第七章(時變電磁場)

1、1 1第七章第七章 時變電磁場時變電磁場主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，位函數(shù)，位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，位函數(shù)，能流密度矢量，正弦電磁場，復(fù)能流密度矢量。能流密度矢量，正弦電磁場，復(fù)能流密度矢量。1. 位移電流位移電流2. 麥克斯韋方程麥克斯韋方程3. 時變時變電磁場邊界條件電磁場邊界條件4. 標(biāo)量位與矢量位標(biāo)量位與矢量位5. 位函數(shù)方程求解位函數(shù)方程求解6. 能量密度與能流密度矢量能量密度與能流密度矢量7. 時變電磁場時變電磁場惟一性定理惟一性定理8. 正弦電磁場正弦電磁場9. 麥克斯韋方程的麥克斯韋方程的 復(fù)矢量形式復(fù)矢量形式 10. 位函數(shù)的復(fù)矢量形式

2、位函數(shù)的復(fù)矢量形式11. 復(fù)能流密度矢量復(fù)能流密度矢量2 2靜態(tài)場定律的推廣靜態(tài)場定律的推廣 靜電場的靜電場的高斯定律高斯定律dSq DS D 高斯定律的直觀物理圖像是單位電荷激發(fā)一定數(shù)量的電場線。高斯定律的直觀物理圖像是單位電荷激發(fā)一定數(shù)量的電場線。在普遍情況下，這種定量關(guān)系在實驗和理論分析上都沒有發(fā)現(xiàn)不合在普遍情況下，這種定量關(guān)系在實驗和理論分析上都沒有發(fā)現(xiàn)不合理的地方，也就是說：理的地方，也就是說：高斯定律在普遍情形中成立高斯定律在普遍情形中成立。v勻速直線運動的點電荷激發(fā)的電場322222022141si nvcqErvc3 3靜態(tài)靜態(tài)場定律的推廣場定律的推廣 靜電場為靜電場為無旋場無

3、旋場d0CE El l0E E 在普遍情況下，應(yīng)當(dāng)由法拉第電磁感應(yīng)定律代替在普遍情況下，應(yīng)當(dāng)由法拉第電磁感應(yīng)定律代替 , , , , ,dd, , , , ,lSx y z tx y z ttx y z tx y z tt B BE EB ElS4 4靜態(tài)靜態(tài)場定律的推廣場定律的推廣 恒定磁場的恒定磁場的磁通磁通連續(xù)性連續(xù)性原理原理d0S BS0 B 在普遍情況在普遍情況下對法拉第電磁感應(yīng)定律兩端取散度下對法拉第電磁感應(yīng)定律兩端取散度, , , , ,x y z tx y z tt B BE E, , , , ,0 x y z tx y z tt B BE E, , ,x y z t B B

4、不隨時間變化，恒為零5 51. 位移電流位移電流恒定恒定磁場的旋度性質(zhì)磁場的旋度性質(zhì)dSqt JSt J電荷守恒原理：電荷守恒原理： 兩者發(fā)生了兩者發(fā)生了尖銳的矛盾尖銳的矛盾安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律 ddlS H HJ J HlJS0 H HJ兩邊同時取散度兩邊同時取散度6 6對安培環(huán)路定律的修正對安培環(huán)路定律的修正 dd() dlSJ HlJS ddlS HlJS H HJ J dHJHJJ J dH HJ JJ J dJ JJ J d0J JJ Jt（旋度的散度為零）（旋度的散度為零）（電荷守恒定律）（電荷守恒定律） tD D（高斯定律）（高斯定律） tD DdtDJ即即它具有它具有電流密

5、度電流密度量綱，麥克斯韋將其稱為量綱，麥克斯韋將其稱為位移電流密度位移電流密度7 7 位移電流位移電流 電流連續(xù)是客觀存電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，例如真在的物理現(xiàn)象，例如真空電容器中的電流?？针娙萜髦械碾娏?。d () d0SJJS全電流連續(xù)性定律的積分形式為全電流連續(xù)性定律的積分形式為0)(dJJ引入位移電流后引入位移電流后上式稱為上式稱為全電流連續(xù)性原理全電流連續(xù)性原理。它包括了。它包括了傳導(dǎo)傳導(dǎo)電流，電流，運流運流電流電流及及位移位移電流。電流。位移電流密度位移電流密度dtDJ8 8 麥克斯韋認(rèn)為麥克斯韋認(rèn)為位移電流位移電流也可產(chǎn)生也可產(chǎn)生磁場磁場，因此前述，因此前述安培環(huán)路定律變?yōu)榘?/p>

6、培環(huán)路定律變?yōu)?d d() dlS HlJJSII d2lrHI Hld0J d() ddSSJJS =JS = I0J dDJt0Et0Udt0Qd C t001IISdSdd d2lrHJ SI Hl9 9全電流連續(xù)性的全電流連續(xù)性的另一另一個例子個例子金屬基地金屬基地絕緣電介質(zhì)絕緣電介質(zhì)電子束電子束電流表能檢測到電流嗎？電流表能檢測到電流嗎？1010對于對于靜靜電場，由于電場，由于 ，自然，自然不不存在位移電流。存在位移電流。0tD 對于對于時變時變電場，電場變化電場，電場變化愈快愈快，產(chǎn)生的位移電流，產(chǎn)生的位移電流密度也密度也愈大愈大。cdJJ 在良導(dǎo)體中在良導(dǎo)體中已知傳導(dǎo)電流密度已知

