第七章(時(shí)變電磁場(chǎng))

1、1 1第七章第七章 時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，位函數(shù)，位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，位函數(shù)，能流密度矢量，正弦電磁場(chǎng)，復(fù)能流密度矢量。能流密度矢量，正弦電磁場(chǎng)，復(fù)能流密度矢量。1. 位移電流位移電流2. 麥克斯韋方程麥克斯韋方程3. 時(shí)變時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件電磁場(chǎng)邊界條件4. 標(biāo)量位與矢量位標(biāo)量位與矢量位5. 位函數(shù)方程求解位函數(shù)方程求解6. 能量密度與能流密度矢量能量密度與能流密度矢量7. 時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)惟一性定理惟一性定理8. 正弦電磁場(chǎng)正弦電磁場(chǎng)9. 麥克斯韋方程的麥克斯韋方程的 復(fù)矢量形式復(fù)矢量形式 10. 位函數(shù)的復(fù)矢量形式

2、位函數(shù)的復(fù)矢量形式11. 復(fù)能流密度矢量復(fù)能流密度矢量2 2靜態(tài)場(chǎng)定律的推廣靜態(tài)場(chǎng)定律的推廣 靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)的高斯定律高斯定律dSq DS D 高斯定律的直觀物理圖像是單位電荷激發(fā)一定數(shù)量的電場(chǎng)線。高斯定律的直觀物理圖像是單位電荷激發(fā)一定數(shù)量的電場(chǎng)線。在普遍情況下，這種定量關(guān)系在實(shí)驗(yàn)和理論分析上都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)不合在普遍情況下，這種定量關(guān)系在實(shí)驗(yàn)和理論分析上都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)不合理的地方，也就是說(shuō)：理的地方，也就是說(shuō)：高斯定律在普遍情形中成立高斯定律在普遍情形中成立。v勻速直線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)322222022141si nvcqErvc3 3靜態(tài)靜態(tài)場(chǎng)定律的推廣場(chǎng)定律的推廣 靜電場(chǎng)為靜電場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)無(wú)

3、旋場(chǎng)d0CE El l0E E 在普遍情況下，應(yīng)當(dāng)由法拉第電磁感應(yīng)定律代替在普遍情況下，應(yīng)當(dāng)由法拉第電磁感應(yīng)定律代替 , , , , ,dd, , , , ,lSx y z tx y z ttx y z tx y z tt B BE EB ElS4 4靜態(tài)靜態(tài)場(chǎng)定律的推廣場(chǎng)定律的推廣 恒定磁場(chǎng)的恒定磁場(chǎng)的磁通磁通連續(xù)性連續(xù)性原理原理d0S BS0 B 在普遍情況在普遍情況下對(duì)法拉第電磁感應(yīng)定律兩端取散度下對(duì)法拉第電磁感應(yīng)定律兩端取散度, , , , ,x y z tx y z tt B BE E, , , , ,0 x y z tx y z tt B BE E, , ,x y z t B B

4、不隨時(shí)間變化，恒為零5 51. 位移電流位移電流恒定恒定磁場(chǎng)的旋度性質(zhì)磁場(chǎng)的旋度性質(zhì)dSqt JSt J電荷守恒原理：電荷守恒原理： 兩者發(fā)生了兩者發(fā)生了尖銳的矛盾尖銳的矛盾安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律 ddlS H HJ J HlJS0 H HJ兩邊同時(shí)取散度兩邊同時(shí)取散度6 6對(duì)安培環(huán)路定律的修正對(duì)安培環(huán)路定律的修正 dd() dlSJ HlJS ddlS HlJS H HJ J dHJHJJ J dH HJ JJ J dJ JJ J d0J JJ Jt（旋度的散度為零）（旋度的散度為零）（電荷守恒定律）（電荷守恒定律） tD D（高斯定律）（高斯定律） tD DdtDJ即即它具有它具有電流密

5、度電流密度量綱，麥克斯韋將其稱為量綱，麥克斯韋將其稱為位移電流密度位移電流密度7 7 位移電流位移電流 電流連續(xù)是客觀存電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，例如真在的物理現(xiàn)象，例如真空電容器中的電流?？针娙萜髦械碾娏鳌 () d0SJJS全電流連續(xù)性定律的積分形式為全電流連續(xù)性定律的積分形式為0)(dJJ引入位移電流后引入位移電流后上式稱為上式稱為全電流連續(xù)性原理全電流連續(xù)性原理。它包括了。它包括了傳導(dǎo)傳導(dǎo)電流，電流，運(yùn)流運(yùn)流電流電流及及位移位移電流。電流。位移電流密度位移電流密度dtDJ8 8 麥克斯韋認(rèn)為麥克斯韋認(rèn)為位移電流位移電流也可產(chǎn)生也可產(chǎn)生磁場(chǎng)磁場(chǎng)，因此前述，因此前述安培環(huán)路定律變?yōu)榘?/p>

6、培環(huán)路定律變?yōu)?d d() dlS HlJJSII d2lrHI Hld0J d() ddSSJJS =JS = I0J dDJt0Et0Udt0Qd C t001IISdSdd d2lrHJ SI Hl9 9全電流連續(xù)性的全電流連續(xù)性的另一另一個(gè)例子個(gè)例子金屬基地金屬基地絕緣電介質(zhì)絕緣電介質(zhì)電子束電子束電流表能檢測(cè)到電流嗎？電流表能檢測(cè)到電流嗎？1010對(duì)于對(duì)于靜靜電場(chǎng)，由于電場(chǎng)，由于 ，自然，自然不不存在位移電流。存在位移電流。0tD 對(duì)于對(duì)于時(shí)變時(shí)變電場(chǎng)，電場(chǎng)變化電場(chǎng)，電場(chǎng)變化愈快愈快，產(chǎn)生的位移電流，產(chǎn)生的位移電流密度也密度也愈大愈大。cdJJ 在良導(dǎo)體中在良導(dǎo)體中已知傳導(dǎo)電流密度已知

