AB的距離，進而求出AOB的面積)10若橢圓mx2ny21(m>0，n>0)與直

21、線xy10交于A，B兩點，若，則過原點與線段AB的中點M的連線的斜率為_考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點中點弦問題答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，即·0.1，kOM.三、解答題11已知點A，B是橢圓C：1(a>0，b>0)與直線x3y20的交點，點M是AB的中點，且點M的橫坐標(biāo)為，若橢圓C的焦距為8，求橢圓C的方程考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點中點弦問題解設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，依題意得kAB0，點M，×0，a23b2.又c4，a224，b28，經(jīng)檢驗，a224，

22、b28符合題意，橢圓C的方程為1.12已知橢圓C的兩個焦點分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，短軸的兩個端點分別為B1，B2.(1)若F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的短軸長為2，過點F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且，求直線l的方程考點橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點由橢圓的幾何性質(zhì)求方程解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)根據(jù)題意知解得a2，b2.故橢圓C的方程為1.(2)容易求得橢圓C的方程為y21.當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x1，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)由消去y，得(2k21)x24k2x2(k21)0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因為，所以·0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k±.故直線l的方程為xy10或xy10.13橢圓1(a>b>0)與直線xy10相交于P，Q兩點，且(O為坐標(biāo)原點)(1)求證：等于定值；(2)若橢圓的離心率e，求橢圓長軸長的取值范圍考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