7、傳導(dǎo)電流密度 ，因此，因此EJ ccdJJ 在電導(dǎo)率較低的介質(zhì)中在電導(dǎo)率較低的介質(zhì)中1111d() dlStDHlJSt DJH即即 上兩式稱為上兩式稱為全電流定律全電流定律。它表明時變磁場是由。它表明時變磁場是由傳導(dǎo)傳導(dǎo)電流，電流，運流運流電流以及電流以及位移位移電流共同產(chǎn)生的。電流共同產(chǎn)生的。 位移電流是由時變電場形成的，由此可見，位移電流是由時變電場形成的，由此可見，時變時變電場電場可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生時變磁場時變磁場。 電磁感應(yīng)定律表明，電磁感應(yīng)定律表明，時變磁場時變磁場可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生時變電場時變電場。因此，麥克斯韋引入位移電流以后，預(yù)見因此，麥克斯韋引入位移電流以后，預(yù)見時變電場時變電

8、場與與時變磁場時變磁場相互轉(zhuǎn)化的特性可能會在空間形成相互轉(zhuǎn)化的特性可能會在空間形成電磁波電磁波。12122. 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 靜態(tài)場中的靜態(tài)場中的高斯定理高斯定理及及磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理對于時變電對于時變電磁場磁場仍然成立。仍然成立。那么，對于時變電磁場，麥克斯韋歸納那么，對于時變電磁場，麥克斯韋歸納為如下為如下4 4 個方程：個方程： d() dlStD HlJS ddlSt B ElSd0S BS dSqDS積分形式積分形式t DJHt BE 0 B D微分形式微分形式全電流定律全電流定律電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理高斯定律高斯定律1313 時變時

9、變電場電場是是有旋有散有旋有散的，時變的，時變磁場磁場是是有旋無散有旋無散的。但是，時變電磁場中的電場與磁場是的。但是，時變電磁場中的電場與磁場是不可分割不可分割的，因此，時變電磁場是的，因此，時變電磁場是有旋有散有旋有散場。場。在在無源區(qū)無源區(qū)中，時變電磁場是有旋中，時變電磁場是有旋無無散的。散的。 d() dlStD HlJS ddlSt B ElSd0S BS dSqDS積分形式積分形式t DJHt BE 0 B D微分形式微分形式1414 電場線與磁場線電場線與磁場線相互交鏈相互交鏈，自行閉合自行閉合，從而，從而在空間形成在空間形成電磁波電磁波。時變時變電場電場與時變與時變磁場磁場處處

10、處處相互垂直相互垂直。 為了為了完整完整地描述時變電磁場的特性，麥克斯韋地描述時變電磁場的特性，麥克斯韋方程還應(yīng)包括方程還應(yīng)包括電荷守恒電荷守恒方程以及說明方程以及說明場場與與介質(zhì)介質(zhì)關(guān)系關(guān)系的方程，即的方程，即t JED HB JEJ 式中式中 代表代表電流電流源或非電的源或非電的外外源。源。J15151616 麥克斯韋方程組中各個方程麥克斯韋方程組中各個方程不是不是完全獨立的。完全獨立的。可以由第可以由第 1、2 方程導(dǎo)出第方程導(dǎo)出第 3、4 方程，方程，或反之或反之。 對于靜態(tài)場，則對于靜態(tài)場，則 0ttttBHDE那么，上述麥克斯韋方程變?yōu)槟敲?，上述麥克斯韋方程變?yōu)殪o電場靜電場方程和方

11、程和恒定恒定磁場磁場方程，方程，電場電場與與磁場磁場不再相關(guān)，不再相關(guān)，彼此獨立彼此獨立。 t DJH D0 Bt BE 1717 這個方程的提出是牛頓時代以來物這個方程的提出是牛頓時代以來物理學(xué)上的一個重要事件，它是關(guān)于場理學(xué)上的一個重要事件，它是關(guān)于場的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多比我們指出的要豐富得多。物理學(xué)的進(jìn)化物理學(xué)的進(jìn)化Albert Einstein & Leopold Infeld1818從從人類歷史的漫長遠(yuǎn)景來看人類歷史的漫長遠(yuǎn)景來看即即使過使過一萬年一萬年之后回頭來看之后回頭來看毫無毫無疑問，在十九世紀(jì)中發(fā)生的疑

12、問，在十九世紀(jì)中發(fā)生的最有意最有意義義的事件將判定是麥克斯韋對于電的事件將判定是麥克斯韋對于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事與這一重大科學(xué)事件相比之下，件相比之下， 同一個十年中發(fā)生同一個十年中發(fā)生的的美國內(nèi)戰(zhàn)美國內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會降）將會降低為一個低為一個地區(qū)性地區(qū)性瑣事而黯然失色瑣事而黯然失色”。費曼物理學(xué)講義費曼物理學(xué)講義Richard P. Feynman1919英國科學(xué)期刊英國科學(xué)期刊物理世界物理世界曾讓讀者投票評選了曾讓讀者投票評選了“最偉大最偉大的公式的公式”，Maxwell方程在最終方程在最終榜上有名的十個榜上有名的十個公式中排公式中排名第一名第一任何

