第13講直線圓的方程

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 人教版高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座13）直線、圓的方程一課標(biāo)要求：1直線與方程（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；（3）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；2圓與方程回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。二命題走向直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問(wèn)題，可與三角知識(shí)聯(lián)系；圓的方程，從軌

2、跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問(wèn)題，在對(duì)參數(shù)的討論中確定圓的方程。預(yù)測(cè)2007年對(duì)本講的考察是：（1）2道選擇或填空，解答題多與其他知識(shí)聯(lián)合考察，本講對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會(huì)是一個(gè)出題方向；（2）熱點(diǎn)問(wèn)題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程。三要點(diǎn)精講1傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為。2斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時(shí)，則稱(chēng)其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時(shí)，直線的斜率不存在。過(guò)兩點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1x2，則直線p1p2的

3、斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為900）。4直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱(chēng)方程說(shuō)明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點(diǎn)，k斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點(diǎn)式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過(guò)（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不能同時(shí)為零直線的點(diǎn)斜式與斜截式不能表

4、示斜率不存在（垂直于x 軸）的直線；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過(guò)原點(diǎn)的直線。5圓的方程圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。特殊地，當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：。圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：、項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即；、沒(méi)有xy項(xiàng)，即B=0；、。四典例解析圖題型1：直線的傾斜角例1（1995全國(guó)，5）圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ）Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案：D解析：直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10，直線l2與l3的傾斜角2

5、、3均為銳角，且23，所以k2k30，因此k2k3k1，故應(yīng)選D。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。例2過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，求的值最小時(shí)直線的方程。解析：依題意作圖，設(shè)BAO，則，當(dāng)，即時(shí)的值最小，此時(shí)直線的傾斜角為135，斜率。故直線的方程為，即。點(diǎn)評(píng)：求直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，也是重要的題型。解這類(lèi)題除用到有關(guān)概念和直線方程的五種形式外，還要用到一些技巧。題型2：斜率公式及應(yīng)用例3（1）（05年江西高考）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是_。（2）（1997全國(guó)文，24）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于

6、A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)ylog2x的圖象交于C、D兩點(diǎn)。（1）證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上。（2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解析：（1）如圖，實(shí)數(shù)x，y滿足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分（包括邊界），而表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，則直線AO的斜率最大，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，所以的最大值是。 點(diǎn)評(píng)：本題還可以設(shè)，則，斜率k的最大值即為的最大值，但求解頗費(fèi)周折。（2）證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知x11，x21，點(diǎn)A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，所以，又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x1，log2x1），（

7、x2，log2x2）由于log2x13log8x1，log2x23log8x2，所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為。由此得kOCkOD，即O、C、D在同一條直線上。由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1log8x2，解得 x2x13將其代入，得x13log8x13x1log8x1.由于x11，知log8x10，故x133x1，x1，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，log8）.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力。例4（05年全國(guó)高考）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是（）A2BC4D解析：原式化簡(jiǎn)為，則y看作點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)的連線的斜率。因?yàn)辄c(diǎn)B的軌跡是即

8、過(guò)A作直線，代入上式，由相切（0）可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。點(diǎn)評(píng)：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等。但將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問(wèn)題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。題型3：直線方程例5已知直線的點(diǎn)斜式方程為，求該直線另外三種特殊形式的方程。解析：（1）將移項(xiàng)、展開(kāi)括號(hào)后合并，即得斜截式方程。（2）因?yàn)辄c(diǎn)（2，1）、（0，）均滿足方程，故它們?yōu)橹本€上的兩點(diǎn)。由兩點(diǎn)式方程得：即（3）由知：直線在y軸上的截距又令，得故直線的截距式方程點(diǎn)評(píng)：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的

9、條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問(wèn)題解得簡(jiǎn)捷、明了。例6直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。解析：設(shè)所求直線的方程為，直線過(guò)點(diǎn)P（-5，-4），即。又由已知有，即，解方程組，得：或故所求直線的方程為：，或。即，或點(diǎn)評(píng)：要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種：（1）從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來(lái)；（2）由斜截式或截距式方程確定截距；（3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a?？傊谇笾本€方程時(shí)，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要。解題時(shí)善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。題型3：直線方程綜合問(wèn)

10、題例5（2003北京春理，12）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ）A95 B91 C88 D75答案：B解析一：由y=10x（0x15，xN）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)10x（0x15，xN）所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個(gè)整數(shù)，x=1，y有10個(gè)，x=2或x=3時(shí)，y分別有9個(gè)，x=4時(shí)，y有8個(gè)，x=5或6時(shí)，y分別有7個(gè)，類(lèi)推：x=13時(shí)y有2個(gè)，x=14或15時(shí)，y分別有1個(gè)，共91個(gè)整點(diǎn).故選B。圖解析二：將x=0，y=0和2x+3y=30所圍成的三角