7、傳導(dǎo)電流密度 ，因此，因此EJ ccdJJ 在電導(dǎo)率較低的介質(zhì)中在電導(dǎo)率較低的介質(zhì)中1111d() dlStDHlJSt DJH即即 上兩式稱為上兩式稱為全電流定律全電流定律。它表明時(shí)變磁場(chǎng)是由。它表明時(shí)變磁場(chǎng)是由傳導(dǎo)傳導(dǎo)電流，電流，運(yùn)流運(yùn)流電流以及電流以及位移位移電流共同產(chǎn)生的。電流共同產(chǎn)生的。 位移電流是由時(shí)變電場(chǎng)形成的，由此可見(jiàn)，位移電流是由時(shí)變電場(chǎng)形成的，由此可見(jiàn)，時(shí)變時(shí)變電場(chǎng)電場(chǎng)可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)時(shí)變磁場(chǎng)。 電磁感應(yīng)定律表明，電磁感應(yīng)定律表明，時(shí)變磁場(chǎng)時(shí)變磁場(chǎng)可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)時(shí)變電場(chǎng)。因此，麥克斯韋引入位移電流以后，預(yù)見(jiàn)因此，麥克斯韋引入位移電流以后，預(yù)見(jiàn)時(shí)變電場(chǎng)時(shí)變電

8、場(chǎng)與與時(shí)變磁場(chǎng)時(shí)變磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)化的特性可能會(huì)在空間形成相互轉(zhuǎn)化的特性可能會(huì)在空間形成電磁波電磁波。12122. 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 靜態(tài)場(chǎng)中的靜態(tài)場(chǎng)中的高斯定理高斯定理及及磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理對(duì)于時(shí)變電對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)磁場(chǎng)仍然成立。仍然成立。那么，對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，麥克斯韋歸納那么，對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，麥克斯韋歸納為如下為如下4 4 個(gè)方程：個(gè)方程： d() dlStD HlJS ddlSt B ElSd0S BS dSqDS積分形式積分形式t DJHt BE 0 B D微分形式微分形式全電流定律全電流定律電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理高斯定律高斯定律1313 時(shí)變時(shí)

9、變電場(chǎng)電場(chǎng)是是有旋有散有旋有散的，時(shí)變的，時(shí)變磁場(chǎng)磁場(chǎng)是是有旋無(wú)散有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散有旋有散場(chǎng)。場(chǎng)。在在無(wú)源區(qū)無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無(wú)無(wú)散的。散的。 d() dlStD HlJS ddlSt B ElSd0S BS dSqDS積分形式積分形式t DJHt BE 0 B D微分形式微分形式1414 電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈相互交鏈，自行閉合自行閉合，從而，從而在空間形成在空間形成電磁波電磁波。時(shí)變時(shí)變電場(chǎng)電場(chǎng)與時(shí)變與時(shí)變磁場(chǎng)磁場(chǎng)處處

10、處處相互垂直相互垂直。 為了為了完整完整地描述時(shí)變電磁場(chǎng)的特性，麥克斯韋地描述時(shí)變電磁場(chǎng)的特性，麥克斯韋方程還應(yīng)包括方程還應(yīng)包括電荷守恒電荷守恒方程以及說(shuō)明方程以及說(shuō)明場(chǎng)場(chǎng)與與介質(zhì)介質(zhì)關(guān)系關(guān)系的方程，即的方程，即t JED HB JEJ 式中式中 代表代表電流電流源或非電的源或非電的外外源。源。J15151616 麥克斯韋方程組中各個(gè)方程麥克斯韋方程組中各個(gè)方程不是不是完全獨(dú)立的。完全獨(dú)立的?？梢杂傻诳梢杂傻?1、2 方程導(dǎo)出第方程導(dǎo)出第 3、4 方程，方程，或反之或反之。 對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)，則對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)，則 0ttttBHDE那么，上述麥克斯韋方程變?yōu)槟敲矗鲜鳆溈怂鬼f方程變?yōu)殪o電場(chǎng)靜電場(chǎng)方程和方

11、程和恒定恒定磁場(chǎng)磁場(chǎng)方程，方程，電場(chǎng)電場(chǎng)與與磁場(chǎng)磁場(chǎng)不再相關(guān)，不再相關(guān)，彼此獨(dú)立彼此獨(dú)立。 t DJH D0 Bt BE 1717 這個(gè)方程的提出是牛頓時(shí)代以來(lái)物這個(gè)方程的提出是牛頓時(shí)代以來(lái)物理學(xué)上的一個(gè)重要事件，它是關(guān)于場(chǎng)理學(xué)上的一個(gè)重要事件，它是關(guān)于場(chǎng)的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多比我們指出的要豐富得多。物理學(xué)的進(jìn)化物理學(xué)的進(jìn)化Albert Einstein & Leopold Infeld1818從從人類(lèi)歷史的漫長(zhǎng)遠(yuǎn)景來(lái)看人類(lèi)歷史的漫長(zhǎng)遠(yuǎn)景來(lái)看即即使過(guò)使過(guò)一萬(wàn)年一萬(wàn)年之后回頭來(lái)看之后回頭來(lái)看毫無(wú)毫無(wú)疑問(wèn)，在十九世紀(jì)中發(fā)生的疑

12、問(wèn)，在十九世紀(jì)中發(fā)生的最有意最有意義義的事件將判定是麥克斯韋對(duì)于電的事件將判定是麥克斯韋對(duì)于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事與這一重大科學(xué)事件相比之下，件相比之下， 同一個(gè)十年中發(fā)生同一個(gè)十年中發(fā)生的的美國(guó)內(nèi)戰(zhàn)美國(guó)內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會(huì)降）將會(huì)降低為一個(gè)低為一個(gè)地區(qū)性地區(qū)性瑣事而黯然失色瑣事而黯然失色”。費(fèi)曼物理學(xué)講義費(fèi)曼物理學(xué)講義Richard P. Feynman1919英國(guó)科學(xué)期刊英國(guó)科學(xué)期刊物理世界物理世界曾讓讀者投票評(píng)選了曾讓讀者投票評(píng)選了“最偉大最偉大的公式的公式”，Maxwell方程在最終方程在最終榜上有名的十個(gè)榜上有名的十個(gè)公式中排公式中排名第一名第一任何