13、一個能把這幾個公式看懂的人，一定會感到背后有涼風(fēng)如果沒有上帝，怎么解釋如此完美的方程？這組公式融合了電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。比較謙虛的評價是：“一般地，宇宙間任何的電磁現(xiàn)象，皆可由此方程組解釋。”到后來麥克斯韋僅靠紙筆演算，就從這組公式預(yù)言了電磁波的存在。我們不是總喜歡編一些故事，比如愛因斯坦小時候因為某一刺激從而走上了發(fā)奮學(xué)習(xí)、報效祖國的道路么？事實上，這個刺激就是你看到的這個方程組。也正是因為這個方程組完美統(tǒng)一了整個電磁場，讓愛因斯坦始終想要以同樣的方式統(tǒng)一引力場，并將宏觀與微觀的兩種力放在同一組式子中：即著名的“大一統(tǒng)理論”。愛因斯坦直到去世都沒有走出這個隧道

14、，而如果一旦走出去，我們將會在隧道另一頭看到上帝本人。2020 處于信息時代的今天，從嬰兒處于信息時代的今天，從嬰兒監(jiān)控監(jiān)控器到各種器到各種遙遙控控設(shè)備、從設(shè)備、從雷達(dá)雷達(dá)到到微波爐微波爐、從、從地面地面廣播電視到廣播電視到太空太空衛(wèi)星衛(wèi)星廣播電視、從地面廣播電視、從地面移動移動通信到宇宙通信到宇宙星際星際通信、通信、從室外從室外無線無線局域網(wǎng)到室內(nèi)局域網(wǎng)到室內(nèi)藍(lán)牙藍(lán)牙技術(shù)、以及技術(shù)、以及全球衛(wèi)星全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)定位導(dǎo)航系統(tǒng)等，無不利用等，無不利用電磁波電磁波作為作為信息載體信息載體。 無線無線信息高速公路使人們能在信息高速公路使人們能在任何地點任何地點、任何任何時間時間同同任何人任何人取

15、得聯(lián)系。取得聯(lián)系。 如此廣泛的應(yīng)用說明了如此廣泛的應(yīng)用說明了麥克斯韋麥克斯韋和和赫茲赫茲對于人對于人類類文明文明和和進(jìn)步進(jìn)步的偉大貢獻(xiàn)。的偉大貢獻(xiàn)。 目前中國已目前中國已有超過有超過1010億億移動通信用戶，移動通信用戶，一億多一億多因因特網(wǎng)用戶。特網(wǎng)用戶。 21213. 時變時變電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件 在在任何任何邊界上邊界上電場強度電場強度的的切向切向分量是連續(xù)的分量是連續(xù)的，即，即 2t1tEE 或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?0)(12nEEe 因為只要因為只要磁通密度磁通密度的的時間變化率時間變化率是是有限有限的，那的，那么由電磁感應(yīng)定律的積分形式么由電磁感應(yīng)定律的積分形式d

16、dlSt BElS即可獲得上面結(jié)果。即可獲得上面結(jié)果。對于對于各向同性各向同性的的線性線性媒質(zhì)，得媒質(zhì)，得2 t21 t 1DDen2222 在在任何任何邊界上，邊界上，磁通密度磁通密度的的法向法向分量是連續(xù)的。分量是連續(xù)的。 或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?0)(12nBBe 電通密度電通密度的的法向法向分量邊界條件與分量邊界條件與介質(zhì)介質(zhì)特性有關(guān)。特性有關(guān)。 在在一般一般情況下，由高斯定律求得情況下，由高斯定律求得 2n1nSDD或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?n21()SeDD式中式中 S 為邊界表面上為邊界表面上自由自由電荷的面密度。電荷的面密度。對于對于各向同性各向同性的的線性線性媒質(zhì)，

17、得媒質(zhì)，得n22 n11 HH上式由磁通連續(xù)性原理上式由磁通連續(xù)性原理 求得。求得。 0dSSB2nn1BB即即2323 兩種兩種理想介質(zhì)理想介質(zhì)的邊界上不可能存在的邊界上不可能存在表面表面自由自由電荷，因此電荷，因此2n1nDD 磁場強度磁場強度的的切向切向分量邊界條件分量邊界條件也與也與介介質(zhì)特性質(zhì)特性有有關(guān)關(guān)。 在一般情況下，由于邊界上不可能存在在一般情況下，由于邊界上不可能存在表面電表面電流流，根據(jù)全電流定律，只要電通密度的，根據(jù)全電流定律，只要電通密度的時間變化率時間變化率是有限的，可得是有限的，可得t21tHH0)(12nHHe或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?對于對于各向同性各向同性

18、的的線性線性介質(zhì)，得介質(zhì)，得2n2 n11 EE2424 在在理想導(dǎo)電理想導(dǎo)電體表面上可以形成體表面上可以形成表面電流表面電流，此時，此時磁場強度的切向分量磁場強度的切向分量不再不再連續(xù)。連續(xù)。 在在理想導(dǎo)電體內(nèi)部理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在不可能存在時變電磁場時變電磁場及及時時變的傳導(dǎo)電流變的傳導(dǎo)電流，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的表表面面。 E(t), B (t), J (t) = 0E 0 J = E H 0 E 0J 0 H 02525 已知在已知在任何任何邊界上，邊界上，電場強度電場強度的的切向切向分量及分量及磁通磁通密度密度的的法向法向分量是連續(xù)的，因此理想