11、形補(bǔ)成一個(gè)矩形.如圖所示。對(duì)角線上共有6個(gè)整點(diǎn)，矩形中（包括邊界）共有1611=176.因此所求AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有=91（個(gè)）點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過(guò)不等式解等知識(shí)探索解題途徑。例6（2003京春理，22）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=1相切，點(diǎn)C在l上。（）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)。（i）問(wèn)：ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；（ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。（）解法一，依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l

12、為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.圖解法二：設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=?；?jiǎn)得：y2=4x。（）（i）由題意得，直線AB的方程為y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3。所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），|AB|=x1+x2+2=。假設(shè)存在點(diǎn)C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=。但y=不符合，所以由，組成的方程組無(wú)解。因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得ABC是正三角形。（ii）解法一：設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由得y=2

13、，即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y2。又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。當(dāng)CAB為鈍角時(shí)，cosA=|AC|2+|AB|2，即，即y時(shí)，CAB為鈍角。當(dāng)|AC|2|BC|2+|AB|2，即，即y|AC|2+|BC|2，即，即。該不等式無(wú)解，所以ACB不可能為鈍角。因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是。解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x）2+（y+）2=（）2。圓心（）到直線l：x=1的距離為，所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（1，）。當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重

14、合時(shí)，ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，ACB為銳角，即ABC中，ACB不可能是鈍角。因此，要使ABC為鈍角三角形，只可能是CAB或CBA為鈍角。過(guò)點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為。令x=1得y=。過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2（x3）。令x=1得y=。又由解得y=2，所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形。因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y（y2）。點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。比較深

15、刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類(lèi)討論的思想、方程的思想.該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型4：圓的方程例7（1）已知ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（6，3），C（3，0），求ABC外接圓的方程。 分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個(gè)獨(dú)立參數(shù)a，b，r，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到ABC外接圓的圓心是ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：設(shè)所求圓的方程是因?yàn)锳（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足

16、方程，于是 可解得所以ABC的外接圓的方程是。解法二：因?yàn)锳BC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。，線段AB的中點(diǎn)為（5，1），線段BC的中點(diǎn)為，圖41AB的垂直平分線方程為，BC的垂直平分線方程解由聯(lián)立的方程組可得ABC外接圓的圓心為（1，3），半徑。故ABC外接圓的方程是點(diǎn)評(píng)：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。（2）求過(guò)A（4，1），B（6，3），C（3，0）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的

17、方程現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡(jiǎn)捷。解析：設(shè)圓的方程為因?yàn)槿c(diǎn)A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，將它們的坐標(biāo)分別代入方程，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個(gè)三元一次方程組：，解得。所以，圓的方程是。圓心是坐標(biāo)（1，3），半徑為。點(diǎn)評(píng)：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法一般地，在選用圓的方程形式時(shí)，若問(wèn)題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便，否則選用一般方程方便些。例8若方程。（1）當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓。（2）當(dāng)在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，求圓心的軌跡方程。解析：（1）由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，給定的方程表示一個(gè)圓。（

18、2）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則（為參數(shù)）。消去參數(shù)，為所求圓心軌跡方程。點(diǎn)評(píng)：圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。題型5：圓的綜合問(wèn)題例9如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，給定y軸正半軸上兩點(diǎn)A（0，a），B（0，b）（），試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使ACB取得最大值。解析：設(shè)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，在ABC中由正弦定理，有。其中R是ABC的外接圓的半徑?？梢?jiàn)，當(dāng)R取得最小值時(shí)，ACB取得最大值。在過(guò)A、B兩定點(diǎn)且與x軸正向有交點(diǎn)C的諸圓中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C是圓與x軸的切點(diǎn)時(shí)，半徑最小。故切點(diǎn)C即為所求。由切割線定理，得：所以，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，ACB取得最大值。點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分

19、支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問(wèn)題得解，起到鋪路搭橋的作用。例10已知O過(guò)定點(diǎn)A(0，p)(p0)，圓心O在拋物線x2=2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O截x軸所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，MAN=。（1）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解析：設(shè)O(x0，y0)，則x02=2py0 (y00)，O的半徑|OA|=，O的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x22x0x+x02p2=0，解得xM=x0 p，xN=x0+p，|MN|=| xN xM|=2p為定值。（2）M(x0-p，0)，N(x0+p，0) d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2。當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2，即x=p，y0=p時(shí)等號(hào)成立，+的最大值為2。此時(shí)|OB|=|MB|=|NB|（B為MN中點(diǎn)），又OM=ON，OMN為等腰直角三角形，MON=90，則=MON=45。