13、一個(gè)能把這幾個(gè)公式看懂的人，一定會(huì)感到背后有涼風(fēng)如果沒(méi)有上帝，怎么解釋如此完美的方程？這組公式融合了電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。比較謙虛的評(píng)價(jià)是：“一般地，宇宙間任何的電磁現(xiàn)象，皆可由此方程組解釋。”到后來(lái)麥克斯韋僅靠紙筆演算，就從這組公式預(yù)言了電磁波的存在。我們不是總喜歡編一些故事，比如愛(ài)因斯坦小時(shí)候因?yàn)槟骋淮碳亩呱狭税l(fā)奮學(xué)習(xí)、報(bào)效祖國(guó)的道路么？事實(shí)上，這個(gè)刺激就是你看到的這個(gè)方程組。也正是因?yàn)檫@個(gè)方程組完美統(tǒng)一了整個(gè)電磁場(chǎng)，讓愛(ài)因斯坦始終想要以同樣的方式統(tǒng)一引力場(chǎng)，并將宏觀與微觀的兩種力放在同一組式子中：即著名的“大一統(tǒng)理論”。愛(ài)因斯坦直到去世都沒(méi)有走出這個(gè)隧道

14、，而如果一旦走出去，我們將會(huì)在隧道另一頭看到上帝本人。2020 處于信息時(shí)代的今天，從嬰兒處于信息時(shí)代的今天，從嬰兒監(jiān)控監(jiān)控器到各種器到各種遙遙控控設(shè)備、從設(shè)備、從雷達(dá)雷達(dá)到到微波爐微波爐、從、從地面地面廣播電視到廣播電視到太空太空衛(wèi)星衛(wèi)星廣播電視、從地面廣播電視、從地面移動(dòng)移動(dòng)通信到宇宙通信到宇宙星際星際通信、通信、從室外從室外無(wú)線無(wú)線局域網(wǎng)到室內(nèi)局域網(wǎng)到室內(nèi)藍(lán)牙藍(lán)牙技術(shù)、以及技術(shù)、以及全球衛(wèi)星全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)定位導(dǎo)航系統(tǒng)等，無(wú)不利用等，無(wú)不利用電磁波電磁波作為作為信息載體信息載體。 無(wú)線無(wú)線信息高速公路使人們能在信息高速公路使人們能在任何地點(diǎn)任何地點(diǎn)、任何任何時(shí)間時(shí)間同同任何人任何人取

15、得聯(lián)系。取得聯(lián)系。 如此廣泛的應(yīng)用說(shuō)明了如此廣泛的應(yīng)用說(shuō)明了麥克斯韋麥克斯韋和和赫茲赫茲對(duì)于人對(duì)于人類(lèi)類(lèi)文明文明和和進(jìn)步進(jìn)步的偉大貢獻(xiàn)。的偉大貢獻(xiàn)。 目前中國(guó)已目前中國(guó)已有超過(guò)有超過(guò)1010億億移動(dòng)通信用戶，移動(dòng)通信用戶，一億多一億多因因特網(wǎng)用戶。特網(wǎng)用戶。 21213. 時(shí)變時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件 在在任何任何邊界上邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度的的切向切向分量是連續(xù)的分量是連續(xù)的，即，即 2t1tEE 或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?0)(12nEEe 因?yàn)橹灰驗(yàn)橹灰磐芏却磐芏鹊牡臅r(shí)間變化率時(shí)間變化率是是有限有限的，那的，那么由電磁感應(yīng)定律的積分形式么由電磁感應(yīng)定律的積分形式d

16、dlSt BElS即可獲得上面結(jié)果。即可獲得上面結(jié)果。對(duì)于對(duì)于各向同性各向同性的的線性線性媒質(zhì)，得媒質(zhì)，得2 t21 t 1DDen2222 在在任何任何邊界上，邊界上，磁通密度磁通密度的的法向法向分量是連續(xù)的。分量是連續(xù)的。 或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?0)(12nBBe 電通密度電通密度的的法向法向分量邊界條件與分量邊界條件與介質(zhì)介質(zhì)特性有關(guān)。特性有關(guān)。 在在一般一般情況下，由高斯定律求得情況下，由高斯定律求得 2n1nSDD或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?n21()SeDD式中式中 S 為邊界表面上為邊界表面上自由自由電荷的面密度。電荷的面密度。對(duì)于對(duì)于各向同性各向同性的的線性線性媒質(zhì)，

17、得媒質(zhì)，得n22 n11 HH上式由磁通連續(xù)性原理上式由磁通連續(xù)性原理 求得。求得。 0dSSB2nn1BB即即2323 兩種兩種理想介質(zhì)理想介質(zhì)的邊界上不可能存在的邊界上不可能存在表面表面自由自由電荷，因此電荷，因此2n1nDD 磁場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度的的切向切向分量邊界條件分量邊界條件也與也與介介質(zhì)特性質(zhì)特性有有關(guān)關(guān)。 在一般情況下，由于邊界上不可能存在在一般情況下，由于邊界上不可能存在表面電表面電流流，根據(jù)全電流定律，只要電通密度的，根據(jù)全電流定律，只要電通密度的時(shí)間變化率時(shí)間變化率是有限的，可得是有限的，可得t21tHH0)(12nHHe或?qū)懗墒噶啃问交驅(qū)懗墒噶啃问?對(duì)于對(duì)于各向同性各向同性

18、的的線性線性介質(zhì)，得介質(zhì)，得2n2 n11 EE2424 在在理想導(dǎo)電理想導(dǎo)電體表面上可以形成體表面上可以形成表面電流表面電流，此時(shí)，此時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量不再不再連續(xù)。連續(xù)。 在在理想導(dǎo)電體內(nèi)部理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在不可能存在時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)及及時(shí)時(shí)變的傳導(dǎo)電流變的傳導(dǎo)電流，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的表表面面。 E(t), B (t), J (t) = 0E 0 J = E H 0 E 0J 0 H 02525 已知在已知在任何任何邊界上，邊界上，電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度的的切向切向分量及分量及磁通磁通密度密度的的法向法向分量是連續(xù)的，因此理想

