105 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用

1、E-mail: 設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面M.),(0000tttzzyyxxM 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M 5 5 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用E-mail: 考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx E-mail: ,0,時(shí)時(shí)即即當(dāng)

2、當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面法平面：過：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt E-mail: 例例1 1 求曲線求曲線x=t,y=t5,z=t3在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1,1)(1,1,1)處的切線及法平處的切線及法平 面方程面方程. .42 153, (1,1,1)1 tttxy tztt： ，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的解參數(shù) 1,5,3111 153Txyz故則切線方程為 (1)5

3、(1)3(1)0 539xyzxyz法平面方程為即E-mail: 1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切切線線方方程程為為【討論】【討論】001,(),() Tfxg xE-mail: 2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為000000()()()0yzxyzxyzxyzxFFFFFFx

4、xyyzzGGGGGG(1, , )(1,)xyzxxyzxFFFFdydzGGGGdxdx TE-mail: 由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zxE-mail: 設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點(diǎn)過點(diǎn)M的曲線的曲線( ):( ),( )xtytzt二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線nTME-mail: ),(),(),(000000000zyxF

5、zyxFzyxFnzyx 令令則則,Tn 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxE-mail: 法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M處的法向量即處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量法向量.E-mail: 解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()

6、0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyxE-mail: 特殊地特殊地：空間曲面方程形為：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令E-mail: 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1

7、,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyxE-mail: 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn),),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx E-mail: 因?yàn)橐驗(yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(000zyx, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2

8、(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)E-mail: 23xtytzt 【練習(xí)】曲線【練習(xí)】曲線的所有切線中，與平面的所有切線中，與平面： x+2y+z=4平行的切線有（平行的切線有（ ） （A）不存在）不存在 （B）只有一條）只有一條 （C） 只有二條只有二條 （D） 三條三條解答切向量解答切向量T ( (t0), (t0), (t0) 221, 2 ,3 tt/TTn21 2( 2 )3011/3tttt 或所以滿足條件的為二條。所以滿足條件的為二條。E-mail: 思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .E-mail: 思考題解答思考題解答,2,2