《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件之7

1、Ch2-12.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義 設(shè) X 是隨機變量, 若存在一個非負(fù) 可積函數(shù) f ( x ), 使得xttfxFxd)()(其中F ( x )是它的分布函數(shù)則稱 X 是連續(xù)型隨機變量，f ( x )是它的概率密度函數(shù)( p.d.f. )，密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機變量的概念連續(xù)型隨機變量的概念Ch2-2-10-550.020.040.060.08xf ( x)xF ( x )分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義)(xfy Ch2-3p.d.f. f ( x )的性質(zhì)的性質(zhì)q 0)(xfq 1)(d)(Fxxf常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機

2、變量的密度函數(shù)，q 在 f ( x ) 的連續(xù)點處，)()(xFxff ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率Ch2-4xxFxxFxFx)()(lim)(0000 xxxXxPx)(lim000)(0 xfxttfxFxd)()(積分不是Cauchy 積分，而是Lesbesgue 意義下的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導(dǎo))()(000 xxXxPxxf線段質(zhì)量長度密度Ch2-5注意: 對于連續(xù)型隨機變量X , P(X = a) = 0其中 a 是隨機變量 X 的一個可能的取值)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(li

3、m)(0000)( aXP命題命題 連續(xù)隨機變量取任一常數(shù)的概率為零強調(diào)強調(diào) 概率為概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生的事件未必不發(fā)生(發(fā)生發(fā)生)(aX )(aXxa0 x事實上Ch2-6對于連續(xù)型隨機變量 X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(aFbFbxf ( x)-10-550.020.040.060.08abaxxfd)(Ch2-7)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08aCh2-8例例1 1 已知某型號電子管的使用壽命 X 為連續(xù)隨機變量, 其密度函數(shù)為其他, 01000,)(2xxcxf

4、(1) 求常數(shù) c (3) 已知一設(shè)備裝有3個這樣的電子管, 每個電子管能否正常工作相互獨立, 求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.)200015001700(XXP(2) 計算Ch2-9解解(1) 令1dd )(10002xxcxxfc = 1000)200015001700(XXP(2) )20001500,1700(XXP)20001500( XP)20001500( XP)17001500(XP170015002d1000 xx200015002d1000 xx51461.4706. 05124Ch2-10(3)設(shè)A 表示一個電子管的壽命小于1500小時)15000()(XP

5、AP31d1000150010002xx設(shè)在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為 Y31,3 B943231) 1 () 1(2133CPYPCh2-11例例2 2 設(shè)為使 f (x) 成為某隨機變量 X 在解解 由 0)(0)(2cbxaxxhxf),(上的密度函數(shù)， 系數(shù) a, b , c 必須且只需12)()(cbxaxxf滿足什么條件？axhbaxxh2)(,2)( 當(dāng))(02)(0 xhaxha 有最小值abcxh4/)(2minCh2-12另外由04/2abc當(dāng)且僅當(dāng) 時0)(2cbxaxxh142)()(212bacdxcbxaxdxxf得.4422bac所以系數(shù) a,

6、 b , c 必須且只需滿足下列條件,0a,04/2abc.4422bacCh2-13例例3 設(shè)隨機變量 具有概率 密度, 03( )2-, 3420, kxxxf xx其他(1) 確定常數(shù)(2)求 的分布函數(shù)XkX( )F x 解： (1)由( )1,f x dx得3403(2)12xkxdxdxCh2-1416k 解得(2) 的分布函數(shù)為X203030, 0 03612( )(2) 34621 4xxxtxdtxF xttdtdtxxCh2-15220, 0, 0312( )32, 3 0 為常數(shù)Ch2-221xF( x)0 xf ( x)0Ch2-23對于任意的 0 a b, babax

7、eeaFbFxebXaP)()(d)(應(yīng)用場合應(yīng)用場合 用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命 指數(shù)分布常作為各種“壽命” 分布的近似Ch2-24若 X (),則故又把指數(shù)分布稱為故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕永遠(yuǎn)年輕”的分布的分布)()(tXPsXtsXP指數(shù)分布的“無記憶性無記憶性”事實上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts命題Ch2-25解解 (1)()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt) 0)()(tNPtTPtteet

8、! 0)(0例例4 4 假定一大型設(shè)備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) (t), 求 相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布; 設(shè)備已正常運行小時的情況下,再正常 運行 10 小時的概率.Ch2-260,10, 0)(tettFt0,0, 0)(tettft即)(ET)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”Ch2-27(3) 正態(tài)分布正態(tài)分布若X 的密度函數(shù)為xexfx222)(21)(則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布記作 X N ( , 2 ),為常數(shù)，0 亦稱高斯(Gauss)分布Ch2-28N (-3 , 1.2 )-

9、6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33Ch2-29f (x) 的性質(zhì)的性質(zhì)：q 圖形關(guān)于直線 x = 對稱, 即在 x = 時, f (x) 取得最大值21在 x = 時, 曲線 y = f (x) 在對應(yīng)的點處有拐點曲線 y = f (x) 以 x 軸為漸近線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀f ( + x) = f ( - x) Ch2-3021)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3Ch2-31q f ( x) 的兩個參數(shù)：的兩個參數(shù)： 位置參數(shù)即固定 , 對于不同的 , 對應(yīng)的 f (x)的形狀不

10、變化，只是位置不同 形狀參數(shù)固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.若 1 2 則212121比x= 2 所對應(yīng)的拐點更靠近直線 x=附近值的概率更大. x = 1 所對應(yīng)的拐點前者取 Ch2-32Showfn1,fn3大小-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5幾何意義 大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義 大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比Ch2-33正態(tài)變量的條件 若隨機變量 X 受眾多相互獨立的隨機因素影響 每一因素的影響都是微小的 且這些正、負(fù)影響可以疊加則稱 X 為正態(tài)隨機變量Ch2-34可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差； 人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物

11、的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生的考試成績；Ch2-35一種重要的正態(tài)分布一種重要的正態(tài)分布xexx2221)(是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為xtexxtd21)(22其值有專門的表供查. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1)密度函數(shù)Ch2-365 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4)(1)(xx1)(2)|(|aaXPCh2-37-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4Ch2-38對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換tsxxF)(abaFbFbXaP)(

12、)()(aaFaXP1)(1)(Ch2-39例例5 5 設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P380 附表3Ch2-40例例6 6 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XPCh2-41解二解二 圖解法0.22 . 0)0(XP由圖-22460.050.10.150.20.3Ch2-42例例 3 原理設(shè) X N ( , 2), 求)3|(|XP解解)33()3|(|XPXP33 33 13219987. 029974. 0一次試驗中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3 )的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間可能性很小由3 原理知，1)(3,0)(3bbaa時時當(dāng)Ch2-43標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點 z設(shè) X N (0,1) , 0 3故至少要進(jìn)行 4 次獨立測量才能滿足要求