19、導(dǎo)體表面上不可分量是連續(xù)的，因此理想導(dǎo)體表面上不可能存在能存在電場切向電場切向分量及分量及磁場法向磁場法向分量，即分量，即時變電場時變電場必必須須垂直垂直于理想導(dǎo)電體的表面，而時變于理想導(dǎo)電體的表面，而時變磁場磁場必須與其表必須與其表面面相切相切。 E H , enet2626因因 ，由前式得，由前式得 01nD2nSD或或nSeD 由于理想導(dǎo)電體表面存在由于理想導(dǎo)電體表面存在表面電流表面電流JS ，令，令表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成右旋右旋關(guān)系，關(guān)系，因因 ，求得，求得01tH2tSH JnSeHJ或或 E H , enet H1t H2t JSn JeH

20、Sn eHnD=eJSt st2727例例 已知內(nèi)截面為已知內(nèi)截面為a b 的的矩形矩形金屬波導(dǎo)中的時變金屬波導(dǎo)中的時變電磁場的各分量為電磁場的各分量為 ) sin(cos0zktxaHHzzz) cos(sin0zktxaHHzxx) cos(sin0zktxaEEzyy其坐標(biāo)如圖示。試求波導(dǎo)中的其坐標(biāo)如圖示。試求波導(dǎo)中的位移電流位移電流分布和波導(dǎo)分布和波導(dǎo)內(nèi)內(nèi)壁壁上的上的電荷電荷及及電流電流分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空。 azyxb2828解解 由前式求得位移電流為由前式求得位移電流為 t DJd) sin(sin 00zktxaEezyy 在在 y = 0 的內(nèi)壁上的內(nèi)壁上

21、00( ) SyyyEeE()SyxzzxxzHH JeHHee在在 y = b 的內(nèi)壁上的內(nèi)壁上 00( ) SyyyE eE()SyxzzxxzHH JeHHeeazyxb2929在在 x = 0 的側(cè)壁上，的側(cè)壁上， 0 xH00sin( )sin( )SxzzzyzzHtk zHtk z Jeee00(sin( )sin( )SxzzzyzzHtk zHtk z Jeee0 xH在在 x = a 的側(cè)壁上，的側(cè)壁上， 在在 x = 0 及及 x = a 的側(cè)壁的側(cè)壁上，因上，因 ，所以，所以 。 0yE0Szyx內(nèi)壁電流內(nèi)壁電流30304. 標(biāo)量位與矢量位標(biāo)量位與矢量位 設(shè)介質(zhì)是設(shè)介質(zhì)

22、是線性均勻線性均勻且且各向同性各向同性的，那么由麥的，那么由麥克斯韋方程可得克斯韋方程可得JHH22 t Et DJHt BE 0 B D微分形式微分形式t Bt Htt DJ22ttJEttJEE22 同理同理3131JHH22 tttJEE22 利用矢量利用矢量恒等式恒等式AAA20BDJHH222t1222ttJEE場與源的關(guān)系比較場與源的關(guān)系比較復(fù)雜復(fù)雜。2 EEE21 E3232式中式中 A 稱為稱為矢量位矢量位。將上式代入式將上式代入式 中，得中，得t BE )(AEt 已知已知 ，因此，因此 B 可以表示為矢量場可以表示為矢量場 A 的旋度。的旋度。0 B 引入引入標(biāo)量位標(biāo)量位與

23、與矢量位矢量位作為兩個作為兩個輔助函數(shù)輔助函數(shù), ,可以可以簡化時變電磁場的求解。簡化時變電磁場的求解。 AB即即3333上式又可改寫為上式又可改寫為0tAE可見，矢量場可見，矢量場 為為無旋無旋場。因此可以表示為場。因此可以表示為一個一個標(biāo)量標(biāo)量場場 的的梯度梯度。tAE式中式中 稱為稱為標(biāo)量位標(biāo)量位。當(dāng)當(dāng) A 與與時間無關(guān)時間無關(guān)時，時，ABE因此，標(biāo)量位因此，標(biāo)量位 標(biāo)量電位標(biāo)量電位；矢量位；矢量位 A 矢量磁位矢量磁位。tAE即即tAE求得求得3434將位函數(shù)代入將位函數(shù)代入麥克斯韋方程麥克斯韋方程，求得，求得 tttAAJA22 JAAAtt222)()(2At 再利用矢量恒等式再利

24、用矢量恒等式 ，上兩式又可表示為上兩式又可表示為AAA23535 已定義了矢量場已定義了矢量場 A 的的旋度旋度， ，必須，必須再規(guī)定其再規(guī)定其散度散度。BA 則前兩式可以簡化為則前兩式可以簡化為 222tt AAJ2 庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范0 A一一種種簡單的考慮是簡單的考慮是 標(biāo)量電位為庫侖場標(biāo)量電位為庫侖場與與電流和電荷電流和電荷均均 有關(guān)有關(guān)電場電場t A AE E包含庫侖場和感應(yīng)場包含庫侖場和感應(yīng)場3636則前兩式可以簡化為則前兩式可以簡化為 JAA 222t222t羅倫茲條件羅倫茲條件tA另一種為另一種為 僅與僅與電荷電荷 有關(guān)有關(guān)僅與僅與電流電流 J 有關(guān)有關(guān)原來兩個相互原來兩個相互關(guān)