19、導(dǎo)體表面上不可分量是連續(xù)的，因此理想導(dǎo)體表面上不可能存在能存在電場(chǎng)切向電場(chǎng)切向分量及分量及磁場(chǎng)法向磁場(chǎng)法向分量，即分量，即時(shí)變電場(chǎng)時(shí)變電場(chǎng)必必須須垂直垂直于理想導(dǎo)電體的表面，而時(shí)變于理想導(dǎo)電體的表面，而時(shí)變磁場(chǎng)磁場(chǎng)必須與其表必須與其表面面相切相切。 E H , enet2626因因 ，由前式得，由前式得 01nD2nSD或或nSeD 由于理想導(dǎo)電體表面存在由于理想導(dǎo)電體表面存在表面電流表面電流JS ，令，令表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成右旋右旋關(guān)系，關(guān)系，因因 ，求得，求得01tH2tSH JnSeHJ或或 E H , enet H1t H2t JSn JeH

20、Sn eHnD=eJSt st2727例例 已知內(nèi)截面為已知內(nèi)截面為a b 的的矩形矩形金屬波導(dǎo)中的時(shí)變金屬波導(dǎo)中的時(shí)變電磁場(chǎng)的各分量為電磁場(chǎng)的各分量為 ) sin(cos0zktxaHHzzz) cos(sin0zktxaHHzxx) cos(sin0zktxaEEzyy其坐標(biāo)如圖示。試求波導(dǎo)中的其坐標(biāo)如圖示。試求波導(dǎo)中的位移電流位移電流分布和波導(dǎo)分布和波導(dǎo)內(nèi)內(nèi)壁壁上的上的電荷電荷及及電流電流分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空。 azyxb2828解解 由前式求得位移電流為由前式求得位移電流為 t DJd) sin(sin 00zktxaEezyy 在在 y = 0 的內(nèi)壁上的內(nèi)壁上

21、00( ) SyyyEeE()SyxzzxxzHH JeHHee在在 y = b 的內(nèi)壁上的內(nèi)壁上 00( ) SyyyE eE()SyxzzxxzHH JeHHeeazyxb2929在在 x = 0 的側(cè)壁上，的側(cè)壁上， 0 xH00sin( )sin( )SxzzzyzzHtk zHtk z Jeee00(sin( )sin( )SxzzzyzzHtk zHtk z Jeee0 xH在在 x = a 的側(cè)壁上，的側(cè)壁上， 在在 x = 0 及及 x = a 的側(cè)壁的側(cè)壁上，因上，因 ，所以，所以 。 0yE0Szyx內(nèi)壁電流內(nèi)壁電流30304. 標(biāo)量位與矢量位標(biāo)量位與矢量位 設(shè)介質(zhì)是設(shè)介質(zhì)

22、是線性均勻線性均勻且且各向同性各向同性的，那么由麥的，那么由麥克斯韋方程可得克斯韋方程可得JHH22 t Et DJHt BE 0 B D微分形式微分形式t Bt Htt DJ22ttJEttJEE22 同理同理3131JHH22 tttJEE22 利用矢量利用矢量恒等式恒等式AAA20BDJHH222t1222ttJEE場(chǎng)與源的關(guān)系比較場(chǎng)與源的關(guān)系比較復(fù)雜復(fù)雜。2 EEE21 E3232式中式中 A 稱為稱為矢量位矢量位。將上式代入式將上式代入式 中，得中，得t BE )(AEt 已知已知 ，因此，因此 B 可以表示為矢量場(chǎng)可以表示為矢量場(chǎng) A 的旋度。的旋度。0 B 引入引入標(biāo)量位標(biāo)量位與

23、與矢量位矢量位作為兩個(gè)作為兩個(gè)輔助函數(shù)輔助函數(shù), ,可以可以簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)的求解。簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)的求解。 AB即即3333上式又可改寫(xiě)為上式又可改寫(xiě)為0tAE可見(jiàn)，矢量場(chǎng)可見(jiàn)，矢量場(chǎng) 為為無(wú)旋無(wú)旋場(chǎng)。因此可以表示為場(chǎng)。因此可以表示為一個(gè)一個(gè)標(biāo)量標(biāo)量場(chǎng)場(chǎng) 的的梯度梯度。tAE式中式中 稱為稱為標(biāo)量位標(biāo)量位。當(dāng)當(dāng) A 與與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，時(shí)，ABE因此，標(biāo)量位因此，標(biāo)量位 標(biāo)量電位標(biāo)量電位；矢量位；矢量位 A 矢量磁位矢量磁位。tAE即即tAE求得求得3434將位函數(shù)代入將位函數(shù)代入麥克斯韋方程麥克斯韋方程，求得，求得 tttAAJA22 JAAAtt222)()(2At 再利用矢量恒等式再利

24、用矢量恒等式 ，上兩式又可表示為上兩式又可表示為AAA23535 已定義了矢量場(chǎng)已定義了矢量場(chǎng) A 的的旋度旋度， ，必須，必須再規(guī)定其再規(guī)定其散度散度。BA 則前兩式可以簡(jiǎn)化為則前兩式可以簡(jiǎn)化為 222tt AAJ2 庫(kù)侖規(guī)范庫(kù)侖規(guī)范0 A一一種種簡(jiǎn)單的考慮是簡(jiǎn)單的考慮是 標(biāo)量電位為庫(kù)侖場(chǎng)標(biāo)量電位為庫(kù)侖場(chǎng)與與電流和電荷電流和電荷均均 有關(guān)有關(guān)電場(chǎng)電場(chǎng)t A AE E包含庫(kù)侖場(chǎng)和感應(yīng)場(chǎng)包含庫(kù)侖場(chǎng)和感應(yīng)場(chǎng)3636則前兩式可以簡(jiǎn)化為則前兩式可以簡(jiǎn)化為 JAA 222t222t羅倫茲條件羅倫茲條件tA另一種為另一種為 僅與僅與電荷電荷 有關(guān)有關(guān)僅與僅與電流電流 J 有關(guān)有關(guān)原來(lái)兩個(gè)相互原來(lái)兩個(gè)相互關(guān)

