概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：2-4常用的連續(xù)型分布

1、 24 常用的連續(xù)型分布 二、指數(shù)分布 三、正態(tài)分布 一、均勻分布 一、均勻分布 均勻分布 一個(gè)隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0,1)(其他bxaabxf (265) 則稱 X 服從a b上的均勻分布 記作 XUa b 均勻分布的分布函數(shù) ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF (266) 一、均勻分布 均勻分布 一個(gè)隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0,1)(其他bxaabxf (265) 則稱 X 服從a b上的均勻分布 記作 XUa b 均勻分布的數(shù)字特征 2baEX (267) 12)(2abDX (268) . 0, 0, 0,e1)(xxxFx (270) 一個(gè)隨機(jī)變

2、量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 為參數(shù) 則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 記作Xe() 二、指數(shù)分布 指數(shù)分布 指數(shù)分布的分布函數(shù) 指數(shù)分布的數(shù)字特征 一個(gè)隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 為參數(shù) 則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 記作Xe() 二、指數(shù)分布 指數(shù)分布 1EX (271) 21DX (272) 二、指數(shù)分布 指數(shù)分布 定理25(指數(shù)分布的無記憶性 ) 非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布的充要條件是 對(duì)任意正實(shí)數(shù)r和s 有 PXrs|XsPXr (273) 一個(gè)隨機(jī)變量 X 如果其密

3、度函數(shù)為 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 為參數(shù) 則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 記作Xe() 二、指數(shù)分布 若某產(chǎn)品壽命若某產(chǎn)品壽命 服從指數(shù)分布，假定已使用了服從指數(shù)分布，假定已使用了t 年，則再年，則再可用可用 s 年的概率與年的概率與 t 無關(guān)。無關(guān)。證明證明：所求概率為：所求概率為|Ptst , PtstPt PtsPt 11PtsPt ()1 (1)1 (1)s ttee()s tteese . 0, 0, 0,e1)(1000 xxxFx 例222 某元件的壽命X服從指數(shù)分布 已知其平均壽命為1000 h 求3個(gè)這樣的元件使用1000 h 至少已有一個(gè)損壞

4、的概率 由題設(shè)知 EX1000 h 于是該指數(shù)分布的參數(shù)為 100011EX 從而X的分布函數(shù)為 e1 1F(1000) 1PX1000 PX1000 由此得各元件的壽命是否超過1000 h是獨(dú)立的 于是3個(gè)元件使用1 000h都未損壞的概率為e3 從而至少有一個(gè)已損壞的概率為1e3 解 三、正態(tài)分布 正態(tài)分布 正態(tài)分布的數(shù)字特征 可見 正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)實(shí)際上分別為其數(shù)學(xué)期望和方差 正態(tài)分布的期望和方差為 EX DX 2 (276) 一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 ,e 21)(222)(xx x (274) 其中 為常數(shù) 且0 則稱 X 服從參數(shù)為和 2的正態(tài)分布 記作 XN(

5、2) 說明 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 正態(tài)分布的“鐘型”特征與實(shí)際中很多隨機(jī)變量的“中間大 兩頭小”的分布規(guī)律相吻合 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對(duì)稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 說明 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 比如考察一群人的身高 個(gè)體的身高作為一個(gè)隨機(jī)變量 其分布的特點(diǎn)是 在平均身高附近的人較多 特別高和特別矮的人較少 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對(duì)稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 說明 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 一個(gè)班的一次考試成績、測量誤差等均有類似的特征 進(jìn)一步的理論研究表明 一個(gè)變量如果受到大量的獨(dú)立因素的影響(無主導(dǎo)因素) 則它一

6、般服從正態(tài)分布 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對(duì)稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 1 正態(tài)分布的分布函數(shù) 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對(duì)稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 正態(tài)分布的密度函數(shù)(x)的原函數(shù)沒有解析表達(dá)式 因而其分布函數(shù)(記作 (x) xxttttxde 21d)()(222)( (278) 不能表示為解析式 當(dāng)0 21 時(shí) 即 XN(0 1) 稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其密度函數(shù)記作0(x) 即 202e 21)(xx (277) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 在附錄中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)值表和分

7、布函數(shù)值表 但表中只列出x0時(shí)0(x)和0(x)的值 這是因?yàn)橛烧龖B(tài)分布的對(duì)稱性可以導(dǎo)出0(x)和0(x)在x0時(shí)的值 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 對(duì)于0(x)而言 直接由其對(duì)稱性有 0(x)0(x) 因而 當(dāng)x0時(shí) 0(x)0(x) 在表中查0(x)即得0(x) 當(dāng)0 21 時(shí) 即 XN(0 1) 稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其密度函數(shù)記作0(x) 即 202e 21)(xx (277) 提示 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 對(duì)于0(x) 由于0(x)關(guān)于x0對(duì)稱 有 0(x)0(x)1 (280)特別地 有0(0)05 當(dāng)x0時(shí) 由0(