25、聯(lián)關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€的方程變?yōu)閮蓚€獨立獨立方程。方程。tttAAJA22 3737原來電磁場的原來電磁場的矢量矢量方程為方程為JHH222t1222ttJEE在三維空間中僅需求解在三維空間中僅需求解 4 個坐標(biāo)分量。個坐標(biāo)分量。位函數(shù)位函數(shù)方程為一個方程為一個矢量矢量方程和一個方程和一個標(biāo)量標(biāo)量方程方程JAA 222t222t在直角坐標(biāo)系中，實際上等于求解在直角坐標(biāo)系中，實際上等于求解 1 個標(biāo)量方程。個標(biāo)量方程。在三維空間中需要求解在三維空間中需要求解 6 個坐標(biāo)分量。個坐標(biāo)分量。3838根據(jù)靜態(tài)場結(jié)果，采用類比方法推出其解。根據(jù)靜態(tài)場結(jié)果，采用類比方法推出其解。5. 位函數(shù)方程的求解位函數(shù)

26、方程的求解 當(dāng)時變點電荷位于坐標(biāo)當(dāng)時變點電荷位于坐標(biāo)原點原點時，其場分布與時，其場分布與 及及 無關(guān)。那無關(guān)。那么，在么，在除除坐標(biāo)原點以外整個坐標(biāo)原點以外整個無源無源空間，位函數(shù)空間，位函數(shù) 滿足的方程式為滿足的方程式為 先求解時變先求解時變點電荷點電荷的矢量位，再利用的矢量位，再利用疊加原理疊加原理導(dǎo)出分布的時變導(dǎo)出分布的時變體電荷體電荷的矢量位。的矢量位。rtrvrr0 0) (1) (222221v式中式中rzyx (r, t)O3939上式為函數(shù)上式為函數(shù)( r)的齊次的齊次波動波動方程，其通解為方程，其通解為 vrtfvrtfr21 式中第二項不符合實際的式中第二項不符合實際的物理

27、條件物理條件，應(yīng)該舍去。，應(yīng)該舍去。因此，求得位于原點的時變點電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為因此，求得位于原點的時變點電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為1( , )rf tvtrr已知位于原點的靜止已知位于原點的靜止點電荷點電荷 q 產(chǎn)生產(chǎn)生的電位為的電位為 ( )4qrr可見可見函數(shù)函數(shù) f1 為為14rq tvrf tv4040因此位于原點的時變點電荷的標(biāo)量位為因此位于原點的時變點電荷的標(biāo)量位為Vrvrttd 4 ),( dr式中式中r 為體元為體元 dV 至場點的距離。至場點的距離。 位于位于V 中的體電荷中的體電荷在在 r 處產(chǎn)生的電位為處產(chǎn)生的電位為1( , )d4VtvtV rrr ,rrrrrzyx (

28、r, t)V dVvtrrr ,r - rO4141 將矢量位方程在直角坐標(biāo)系中展開，則將矢量位方程在直角坐標(biāo)系中展開，則矢量位矢量位 A 各個分量均滿足各個分量均滿足結(jié)構(gòu)相同結(jié)構(gòu)相同的非齊次的非齊次標(biāo)量標(biāo)量波動方程式。波動方程式。 每個分量的解每個分量的解結(jié)構(gòu)同前結(jié)構(gòu)同前。三個分量合成后，矢量。三個分量合成后，矢量位位 A 的解為的解為VvttVd,4),(rrrrrJrA式中式中 V 為電流為電流 J 的分布區(qū)域。的分布區(qū)域。xxxJtAA 222yyyJtAA 222zzzJtAA 222即即42421( , )d4VtvtV rrr,rrrVvttVd,4),(rrrrrJrA 空間某

29、點在時刻空間某點在時刻 t 產(chǎn)生的位必須根據(jù)時刻產(chǎn)生的位必須根據(jù)時刻的源分布進(jìn)行求積。的源分布進(jìn)行求積。vtrr 這就表明，位于這就表明，位于 r 處的源產(chǎn)生的場傳到處的源產(chǎn)生的場傳到 r 處需要一處需要一段時間，這段時差就是段時間，這段時差就是 。vrr 為為源點源點至至場點場點的距離，因此的距離，因此 v 代表電磁波的代表電磁波的傳傳播速度播速度。rr4343 由由 可見，電磁波的可見，電磁波的傳播速度傳播速度與與介質(zhì)特性介質(zhì)特性有關(guān)。有關(guān)。1v這就是這就是光速光速，通常以，通常以 c 表示。表示。 若某一時刻若某一時刻源已消失源已消失，只要前一時刻，只要前一時刻源還存在源還存在，它們原來

30、產(chǎn)生的空間它們原來產(chǎn)生的空間場場仍然存在，這就表明源已將電仍然存在，這就表明源已將電磁能量釋放到空間，這種現(xiàn)象稱為磁能量釋放到空間，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射電磁輻射。)m/s( 1032997924581800v在真空中在真空中 靜止靜止電荷或電荷或恒定恒定電流一旦消失，它們產(chǎn)生的場也電流一旦消失，它們產(chǎn)生的場也隨之失去，因而靜態(tài)場稱為隨之失去，因而靜態(tài)場稱為束縛場束縛場，沒有輻射作用。，沒有輻射作用。4444 源變化源變化越快越快，空間，空間滯后滯后越大，即使在源附近也有越大，即使在源附近也有顯著的電磁輻射。所以似穩(wěn)場和輻射場的區(qū)域劃分不顯著的電磁輻射。所以似穩(wěn)場和輻射場的區(qū)域劃分不僅取決于空間