25、聯(lián)關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€(gè)的方程變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立獨(dú)立方程。方程。tttAAJA22 3737原來(lái)電磁場(chǎng)的原來(lái)電磁場(chǎng)的矢量矢量方程為方程為JHH222t1222ttJEE在三維空間中僅需求解在三維空間中僅需求解 4 個(gè)坐標(biāo)分量。個(gè)坐標(biāo)分量。位函數(shù)位函數(shù)方程為一個(gè)方程為一個(gè)矢量矢量方程和一個(gè)方程和一個(gè)標(biāo)量標(biāo)量方程方程JAA 222t222t在直角坐標(biāo)系中，實(shí)際上等于求解在直角坐標(biāo)系中，實(shí)際上等于求解 1 個(gè)標(biāo)量方程。個(gè)標(biāo)量方程。在三維空間中需要求解在三維空間中需要求解 6 個(gè)坐標(biāo)分量。個(gè)坐標(biāo)分量。3838根據(jù)靜態(tài)場(chǎng)結(jié)果，采用類(lèi)比方法推出其解。根據(jù)靜態(tài)場(chǎng)結(jié)果，采用類(lèi)比方法推出其解。5. 位函數(shù)方程的求解位函數(shù)

26、方程的求解 當(dāng)時(shí)變點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)當(dāng)時(shí)變點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，其場(chǎng)分布與時(shí)，其場(chǎng)分布與 及及 無(wú)關(guān)。那無(wú)關(guān)。那么，在么，在除除坐標(biāo)原點(diǎn)以外整個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)以外整個(gè)無(wú)源無(wú)源空間，位函數(shù)空間，位函數(shù) 滿足的方程式為滿足的方程式為 先求解時(shí)變先求解時(shí)變點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷的矢量位，再利用的矢量位，再利用疊加原理疊加原理導(dǎo)出分布的時(shí)變導(dǎo)出分布的時(shí)變體電荷體電荷的矢量位。的矢量位。rtrvrr0 0) (1) (222221v式中式中rzyx (r, t)O3939上式為函數(shù)上式為函數(shù)( r)的齊次的齊次波動(dòng)波動(dòng)方程，其通解為方程，其通解為 vrtfvrtfr21 式中第二項(xiàng)不符合實(shí)際的式中第二項(xiàng)不符合實(shí)際的物理

27、條件物理?xiàng)l件，應(yīng)該舍去。，應(yīng)該舍去。因此，求得位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為因此，求得位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為1( , )rf tvtrr已知位于原點(diǎn)的靜止已知位于原點(diǎn)的靜止點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 q 產(chǎn)生產(chǎn)生的電位為的電位為 ( )4qrr可見(jiàn)可見(jiàn)函數(shù)函數(shù) f1 為為14rq tvrf tv4040因此位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷的標(biāo)量位為因此位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷的標(biāo)量位為Vrvrttd 4 ),( dr式中式中r 為體元為體元 dV 至場(chǎng)點(diǎn)的距離。至場(chǎng)點(diǎn)的距離。 位于位于V 中的體電荷中的體電荷在在 r 處產(chǎn)生的電位為處產(chǎn)生的電位為1( , )d4VtvtV rrr ,rrrrrzyx (

28、r, t)V dVvtrrr ,r - rO4141 將矢量位方程在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)，則將矢量位方程在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)，則矢量位矢量位 A 各個(gè)分量均滿足各個(gè)分量均滿足結(jié)構(gòu)相同結(jié)構(gòu)相同的非齊次的非齊次標(biāo)量標(biāo)量波動(dòng)方程式。波動(dòng)方程式。 每個(gè)分量的解每個(gè)分量的解結(jié)構(gòu)同前結(jié)構(gòu)同前。三個(gè)分量合成后，矢量。三個(gè)分量合成后，矢量位位 A 的解為的解為VvttVd,4),(rrrrrJrA式中式中 V 為電流為電流 J 的分布區(qū)域。的分布區(qū)域。xxxJtAA 222yyyJtAA 222zzzJtAA 222即即42421( , )d4VtvtV rrr,rrrVvttVd,4),(rrrrrJrA 空間某

29、點(diǎn)在時(shí)刻空間某點(diǎn)在時(shí)刻 t 產(chǎn)生的位必須根據(jù)時(shí)刻產(chǎn)生的位必須根據(jù)時(shí)刻的源分布進(jìn)行求積。的源分布進(jìn)行求積。vtrr 這就表明，位于這就表明，位于 r 處的源產(chǎn)生的場(chǎng)傳到處的源產(chǎn)生的場(chǎng)傳到 r 處需要一處需要一段時(shí)間，這段時(shí)差就是段時(shí)間，這段時(shí)差就是 。vrr 為為源點(diǎn)源點(diǎn)至至場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)的距離，因此的距離，因此 v 代表電磁波的代表電磁波的傳傳播速度播速度。rr4343 由由 可見(jiàn)，電磁波的可見(jiàn)，電磁波的傳播速度傳播速度與與介質(zhì)特性介質(zhì)特性有關(guān)。有關(guān)。1v這就是這就是光速光速，通常以，通常以 c 表示。表示。 若某一時(shí)刻若某一時(shí)刻源已消失源已消失，只要前一時(shí)刻，只要前一時(shí)刻源還存在源還存在，它們?cè)瓉?lái)

30、產(chǎn)生的空間它們?cè)瓉?lái)產(chǎn)生的空間場(chǎng)場(chǎng)仍然存在，這就表明源已將電仍然存在，這就表明源已將電磁能量釋放到空間，這種現(xiàn)象稱為磁能量釋放到空間，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射電磁輻射。)m/s( 1032997924581800v在真空中在真空中 靜止靜止電荷或電荷或恒定恒定電流一旦消失，它們產(chǎn)生的場(chǎng)也電流一旦消失，它們產(chǎn)生的場(chǎng)也隨之失去，因而靜態(tài)場(chǎng)稱為隨之失去，因而靜態(tài)場(chǎng)稱為束縛場(chǎng)束縛場(chǎng)，沒(méi)有輻射作用。，沒(méi)有輻射作用。4444 源變化源變化越快越快，空間，空間滯后滯后越大，即使在源附近也有越大，即使在源附近也有顯著的電磁輻射。所以似穩(wěn)場(chǎng)和輻射場(chǎng)的區(qū)域劃分不顯著的電磁輻射。所以似穩(wěn)場(chǎng)和輻射場(chǎng)的區(qū)域劃分不僅取決于空間

