第一講 速算與巧算綜合(教師版)

1、第一講 速算與巧算（綜合）計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過(guò)硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。1、 湊整： 在整數(shù)加法減運(yùn)算中，通常利用運(yùn)算律把幾個(gè)能夠湊成整十、整百、整千的數(shù)先相加減，再與題中剩下的數(shù)相加減。例1：簡(jiǎn)便計(jì)算： （1）9998+3+99+998+3+9 （2）1234+5678+8766+4322 （3）1759-998-103 （4）857-289+189解：（2）9998+3+99+998+3+9 =9998+2+1+99+998+2+1+

2、9 =（9998+2）+（1+99）+（998+2）+（1+9） =10000+100+1000+10=11110 （2）1234+5678+8766+4322 =（1234+8766）+（55678+4322） =10000+10000=20000 （3）1759-998-103 =1759-1000+2-100-3 =1759-1000-100+2-3 =659+2-3=658 （4）857-289+189 =857-（289-189）=857-100=757二、乘除法中的巧算.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個(gè)特殊的等式： 5×2=10，25

3、5;4=100，125×8=1000 例2計(jì)算（1）123×4×25 （2）56×125 解：（1）123×4×25=123×（4×25）=123×10012300 （2） 56×125=7×8×125=7×（8×125） =7×1000=7000 例3（1）67×12+67×3567×52+67 （2） 123×99 解：（1）67×12+67×3567×52+6=67

4、15;（1235521） 67×1006700 （2） 123×99=123×（100-1）=12300-123=12177 例4計(jì)算（1）44000÷125 （2）864×27÷54 （3）5600÷（28÷6）解：（1） 44000÷125=（44000×8）÷（125×8）352000÷1000352 （2）864×27÷54 864÷54×27 =864÷（54÷27 ）=864÷2=43

5、2（3） 5600÷（28÷6）=5600÷28×6 =200×6=1200 三、特殊的兩位數(shù)相乘 1.一個(gè)數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加”。 如 22×11242, 45×11495, 78×11858, 2.求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7×749（七七四十九）。對(duì)于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了1020的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有沒(méi)有什么竅門(mén)，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法湊整補(bǔ)零法。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，

6、通過(guò)移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這一方法。 例5 求292和822的值。 解：292=29×29 （291）×（29-1）1230×281840+1841。82282×82（822）×（822）2280×8446720+46724。由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對(duì)其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1，就要給另一個(gè)29減1；

7、給一個(gè)82減了2，就要給另一個(gè)82加上2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。3.下面，我們介紹一類(lèi)特殊情況的乘法的速算方法。請(qǐng)看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。這類(lèi)算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。例6 88×64？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到88×64（808）×（604）（808）×60（808）×480×608×6080×48×480&#

8、215;6080×680×48×480×（6064）8×480×（6010）8×48×（61）×100+8×4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（61）。4.下面繼續(xù)討論乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法。 兩個(gè)數(shù)之和等于10，則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會(huì)遇到像72×78，26×

9、;86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類(lèi)式子我們稱(chēng)為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類(lèi)式子我們稱(chēng)為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。計(jì)算這兩類(lèi)題目，有非常簡(jiǎn)捷的速算方法，分別稱(chēng)為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。例7 （1）76×74？ （2）31×39？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類(lèi)型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74（76）×（70+4）（706）×70（76）

10、15;470×706×7070×46×470×（7064）6×470×（7010）6×47×（7+1）×1006×4。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類(lèi)似可得到下面的速算式：由例看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如1×909），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位7數(shù)加1的乘積。“同補(bǔ)”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。我們?cè)谌?/p>

11、年級(jí)時(shí)學(xué)到的15×15，25×25，95×95的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。例8 （1）78×38？ （2）43×63？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類(lèi)型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38（708）×（308）（708）×30（708）×870×30+8×3070×88×870×308×（3070）8×87×3×1008×1008×8（7×38）×100

12、8×8。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類(lèi)似可得到下面的速算式： 由例8看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如3×309），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)。“補(bǔ)同”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是： 積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。四、小數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算例9 簡(jiǎn)便運(yùn)算：（1）2.5×10.8   （2）199.7××19.96  （3）88.8×8.7+11.2×

13、×1.2 （4）3.6×0.75×1.2÷（1.5×24×0.18）解：（1）2.5×10.8=2.5×（10+0.8）=2.5×10+2.5×0.8=25+2=27 （2）   199.7××19.96 =19.97××19.96  =199.8×(19.97-19.96) =199.8 ×0.01=1.998  （

14、3） 88.8×8.7+11.2××1.2 =88.8×8.7+11.2×（） =88.8×8.7+11.2×8.7 =（88.8+11.2）×8.7 =100×8.7 =870  （4）3.6×0.75×1.2÷（1.5×24×0.18） =（3.6÷0.18）×（0.75÷1.5）×（1.2÷24） =2

15、0×0.5×0.05 =0.5 五、分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算例10簡(jiǎn)便運(yùn)算：（1）27×1526 （2）15×27+35×41 （3）56 ×113+59×213+518×613（4）（927+729）÷（57+59）（5）335×2525+37.9×625六、綜合例11簡(jiǎn)便運(yùn)算 （2）20172018×2018201720172017×20182018 （3）2017×2018201820182018×20172017201

16、7七、估算習(xí)題一1.簡(jiǎn)便運(yùn)算，要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。 (1(2)827（475173） (3)9899704 (4)2894996953997 (5)748-293+193 (6)1647-（528+647）2.簡(jiǎn)便運(yùn)算，要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。 (1)67×12+67×3567×52+6 (2)96×125 (3)38×102 (4)1234×99983. 直接寫(xiě)出答案 (1)67×11 (2)205×205 (3)87×83 (4)76×36(5)88×46 (5)82×82 （7）603×607 （8）693×607；4.簡(jiǎn)便運(yùn)算，要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。(1)6.25×1.25×6.4 (2)3.6×0.75×1.2÷（1.5×24×0.18） (3) 76.8÷5.6×1.4 (4)0.245×28+24.5×3+2.45×7.2 .簡(jiǎn)便運(yùn)算，要寫(xiě)出計(jì)算