31、距離，也和源的僅取決于空間距離，也和源的變化快慢變化快慢有關(guān)。有關(guān)。 時變源的時變源的附近附近，時差很小，場強的變化基本上，時差很小，場強的變化基本上與源與源同步同步，所以，所以近處近處的時變場稱為的時變場稱為似穩(wěn)場似穩(wěn)場。 離開時變源的離開時變源的遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處，由于時差很大，輻射效應(yīng)顯，由于時差很大，輻射效應(yīng)顯著，所以著，所以遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處的時變場稱為的時變場稱為輻射場輻射場。 為了向空間輻射電磁能量，必須使用為了向空間輻射電磁能量，必須使用高頻高頻電流電流激勵發(fā)射天線，而通常激勵發(fā)射天線，而通常50Hz的的交流電交流電不可能有效地不可能有效地輻射電磁能量。輻射電磁能量。4545 由于由于 和和A 隨

32、時間的變化總是比源隨時間的變化總是比源落后落后，因此，因此，位函數(shù)位函數(shù) 及及 A 通常稱為通常稱為滯后位滯后位。 前式第二項前式第二項 中的因子中的因子 意味著意味著場場比比源源導(dǎo)前，這就不符合先有源后有場的導(dǎo)前，這就不符合先有源后有場的因果關(guān)系因果關(guān)系。vrtf2vrt那么，它又可理解為向那么，它又可理解為向負(fù)負(fù) r 方向傳播的波，也就是來方向傳播的波，也就是來自無限遠(yuǎn)處的自無限遠(yuǎn)處的反射反射波。波。因子因子 又可寫為又可寫為vrtvrtvrt)( 對于點電荷所在的對于點電荷所在的無限大無限大自由空間，這種反射波自由空間，這種反射波不可能存在不可能存在。4646 面面分布及分布及線線分布的

33、電荷及電流產(chǎn)生的標(biāo)量位分布的電荷及電流產(chǎn)生的標(biāo)量位和矢量位分別如下：和矢量位分別如下：SSvttd,41),( SrrrrrrSSvttd,4),( SrrrrrJrAlllvttd,41),( rrrrrrlvtItlrrrrrrAd,4),( 注意，上述公式僅可用于注意，上述公式僅可用于均勻、線性、各向均勻、線性、各向同性同性的介質(zhì)的介質(zhì)。 4747例：勻速運動點電荷產(chǎn)生的滯后位例：勻速運動點電荷產(chǎn)生的滯后位如如圖所圖所示，示，t 時刻時刻 (r, z) 處的位是處的位是由由 t 時刻時刻的點電荷激發(fā)的的點電荷激發(fā)的，且，且/ttRc所以有所以有222/zvtvRcrR由上式可以求出由上式

34、可以求出 R，從而得到推遲電位，從而得到推遲電位014R電流電流 J =v可以得到可以得到4Rv vA A48486. 能量密度與能流密度矢量能量密度與能流密度矢量 靜態(tài)靜態(tài)場的能量密度公式及損耗功率密度公式場的能量密度公式及損耗功率密度公式可以推廣到可以推廣到時變時變電磁場。電磁場。因此因此，對于對于各向同性各向同性的的線性線性介質(zhì)介質(zhì)時變時變電磁場的能量電磁場的能量密度為密度為 ),( ),( 21),(22tHtEtwrrre1( ,)2wtD DE Er電場電場能量密度能量密度m1( ,)2wtB BH Hr磁場磁場能量密度能量密度( ,)lptE EJ Jr損耗損耗功率密度功率密度4

35、949 時變場的能量密度是時變場的能量密度是空間空間及及時間時間的函數(shù)，而且的函數(shù)，而且時變電磁場的能量還會時變電磁場的能量還會流動流動。 能流密度矢量的能流密度矢量的方向方向表示能量表示能量流動流動方向，其方向，其大大小小表示表示單位單位時間內(nèi)時間內(nèi)垂直垂直穿過單位面積的能量，或者穿過單位面積的能量，或者說垂直穿過單位面積的說垂直穿過單位面積的功率功率，所以該矢量又稱為，所以該矢量又稱為功功率流率流密度矢量。密度矢量。 能量流動密度矢量在英美書刊中稱為能量流動密度矢量在英美書刊中稱為坡印亭坡印亭矢矢量，在俄羅斯書刊中稱為量，在俄羅斯書刊中稱為烏莫夫烏莫夫矢量。矢量。 為了衡量時變場的能量流動

36、的為了衡量時變場的能量流動的方向方向及及強度強度，引，引入入能量流動密度矢量能量流動密度矢量，或簡稱為，或簡稱為能流密度矢量能流密度矢量。5050利用利用矢量矢量恒等式恒等式HEEHHE)(根據(jù)根據(jù)麥克斯韋方程有麥克斯韋方程有 DJHtt D DJ JE EH HE EE E功率損耗可以寫為功率損耗可以寫為()t D DJ JE EE EH HE EEH()tt B BD DH HE EEH對于簡單的介質(zhì)對于簡單的介質(zhì)e12wtttD DE ED DE Em12wtttB BH HB BH H從而有：從而有：em()lpwwt EH5151將上式兩邊對區(qū)域?qū)⑸鲜絻蛇厡^(qū)域 V 求積，得求積，得