31、距離，也和源的僅取決于空間距離，也和源的變化快慢變化快慢有關(guān)。有關(guān)。 時(shí)變?cè)吹臅r(shí)變?cè)吹母浇浇瑫r(shí)差很小，場(chǎng)強(qiáng)的變化基本上，時(shí)差很小，場(chǎng)強(qiáng)的變化基本上與源與源同步同步，所以，所以近處近處的時(shí)變場(chǎng)稱為的時(shí)變場(chǎng)稱為似穩(wěn)場(chǎng)似穩(wěn)場(chǎng)。 離開(kāi)時(shí)變?cè)吹碾x開(kāi)時(shí)變?cè)吹倪h(yuǎn)處遠(yuǎn)處，由于時(shí)差很大，輻射效應(yīng)顯，由于時(shí)差很大，輻射效應(yīng)顯著，所以著，所以遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處的時(shí)變場(chǎng)稱為的時(shí)變場(chǎng)稱為輻射場(chǎng)輻射場(chǎng)。 為了向空間輻射電磁能量，必須使用為了向空間輻射電磁能量，必須使用高頻高頻電流電流激勵(lì)發(fā)射天線，而通常激勵(lì)發(fā)射天線，而通常50Hz的的交流電交流電不可能有效地不可能有效地輻射電磁能量。輻射電磁能量。4545 由于由于 和和A 隨

32、時(shí)間的變化總是比源隨時(shí)間的變化總是比源落后落后，因此，因此，位函數(shù)位函數(shù) 及及 A 通常稱為通常稱為滯后位滯后位。 前式第二項(xiàng)前式第二項(xiàng) 中的因子中的因子 意味著意味著場(chǎng)場(chǎng)比比源源導(dǎo)前，這就不符合先有源后有場(chǎng)的導(dǎo)前，這就不符合先有源后有場(chǎng)的因果關(guān)系因果關(guān)系。vrtf2vrt那么，它又可理解為向那么，它又可理解為向負(fù)負(fù) r 方向傳播的波，也就是來(lái)方向傳播的波，也就是來(lái)自無(wú)限遠(yuǎn)處的自無(wú)限遠(yuǎn)處的反射反射波。波。因子因子 又可寫(xiě)為又可寫(xiě)為vrtvrtvrt)( 對(duì)于點(diǎn)電荷所在的對(duì)于點(diǎn)電荷所在的無(wú)限大無(wú)限大自由空間，這種反射波自由空間，這種反射波不可能存在不可能存在。4646 面面分布及分布及線線分布的

33、電荷及電流產(chǎn)生的標(biāo)量位分布的電荷及電流產(chǎn)生的標(biāo)量位和矢量位分別如下：和矢量位分別如下：SSvttd,41),( SrrrrrrSSvttd,4),( SrrrrrJrAlllvttd,41),( rrrrrrlvtItlrrrrrrAd,4),( 注意，上述公式僅可用于注意，上述公式僅可用于均勻、線性、各向均勻、線性、各向同性同性的介質(zhì)的介質(zhì)。 4747例：勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的滯后位例：勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的滯后位如如圖所圖所示，示，t 時(shí)刻時(shí)刻 (r, z) 處的位是處的位是由由 t 時(shí)刻時(shí)刻的點(diǎn)電荷激發(fā)的的點(diǎn)電荷激發(fā)的，且，且/ttRc所以有所以有222/zvtvRcrR由上式可以求出由上式

34、可以求出 R，從而得到推遲電位，從而得到推遲電位014R電流電流 J =v可以得到可以得到4Rv vA A48486. 能量密度與能流密度矢量能量密度與能流密度矢量 靜態(tài)靜態(tài)場(chǎng)的能量密度公式及損耗功率密度公式場(chǎng)的能量密度公式及損耗功率密度公式可以推廣到可以推廣到時(shí)變時(shí)變電磁場(chǎng)。電磁場(chǎng)。因此因此，對(duì)于對(duì)于各向同性各向同性的的線性線性介質(zhì)介質(zhì)時(shí)變時(shí)變電磁場(chǎng)的能量電磁場(chǎng)的能量密度為密度為 ),( ),( 21),(22tHtEtwrrre1( ,)2wtD DE Er電場(chǎng)電場(chǎng)能量密度能量密度m1( ,)2wtB BH Hr磁場(chǎng)磁場(chǎng)能量密度能量密度( ,)lptE EJ Jr損耗損耗功率密度功率密度4

35、949 時(shí)變場(chǎng)的能量密度是時(shí)變場(chǎng)的能量密度是空間空間及及時(shí)間時(shí)間的函數(shù)，而且的函數(shù)，而且時(shí)變電磁場(chǎng)的能量還會(huì)時(shí)變電磁場(chǎng)的能量還會(huì)流動(dòng)流動(dòng)。 能流密度矢量的能流密度矢量的方向方向表示能量表示能量流動(dòng)流動(dòng)方向，其方向，其大大小小表示表示單位單位時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)垂直垂直穿過(guò)單位面積的能量，或者穿過(guò)單位面積的能量，或者說(shuō)垂直穿過(guò)單位面積的說(shuō)垂直穿過(guò)單位面積的功率功率，所以該矢量又稱為，所以該矢量又稱為功功率流率流密度矢量。密度矢量。 能量流動(dòng)密度矢量在英美書(shū)刊中稱為能量流動(dòng)密度矢量在英美書(shū)刊中稱為坡印亭坡印亭矢矢量，在俄羅斯書(shū)刊中稱為量，在俄羅斯書(shū)刊中稱為烏莫夫?yàn)跄蚴噶?。矢量?為了衡量時(shí)變場(chǎng)的能量流動(dòng)

36、的為了衡量時(shí)變場(chǎng)的能量流動(dòng)的方向方向及及強(qiáng)度強(qiáng)度，引，引入入能量流動(dòng)密度矢量能量流動(dòng)密度矢量，或簡(jiǎn)稱為，或簡(jiǎn)稱為能流密度矢量能流密度矢量。5050利用利用矢量矢量恒等式恒等式HEEHHE)(根據(jù)根據(jù)麥克斯韋方程有麥克斯韋方程有 DJHtt D DJ JE EH HE EE E功率損耗可以寫(xiě)為功率損耗可以寫(xiě)為()t D DJ JE EE EH HE EEH()tt B BD DH HE EEH對(duì)于簡(jiǎn)單的介質(zhì)對(duì)于簡(jiǎn)單的介質(zhì)e12wtttD DE ED DE Em12wtttB BH HB BH H從而有：從而有：em()lpwwt EH5151將上式兩邊對(duì)區(qū)域?qū)⑸鲜絻蛇厡?duì)區(qū)域 V 求積，得求積，得