8、x)10(x) 查表得0(x) 即可得0(x) 當(dāng)0 21 時(shí) 即 XN(0 1) 稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其密度函數(shù)記作0(x) 即 202e 21)(xx (277) )(1d)(d)()(0000 xttttxxx (279) 例223 設(shè)XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (1)直接查表可得根據(jù)0(x)的對(duì)稱性 有097725084131081855 0(2)0(1)1PX1960(196) 0975 PX1960(196) 10(196) 109750025

9、P|X|196P196X196 0(196)0(196) 20(196)1 209751095 P1X20(2)0(1)0(2)1(1) 得 9621. 0)9242. 01 (21)(0b 例223 設(shè)XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (2)直接查表可得a053P|X|b20(b)109242 由查表即得 b178 查表得c0530(c)10(c)07019 所以c0 根據(jù)對(duì)稱性 有 由于PXc0298105 c053 提示 3 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 定理

10、26(正態(tài)分布的線性變換) 設(shè)XN( 2) YaXb a b為常數(shù) 且a0 則 YN(ab a2 2) 推論1 如果 XN( 2) 則) 1 . 0(NX 通常稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化 推論2 XN( 2)的充要條件是存在一個(gè)隨機(jī)變量N(0 1) 使得X 推論3 設(shè)XN( 2) (x) (x)分別為其分布函數(shù)與密度函數(shù) 0(x) 0(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù) 則有 )()(0 xx (287) )(1)(0 xx (288) 4 一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 為一般正態(tài)分布的概率計(jì)算提供了有效的途徑 對(duì)于一般正態(tài)分布的有關(guān)問題 尤其是概率計(jì)算 都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正

11、態(tài)分布來解決 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (1) 解 (9)PX9 25 . 085 . 0895 . 08XPXP0(2) 097725 (7)PX7 25 . 085 . 0875 . 08XPXP0(2) 10(2) 002275 25 . 085 . 0895 . 08XPXP25 . 085 . 0875 . 08XPXP 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 5 . 08105 . 085 . 085 . 71

12、05 . 7XPXP(2) 解 45 . 081XP 09999708413108413 0(4)0(1)10(4)0(1)5 . 08105 . 085 . 085 . 7105 . 7XPXP 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (3) 解 2|5 . 08|1| 8|XPXP20(2)1 09545 20.977251 (4) 35 . 0815 . 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP0(3)0(1) 01573 09986508413 2|5 . 08|1| 8|XPXP 35 . 0815 .

13、 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP35 . 0815 . 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP 例225 某種型號(hào)電池的壽命X近似服從正態(tài)分布N(2) 已知其壽命在250小時(shí)以上的概率和壽命不超過350小時(shí)的概率均為9236% 為使其壽命在x和x之間的概率不小于09 x至少為多大？ 由PX250PX350 解 根據(jù)密度函數(shù)關(guān)于x對(duì)稱有3002250350 又由 9236. 0)50(3003503003500XPXP查表得43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 9 . 01)(2|0 xxXPxXxP即95. 029 . 1)(0 x 查表得3002250

14、350 又由 9236. 0)50(3003503003500XPXP9236. 0)50(3003503003500XPXP9236. 0)50(3003503003500XPXP 43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是 35 故 XN(300 352) 又 9 . 01)(2|0 xxXPxXxP9 . 01)(2|0 xxXPxXxP9 . 01)(2|0 xxXPxXxP 95. 029 . 1)(0 x 查表得645. 1x 于是 x1645355758 645. 1x 于是 x1645355758 補(bǔ)例

15、補(bǔ)例1 1 將將 個(gè)球放入個(gè)球放入 個(gè)盒子中，設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒個(gè)盒子中，設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)子是等可能的，求有球的盒子數(shù) 的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 nMX解解引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量1,0,iX第第i個(gè)盒子中有球，個(gè)盒子中有球，第第i個(gè)盒子中無球，個(gè)盒子中無球，1,2,iM1MiiXX則則1MiiEXEX所以問題歸結(jié)為求所以問題歸結(jié)為求 。 iEX每一個(gè)隨機(jī)變量每一個(gè)隨機(jī)變量 都服從兩點(diǎn)分布。都服從兩點(diǎn)分布。 iX 由于每一個(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的，均為由于每一個(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的，均為 ，1M 則對(duì)第則對(duì)第 i 盒子，一個(gè)球不落入這個(gè)盒子中的概率為盒子，一個(gè)球不落入這個(gè)盒子中的概率為 ，11M 個(gè)球都不落入這個(gè)盒子中的概率為個(gè)球都不落入這個(gè)盒子中的概率為 n1(1)nM即即10(1) , 1,2,niP XiMM從而從而111 (1) , 1,2,niP XiMM 所以所以11 (1) , 1,2,niEXiMM 補(bǔ)例補(bǔ)例2 某抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）某抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似地服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)榻频胤恼龖B(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，分，96分以上的占考生總分以上的占考生總數(shù)的數(shù)的