37、 em ()dddlVVVVwwVp Vt EH考慮到考慮到 ，那么，那么 ()d() dVSV EHEHSem () dddlSVVp VwwVt EHS該式稱為時變電磁場的該式稱為時變電磁場的能量定理能量定理。em()lpwwt EH5252 矢量矢量( )代表垂直穿過單位面積的功率，因此，代表垂直穿過單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量就是前述的能流密度矢量 S ，單位為，單位為W/m2。HE , , , , E, HSHES即即 d() ddlVSw Vp VtVEHSSEH 可見，可見， ， 。又知。又知 ，因此，因此，S，E 及及 H 三者三者相互垂直相互垂直，且由，且由

38、E 至至 H 與與 S 構(gòu)成構(gòu)成右旋右旋關(guān)系。關(guān)系。HESESH5353能流密度矢量的能流密度矢量的瞬時值瞬時值為為),(),(),(tHtEtSrrr可見，能流密度矢量的可見，能流密度矢量的瞬時值瞬時值等于電場強度和磁等于電場強度和磁場強度瞬時值的場強度瞬時值的乘積乘積。 只有當(dāng)兩者只有當(dāng)兩者同時同時達(dá)到最大值時，能流密度才達(dá)到最大值時，能流密度才達(dá)到達(dá)到最大最大。 若某一時刻電場強度若某一時刻電場強度或或磁場強度為磁場強度為零零，則在，則在該時刻能流密度矢量為該時刻能流密度矢量為零零。5454 例例 用用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送

39、能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a和和b。解：解： 理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零。電磁場分布如圖所示。零。電磁場分布如圖所示。電場電場l n( / )rUrbaEeEe2IrH He el n( / ) 2zUIrbarSEHeSEHe磁場磁場坡印亭矢量坡印亭矢量 同軸電纜中的電磁能流同軸電纜中的電磁能流 22d2l n/bAaU IPdr rU Irba SASA單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面的橫截面的總能量為總能量為 電磁能量是電磁能量是通過介質(zhì)通過介質(zhì)傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用。傳播的，導(dǎo)線只起

40、導(dǎo)向作用。55552zIa J JE Ee e22IraH He e以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為的功率為() dSP E EH HS S22() 2d2rrSIIaa laa e ee e222LII Ra表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。例例 導(dǎo)線半徑為導(dǎo)線半徑為a，長為，長為L ，電導(dǎo)率，電導(dǎo)率為為 ，試用坡印亭矢量計算，試用坡印亭矢量計算導(dǎo)線損耗的能量。導(dǎo)線損耗的能量。電場電場磁場磁場P,ISHE設(shè)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)解：解：思路思路：計算計算導(dǎo)線導(dǎo)線損耗損耗56567. 時變電磁場惟一性定理時變電磁場惟一

41、性定理 在在閉合面閉合面 S 包圍的區(qū)域包圍的區(qū)域 V 中，當(dāng)中，當(dāng)t = 0時刻的電場時刻的電場強度強度 及磁場強度的及磁場強度的初始值初始值給定時，又在給定時，又在 t 0 的時間內(nèi)，的時間內(nèi)，只要只要邊界邊界 S 上的電場強度上的電場強度切向切向分量分量 或或磁場強度的磁場強度的切向切向分量分量 給定后，那么在給定后，那么在 t 0 的的任一時刻任一時刻，體積，體積 V 中中任一任一點點的電磁場由麥克斯韋方程的電磁場由麥克斯韋方程惟一地惟一地確定。確定。采用采用反證法反證法即可證明這個定理。即可證明這個定理。VSE t (r, t) or H t (r, t)E(r, 0)&H(

42、r, 0 )E( r, t), H(r, t )57578. 正弦電磁場正弦電磁場 正弦電磁場正弦電磁場的場強的場強方向方向與時間無關(guān)，但其與時間無關(guān)，但其大大小小隨時間的變化規(guī)律為隨時間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)正弦函數(shù)。式中式中 Em(r) 為正弦時間函數(shù)的為正弦時間函數(shù)的振幅振幅。 為為角頻率角頻率。e(r) 為正弦函數(shù)的為正弦函數(shù)的初始相位初始相位。 任一周期性或非周期性的時間函數(shù)在一定條任一周期性或非周期性的時間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們著重著重討論正弦電磁場是具有討論正弦電磁場是具有實際意義實際意義的的。 正弦正弦電磁

43、場又稱為電磁場又稱為時諧時諧電磁場。電磁場。me( , )( )cos( )ttE rErr即即5858 已知場的變化已知場的變化落后落后于源，但是于源，但是場場與與源源的時間變的時間變化化規(guī)律相同規(guī)律相同，所以正弦電磁場的，所以正弦電磁場的場場和和源源的的頻率相同頻率相同。 對于對于頻率相同頻率相同的正弦量之間的運算可以采用的正弦量之間的運算可以采用復(fù)復(fù)矢量矢量方法，即方法，即僅僅考慮正弦量的考慮正弦量的振幅振幅和和空間空間相位相位 ，而略去而略去時間時間相位相位 t 。)(er瞬時瞬時矢量和矢量和復(fù)復(fù)矢量的關(guān)系為矢量的關(guān)系為 j m( , )Re( ) ettE rEr正弦電磁場是由正弦電