37、 em ()dddlVVVVwwVp Vt EH考慮到考慮到 ，那么，那么 ()d() dVSV EHEHSem () dddlSVVp VwwVt EHS該式稱為時(shí)變電磁場(chǎng)的該式稱為時(shí)變電磁場(chǎng)的能量定理能量定理。em()lpwwt EH5252 矢量矢量( )代表垂直穿過(guò)單位面積的功率，因此，代表垂直穿過(guò)單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量就是前述的能流密度矢量 S ，單位為，單位為W/m2。HE , , , , E, HSHES即即 d() ddlVSw Vp VtVEHSSEH 可見(jiàn)，可見(jiàn)， ， 。又知。又知 ，因此，因此，S，E 及及 H 三者三者相互垂直相互垂直，且由，且由

38、E 至至 H 與與 S 構(gòu)成構(gòu)成右旋右旋關(guān)系。關(guān)系。HESESH5353能流密度矢量的能流密度矢量的瞬時(shí)值瞬時(shí)值為為),(),(),(tHtEtSrrr可見(jiàn)，能流密度矢量的可見(jiàn)，能流密度矢量的瞬時(shí)值瞬時(shí)值等于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁等于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值的場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值的乘積乘積。 只有當(dāng)兩者只有當(dāng)兩者同時(shí)同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，能流密度才達(dá)到最大值時(shí)，能流密度才達(dá)到達(dá)到最大最大。 若某一時(shí)刻電場(chǎng)強(qiáng)度若某一時(shí)刻電場(chǎng)強(qiáng)度或或磁場(chǎng)強(qiáng)度為磁場(chǎng)強(qiáng)度為零零，則在，則在該時(shí)刻能流密度矢量為該時(shí)刻能流密度矢量為零零。5454 例例 用用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送

39、能量的過(guò)程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為量的過(guò)程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a和和b。解：解： 理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)為理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)為零。電磁場(chǎng)分布如圖所示。零。電磁場(chǎng)分布如圖所示。電場(chǎng)電場(chǎng)l n( / )rUrbaEeEe2IrH He el n( / ) 2zUIrbarSEHeSEHe磁場(chǎng)磁場(chǎng)坡印亭矢量坡印亭矢量 同軸電纜中的電磁能流同軸電纜中的電磁能流 22d2l n/bAaU IPdr rU Irba SASA單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面的橫截面的總能量為總能量為 電磁能量是電磁能量是通過(guò)介質(zhì)通過(guò)介質(zhì)傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用。傳播的，導(dǎo)線只起

40、導(dǎo)向作用。55552zIa J JE Ee e22IraH He e以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為的功率為() dSP E EH HS S22() 2d2rrSIIaa laa e ee e222LII Ra表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。例例 導(dǎo)線半徑為導(dǎo)線半徑為a，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng) ，電導(dǎo)率，電導(dǎo)率為為 ，試用坡印亭矢量計(jì)算，試用坡印亭矢量計(jì)算導(dǎo)線損耗的能量。導(dǎo)線損耗的能量。電場(chǎng)電場(chǎng)磁場(chǎng)磁場(chǎng)P,ISHE設(shè)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)解：解：思路思路：計(jì)算計(jì)算導(dǎo)線導(dǎo)線損耗損耗56567. 時(shí)變電磁場(chǎng)惟一性定理時(shí)變電磁場(chǎng)惟一

41、性定理 在在閉合面閉合面 S 包圍的區(qū)域包圍的區(qū)域 V 中，當(dāng)中，當(dāng)t = 0時(shí)刻的電場(chǎng)時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度強(qiáng)度 及磁場(chǎng)強(qiáng)度的及磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值初始值給定時(shí)，又在給定時(shí)，又在 t 0 的時(shí)間內(nèi)，的時(shí)間內(nèi)，只要只要邊界邊界 S 上的電場(chǎng)強(qiáng)度上的電場(chǎng)強(qiáng)度切向切向分量分量 或或磁場(chǎng)強(qiáng)度的磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向切向分量分量 給定后，那么在給定后，那么在 t 0 的的任一時(shí)刻任一時(shí)刻，體積，體積 V 中中任一任一點(diǎn)點(diǎn)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地惟一地確定。確定。采用采用反證法反證法即可證明這個(gè)定理。即可證明這個(gè)定理。VSE t (r, t) or H t (r, t)E(r, 0)&H(

42、r, 0 )E( r, t), H(r, t )57578. 正弦電磁場(chǎng)正弦電磁場(chǎng) 正弦電磁場(chǎng)正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)強(qiáng)方向方向與時(shí)間無(wú)關(guān)，但其與時(shí)間無(wú)關(guān)，但其大大小小隨時(shí)間的變化規(guī)律為隨時(shí)間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)正弦函數(shù)。式中式中 Em(r) 為正弦時(shí)間函數(shù)的為正弦時(shí)間函數(shù)的振幅振幅。 為為角頻率角頻率。e(r) 為正弦函數(shù)的為正弦函數(shù)的初始相位初始相位。 任一周期性或非周期性的時(shí)間函數(shù)在一定條任一周期性或非周期性的時(shí)間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們著重著重討論正弦電磁場(chǎng)是具有討論正弦電磁場(chǎng)是具有實(shí)際意義實(shí)際意義的的。 正弦正弦電磁

43、場(chǎng)又稱為電磁場(chǎng)又稱為時(shí)諧時(shí)諧電磁場(chǎng)。電磁場(chǎng)。me( , )( )cos( )ttE rErr即即5858 已知場(chǎng)的變化已知場(chǎng)的變化落后落后于源，但是于源，但是場(chǎng)場(chǎng)與與源源的時(shí)間變的時(shí)間變化化規(guī)律相同規(guī)律相同，所以正弦電磁場(chǎng)的，所以正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)場(chǎng)和和源源的的頻率相同頻率相同。 對(duì)于對(duì)于頻率相同頻率相同的正弦量之間的運(yùn)算可以采用的正弦量之間的運(yùn)算可以采用復(fù)復(fù)矢量矢量方法，即方法，即僅僅考慮正弦量的考慮正弦量的振幅振幅和和空間空間相位相位 ，而略去而略去時(shí)間時(shí)間相位相位 t 。)(er瞬時(shí)瞬時(shí)矢量和矢量和復(fù)復(fù)矢量的關(guān)系為矢量的關(guān)系為 j m( , )Re( ) ettE rEr正弦電磁場(chǎng)是由正弦電

