第一類曲線積分的計(jì)算

1、21.1 第一類曲線積分的計(jì)算1.定義 定積分研究的是定義在直線段上函數(shù)的積分本節(jié)將研究定義在平面曲線或空間曲線段上函數(shù)的積分定義1 設(shè)為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段，為定義在上的函數(shù)對(duì)曲線作分割T，它把分成n個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段，的弧長(zhǎng)記為，分割T的細(xì)度為，在上任取一點(diǎn)(,若存在極限且的值與分割T及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則稱此極限為在上的第一型曲線積分，記作 （1）定義2 若為空間可求長(zhǎng)曲線段，為定義在上的函數(shù)，則可類似地定義在空間曲線上的第一型曲線積分為，(此處為的弧長(zhǎng),為一常數(shù)),并且記作 （2） 2.物理意義1) 設(shè)某物體的密度函數(shù)f（P）是定義在上的連續(xù)函數(shù)當(dāng)是直線段時(shí)，應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體

2、的質(zhì)量，現(xiàn)在研究當(dāng)是平面上某一可求長(zhǎng)度的曲線段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問(wèn)題首先對(duì)作分割,把分成n個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段（i=1，2，n)，并在每一個(gè)上任取一點(diǎn)P由于f（P）為上的連續(xù)函數(shù),故當(dāng)?shù)幕￠L(zhǎng)都很小時(shí)，每一小段的質(zhì)量可近似地等于f（P）,其中為小曲線段的長(zhǎng)度.于是在整個(gè)上的質(zhì)量就近似地等于和式 當(dāng)對(duì)的分割越來(lái)越細(xì)密(即)時(shí),上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量2)空間曲線L的重心坐標(biāo)為, , 3) 曲線L的繞z軸(x, y軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是3.幾何意義 1) 當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí), 積分的值恰為曲線的長(zhǎng)度. 2) 當(dāng)表示以L為準(zhǔn)線，以平行于z軸的線為母線的曲柱面的面積。4 性質(zhì)第一型曲線積分具有下述一些重

3、要性質(zhì): 1)若存在，為常數(shù)，則也存在，且 2)若曲線段由曲線首尾相接而成，且都存在，則也存在，且3)若與都存在，且在上則 4)若存在，則也存在，且 5)若存在，的弧長(zhǎng)為s，則存在常數(shù)c,使得這里5 第一型曲線積分的計(jì)算定理1設(shè)有光滑曲線：函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則（3）證明：由弧長(zhǎng)公式知道，上由到的弧長(zhǎng)由的連續(xù)性與積分中值定理，有所以這里設(shè)則有 （4）令則當(dāng)時(shí)，必有現(xiàn)在證明 因?yàn)閺?fù)合函數(shù)關(guān)于t連續(xù)，所以在閉區(qū)間上有界，即存在常數(shù)M,使對(duì)一切都有再由在上連續(xù)，所以它在上一致連續(xù)，即對(duì)任給的必存在使當(dāng)時(shí)（此時(shí)，而所以）有從而 所以再由定積分定義(一般定積分的定義），可得=因此當(dāng)在(4)式兩邊取

4、極限后，即得所要證的(3)式注：1）光滑曲線：若曲線滿足在上都存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，這時(shí)稱為光滑曲線 2）該定理說(shuō)明第一型曲線積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)換為定積分進(jìn)行計(jì)算.定理2當(dāng)曲線由方程給出，且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí)， (5)定理3 當(dāng)曲線由方程給出，且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí), (6) 例1設(shè)是半圓周試計(jì)算第一型曲線積分解: . 例2設(shè)是從到A(1,2)一段,試計(jì)算第一型曲線積分解:定理4設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則。 證明 仿照定理1，或者參考教材。定理5設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則可化為以x為參數(shù)的參數(shù)方程。然后化為定理4的形式。定理6設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則在一定的條件下可化為以z為參數(shù)的參數(shù)方程，再化為定理4的形式。例3 計(jì)算，其中為球面被平面所截得的圓周.解 由對(duì)稱性知所以例4 求，其中是球面與平面的交線。解法1 注:解法1技巧性強(qiáng)，而不必化為定積分。解法2 求曲線的參數(shù)方程。由，消去，得即 令，則于是得到兩組參數(shù)方程我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和都具有輪換對(duì)稱性，則注:解法2