第3章條件極值問題的變分法(16K)

1、第3章 條件極值問題的變分法§3.1 函數(shù)的條件極值問題，拉格朗日乘子這里讓我們概要的說明在給定的約束條件下，函數(shù)的極值問題。這類附帶約束條件的極值問題，稱為函數(shù)或泛函的條件極值問題。對于一個函數(shù)，如，其絕對極小值是根據(jù)下面條件求得，（3-1）解（3-1）式，可以求出相應(yīng)的解，將與代入函數(shù)則可獲得函數(shù)的絕對極小（極大）值。如果我們給定一約束條件，則表示在給定的約束條件的情形下，求的極值。顯然，這種帶有約束條件下求極值，相當(dāng)于把所求范圍縮小了，如果存在有極值的話，那么，這個極值不是絕對極小（或極大）值，而是相對值，它總大于（或等于）無條件時的極小值，或總小于（或等于）無條件時的極大值。

2、對這類條件極值問題，一般多利用所謂的拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法可以如此理解，的極值條件可以寫成（3-2）約束條件可以寫成（3-3）因此（3-2）式中的,不是獨立的，而是由（3-3）式的微分關(guān)系式（3-4）連系著的。假定，解（3-4）式，得（3-5）而（3-2）式可化為（3-6）于是把（3-6）式與（3-3）式連在一起，是求解極值點的兩個方程式。如果用拉格朗日乘子法，可構(gòu)造以下函數(shù)，如（3-7）式中稱為拉格朗日乘子。的極值條件為（3-8）這里把都看作是獨立的任意變量，于是從（3-8）式可得到，（3-9）消去，得， （3-10）這與（3-3）式和（3-6）式完全相同，所以用拉格朗日乘子法與上面

3、介紹的方法是等價的。現(xiàn)在讓我們在約束條件（3-11）下求函數(shù)（3-12）的極值，其中。同樣可用拉格朗日乘子法，設(shè)拉格朗日乘子為，并用（3-13）把作為,的個獨立變量的函數(shù)，求其極值。（3-14）由于都是獨立變量，于是由，得（3-15）這是求解個變量的個方程。（3-15）式還可以通過以下方法求得。（3-12）式的變分極值要求（3-16）因為有（3-11）式的個約束條件，所以這些中只有個是獨立的。從（3-11）式的個約束條件可以求得下列微分條件（3-17）將（3-17）式乘以，與（3-16）式相加，得（3-18）這里的是任選的，如果我們選擇個待定的，使下面?zhèn)€條件（3-19）滿足，則（3-18）式就

4、可以寫成（3-20）這里是作為獨立量出現(xiàn)的，于是（3-21）將（3-19）、（3-21）及（3-11）式合在一起，即可得到（3-15）式的相同求解極值方程。這就證明了拉格朗日乘子法。§3.2 泛函在約束條件下的極值問題泛函的條件極值問題與函數(shù)的條件極值問題處理方法完全相同?！径ɡ怼?泛函（3-22）在約束條件（3-23）下的變分極值問題所確定的函數(shù)，必滿足由泛函（3-24）的變分極值問題所確定的歐拉方程（3-25）其中為個拉格朗日乘子。我們把和都看作是泛函的變量，所以同樣也可以看作是泛函的歐拉方程。（3-25）式也可以寫成（3-26）現(xiàn)在讓我們證明這個定理。首先求泛函（3-22）式的

5、變分，它經(jīng)過分部積分（用端點給定不變的條件）可以寫成（3-27）注意到這里的不是獨立的，它是由約束條件（3-23）連系著的。設(shè)為特定函數(shù)，于是有（3-28）變分得（3-29）把（3-27）式和（3-29）式相加，記，得極值條件（3-30）因為是個任意特定函數(shù)，假定這個函數(shù)由下列個線性方程決定的，（3-31）這里只要求行列式（3-32）就可以從（3-31）式中求得待定的拉格朗日乘子的解。根據(jù)（3-31）式，變分方程（3-30）式中，剩下的變分項只有關(guān)系到等項了。即（3-33）這項都是獨立任意的。運用變分法預(yù)備定理后，得（3-34）將（3-31）、(3-34)兩式加在一起，便證明了（3-26）式是

6、正確的，即證明了上述定理。下面討論對于約束條件的泛函極值問題。對于泛函（3-35）在約束條件（3-36）下的變分極值問題所確定的函數(shù)必須滿足由泛函（3-37）的變分極值問題確定的歐拉方程（3-38）或（3-39）在（3-37）式的變分中，我們把和都看作是的變量，所以也同樣可以看作是泛函的歐拉方程。§3.3 泛函在積分約束條件下的極值問題【定理】 泛函（3-40）在約束條件，為常數(shù) （3-41）下的變分極值所確定的函數(shù)必須滿足泛函（3-42）的變分極值問題所確定的歐拉方程（3-43）在（3-42）式的變分中，我們把和都看作泛函的變量，但在這里是待定常量。所以（3-40）式同樣可以看作是

7、泛函的歐拉方程。（3-43）式也可以寫成（3-44）現(xiàn)在可以引進(jìn)新的未知函數(shù)，把約束條件的極值問題，化為型的條件極值問題，引進(jìn)符號（3-45）因此有，對求導(dǎo)數(shù)，得（3-46）因此，約束條件（3-40）式可以由（3-46）式來代替。于是，我們的極值問題變?yōu)榉汉?-41）式在約束條件（3-46）式下的變分極值問題，根據(jù)§3.2節(jié)的定理，這種極值問題可以化為求泛函（3-47）的無條件極值問題，其中（3-48）把當(dāng)作獨立函數(shù)，（3-47）式在變分后給出歐拉方程（3-49）（3-50）（3-51）把（3-48）式代入（3-49）及（3-50）式中，可以把它們進(jìn)一步簡化為（3-52）（3-53

8、）（3-51）由（3-53）式證明了都是常數(shù)，（3-52）式為（3-54）而（3-51）式就是約束條件（3-46）式，（3-54）式共有個方程，也就是泛函（3-55）的歐拉方程，其中，為拉格朗日乘子，且都是常數(shù)。顯然，（3-55）式就是（3-42）式，由此，定理得到證明。還應(yīng)當(dāng)指出，歐拉方程組的通解中有個積分常數(shù)和個拉格朗日乘子，這個常數(shù)由約束方程（3-40）式及邊界條件（3-56）來確定?！纠?-1】 在周長已知的情況下，求所圍面積為最大的曲線。本題的約束條件為周長L為已知，即（3-57）現(xiàn)在要求在滿足（3-57）條件下，求泛函（即所圍面積）（3-58）為極值，這里。該問題相當(dāng)于求無條件泛函（3-59）的極值。記為則有（3-60）如果為弧長，則，則（3-60）式中的后兩式可以寫為（3-61）代入歐拉方程，可得（3-62）積分一次，得（3-63）消去y，得（3-64）它的解為（3-65）將（3-65）式代入（3-63）式的第一式，可得（3-66）根據(jù)封閉圍線條件，有（3-67）（3-67