44、磁場是由正弦正弦的時變的時變電荷電荷與與電流電流產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。)(jmmee )()(rrErE)(mrE 電場強度可用一個與時間無關(guān)的復(fù)矢量電場強度可用一個與時間無關(guān)的復(fù)矢量表示為表示為5959)(rE實際中使用有效值，以實際中使用有效值，以 表示有效值，則表示有效值，則)(jee )()(rrErE2)()(mrErE式中式中)(2)(mrErE最大值最大值復(fù)矢量和復(fù)矢量和有效值有效值復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)復(fù)矢量矢量僅僅為為空間空間函數(shù)，與函數(shù)，與時間時間無關(guān)無關(guān)。 只有只有頻率相同頻率相同的正弦量之間才能使用的正弦量之間才能使用復(fù)復(fù)矢量的矢量的方法進(jìn)行運算。方法進(jìn)行

45、運算。60609. 麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式 已知已知正弦正弦電磁場的電磁場的場場與與源源的的頻率相同頻率相同，因此，因此可用可用復(fù)矢量復(fù)矢量形式表示麥克斯韋方程。形式表示麥克斯韋方程。j m( , )Re(j ( )e)tttE rErj Re(j2( )e)tE r考慮到正弦時間函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)為考慮到正弦時間函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)為 jjRe( 2e)Re2j 2ettHJD或或jjjRe( 2e)Re2 eRe j 2 etttHJD因此，麥克斯韋第一方程因此，麥克斯韋第一方程 可表可表示為示為 t EEH 6161 上式對于上式對于任何時刻任何時刻均成立均成立，實實部部

46、符號可以符號可以消消去去，即即DJH2 j22DJH j同理可得同理可得 BE j0 B D j JED HB JEJ 上述方程稱為麥克斯韋方程的上述方程稱為麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式復(fù)矢量形式，式中，式中各量均為各量均為有效值有效值。6262t DJHt BE 0 B DDJH jBE j0 B D瞬時形式瞬時形式(r, t)復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式(r)例例 已知某真空區(qū)域中的時變電磁場的電場瞬時值已知某真空區(qū)域中的時變電磁場的電場瞬時值為為( , )2 si n(10)cos( )yztxtk ze eE r試求磁場強度的復(fù)矢量形式。試求磁場強度的復(fù)矢量形式。6363解解 根據(jù)時變電場瞬時值，求得

47、其有效值的復(fù)根據(jù)時變電場瞬時值，求得其有效值的復(fù)矢量矢量形式為形式為zkyzxje ) 10sin()( erE由于電場僅有由于電場僅有 y 分量，且分量，且 。那么。那么0yEyxEzEyzyxeeEzkzzkzxzzxxkjje ) 10cos( 10e ) 10sin(jeej 0 010( )sin(10 )jcos(10 ) e zk zzxzkxx H ree又知又知HBE0jj0jHE( , )2 si n(10)cos()yztxtk ze eE r646410. 位函數(shù)的復(fù)矢量形式位函數(shù)的復(fù)矢量形式 對于對于正弦正弦函數(shù)，函數(shù)，時間滯后時間滯后因子因子 表現(xiàn)的表現(xiàn)的相位滯后相

48、位滯后為為 。vrrvrr令令vk rrrrkv則則JAA 222t222tJAA 22 226565羅倫茲條件的復(fù)矢量形式羅倫茲條件的復(fù)矢量形式正弦電磁場與位函數(shù)的關(guān)系正弦電磁場與位函數(shù)的關(guān)系VvttVd41),(rrrr,rrVvttVd,4),(rrrrrJrAVVkde )(4)( jrrrJrAr -rVVkde )( 41)( jrrrrr -rtAtAEABAB j j jAAAE)( j)(rrA666611. 復(fù)能流密度矢量復(fù)能流密度矢量時變時變電磁場的電場及磁場能量密度的瞬時形式為電磁場的電場及磁場能量密度的瞬時形式為),( 21),(2etEtwrr),( 21),(2m

49、tHtwrr正弦正弦電磁場的能量密度的電磁場的能量密度的周期周期平均值為平均值為 2eav 01( , ) d2rTwEttT2 me 01( )cos( ) d2TEttTrrm( , )4rEtm2mav( , )4rwHt*HHEE 21 21*avw使用有效值上使用有效值上式又可寫為式又可寫為6767損耗功率密度損耗功率密度也可用復(fù)矢量表示。也可用復(fù)矢量表示。*mm2av 21 )( )(EEEErr*Epl平均值為平均值為),(),(),(tttrHrErSmmeh( )( ) cos( )cos( )ErHr t t已知能流密度矢量已知能流密度矢量 S 的的瞬時值瞬時值為為 其其周期平均值周期平均值為為 ttTd ),(1)( 0 avTrSrS)cos()()(21h emmrHrE*EErrmm2mm)()(Epl其最大值為其最大值為 6868復(fù)復(fù)能流密度矢量能流密度矢量 Sc 為為)()()(*crHrErS式中式中 及及 均為均為有效值有效值。)(rE)(rH*)()(21)(mmcrHrErS*又可用又可用最大值最大值表示為表示為那么，那么，復(fù)復(fù)能流密度矢量能流密度矢量