44、磁場(chǎng)是由正弦正弦的時(shí)變的時(shí)變電荷電荷與與電流電流產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。)(jmmee )()(rrErE)(mrE 電場(chǎng)強(qiáng)度可用一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的復(fù)矢量電場(chǎng)強(qiáng)度可用一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的復(fù)矢量表示為表示為5959)(rE實(shí)際中使用有效值，以實(shí)際中使用有效值，以 表示有效值，則表示有效值，則)(jee )()(rrErE2)()(mrErE式中式中)(2)(mrErE最大值最大值復(fù)矢量和復(fù)矢量和有效值有效值復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)復(fù)矢量矢量?jī)H僅為為空間空間函數(shù)，與函數(shù)，與時(shí)間時(shí)間無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。 只有只有頻率相同頻率相同的正弦量之間才能使用的正弦量之間才能使用復(fù)復(fù)矢量的矢量的方法進(jìn)行運(yùn)算。方法進(jìn)行

45、運(yùn)算。60609. 麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式 已知已知正弦正弦電磁場(chǎng)的電磁場(chǎng)的場(chǎng)場(chǎng)與與源源的的頻率相同頻率相同，因此，因此可用可用復(fù)矢量復(fù)矢量形式表示麥克斯韋方程。形式表示麥克斯韋方程。j m( , )Re(j ( )e)tttE rErj Re(j2( )e)tE r考慮到正弦時(shí)間函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為考慮到正弦時(shí)間函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為 jjRe( 2e)Re2j 2ettHJD或或jjjRe( 2e)Re2 eRe j 2 etttHJD因此，麥克斯韋第一方程因此，麥克斯韋第一方程 可表可表示為示為 t EEH 6161 上式對(duì)于上式對(duì)于任何時(shí)刻任何時(shí)刻均成立均成立，實(shí)實(shí)部部

46、符號(hào)可以符號(hào)可以消消去去，即即DJH2 j22DJH j同理可得同理可得 BE j0 B D j JED HB JEJ 上述方程稱為麥克斯韋方程的上述方程稱為麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式復(fù)矢量形式，式中，式中各量均為各量均為有效值有效值。6262t DJHt BE 0 B DDJH jBE j0 B D瞬時(shí)形式瞬時(shí)形式(r, t)復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式(r)例例 已知某真空區(qū)域中的時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值已知某真空區(qū)域中的時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為為( , )2 si n(10)cos( )yztxtk ze eE r試求磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量形式。試求磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量形式。6363解解 根據(jù)時(shí)變電場(chǎng)瞬時(shí)值，求得

47、其有效值的復(fù)根據(jù)時(shí)變電場(chǎng)瞬時(shí)值，求得其有效值的復(fù)矢量矢量形式為形式為zkyzxje ) 10sin()( erE由于電場(chǎng)僅有由于電場(chǎng)僅有 y 分量，且分量，且 。那么。那么0yEyxEzEyzyxeeEzkzzkzxzzxxkjje ) 10cos( 10e ) 10sin(jeej 0 010( )sin(10 )jcos(10 ) e zk zzxzkxx H ree又知又知HBE0jj0jHE( , )2 si n(10)cos()yztxtk ze eE r646410. 位函數(shù)的復(fù)矢量形式位函數(shù)的復(fù)矢量形式 對(duì)于對(duì)于正弦正弦函數(shù)，函數(shù)，時(shí)間滯后時(shí)間滯后因子因子 表現(xiàn)的表現(xiàn)的相位滯后相

48、位滯后為為 。vrrvrr令令vk rrrrkv則則JAA 222t222tJAA 22 226565羅倫茲條件的復(fù)矢量形式羅倫茲條件的復(fù)矢量形式正弦電磁場(chǎng)與位函數(shù)的關(guān)系正弦電磁場(chǎng)與位函數(shù)的關(guān)系VvttVd41),(rrrr,rrVvttVd,4),(rrrrrJrAVVkde )(4)( jrrrJrAr -rVVkde )( 41)( jrrrrr -rtAtAEABAB j j jAAAE)( j)(rrA666611. 復(fù)能流密度矢量復(fù)能流密度矢量時(shí)變時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)及磁場(chǎng)能量密度的瞬時(shí)形式為電磁場(chǎng)的電場(chǎng)及磁場(chǎng)能量密度的瞬時(shí)形式為),( 21),(2etEtwrr),( 21),(2m

49、tHtwrr正弦正弦電磁場(chǎng)的能量密度的電磁場(chǎng)的能量密度的周期周期平均值為平均值為 2eav 01( , ) d2rTwEttT2 me 01( )cos( ) d2TEttTrrm( , )4rEtm2mav( , )4rwHt*HHEE 21 21*avw使用有效值上使用有效值上式又可寫(xiě)為式又可寫(xiě)為6767損耗功率密度損耗功率密度也可用復(fù)矢量表示。也可用復(fù)矢量表示。*mm2av 21 )( )(EEEErr*Epl平均值為平均值為),(),(),(tttrHrErSmmeh( )( ) cos( )cos( )ErHr t t已知能流密度矢量已知能流密度矢量 S 的的瞬時(shí)值瞬時(shí)值為為 其其周期平均值周期平均值為為 ttTd ),(1)( 0 avTrSrS)cos()()(21h emmrHrE*EErrmm2mm)()(Epl其最大值為其最大值為 6868復(fù)復(fù)能流密度矢量能流密度矢量 Sc 為為)()()(*crHrErS式中式中 及及 均為均為有效值有效值。)(rE)(rH*)()(21)(mmcrHrErS*又可用又可用最大值最大值表示為表示為那么，那么，復(fù)復(fù)能流密度矢量能流密度矢量