241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、2.4.1 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義的物理背景及其含義問題問題sF 一個物體在力一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 與與s 的夾角，而功是數(shù)量的夾角，而功是數(shù)量. | s|F|W cos 引入引入 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念。的概念。平面向量的平面向量的數(shù)量積數(shù)量積： 已知非零向量已知非零向量 與與 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫作叫作 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積（或內(nèi)積），記作（

2、或內(nèi)積），記作 ，即規(guī)定，即規(guī)定 |cosa bababa b |cosa ba b 其中其中是是 與與 的夾角，的夾角， 叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（ 在在 方向上）的方向上）的投影投影. .并且規(guī)定，并且規(guī)定，零向量零向量與任一向量與任一向量的數(shù)量積為的數(shù)量積為零零，即，即 。ab|cos (|cos )bababa00a BB1OAab1| |cosOBb 新課新課OAB|b|cos abB1ba等于等于a的長度的長度| a方向上的投影在ab與與cos|b的乘積。的乘積。 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？什么時候為正，什

3、么時候為負(fù)？ =| | | | cosaabb當(dāng)當(dāng) =90時時 =0。ab當(dāng)當(dāng)90 180時時 0；ab由向量數(shù)量積的定義，試完成下面問題：由向量數(shù)量積的定義，試完成下面問題：_._.(3)| _ |.()aba ba baba baba aa ba b ； 反； 若與 同向, 若與 同向, 若與向, 若與向, 填或填或(1)(1)(2)(2)注：常記注：常記 = 。a a2a|aa a 0|a b|a b2|a證明向量證明向量垂直的依據(jù)垂直的依據(jù)aaa |或例例1.已知已知 ， 的夾角的夾角=120=120， 求求 。| 5,| 4abab 與與a b 解：解：|cos5 4 cos1201

4、5 4 ()210= a ba b :數(shù)數(shù)量量積積運運算算律律;)1(abba );()()(2(bababa .)(3(cbcacba babacABCO1A1B探究探究：已知向量：已知向量a、b、c和實數(shù)和實數(shù) ， 則：則： 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON, 下面證明運算律下面證明運算律(3);()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考：等式思考

5、：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 數(shù)量積的運算規(guī)律：數(shù)量積的運算規(guī)律：不成立不成立1、兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向、兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由量，符號由cos的符號確定；的符號確定；2、兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成、兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab;與與代數(shù)中的數(shù)代數(shù)中的數(shù)ab不同，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分；不同，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分；3、在實數(shù)中，若、在實數(shù)中，若a0，且，且ab=0,則則b=0；但；但在數(shù)量積中，若在數(shù)量積中，若a0，且，且ab=0,不能推出不能推出b=0。因為其中因為其中cos有可能為有可能為04、已知實數(shù)、已知實數(shù)a、b、c（b0

6、)，則有，則有ab=bc得得a=c.但是由但是由ab=bc不能得不能得a=c5、在實數(shù)中（、在實數(shù)中（ab)c=a(bc), 但向量中，（但向量中，（ab)c a(bc),要注意的是：要注意的是：例例2.我們知道，對任意我們知道，對任意 ，恒有，恒有, a bR22222()2,()().abaabbab abab對任意向量對任意向量 是否也有下面類似的結(jié)論？是否也有下面類似的結(jié)論？, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)(2)33223(3)()( )3( )3( )( )abaaba bb 236ababa aa bb b 解：).3()2(,60, 4| , 6|30babababa 求求的的夾夾角角為為與與、已已知知例例226aa bb 22cos6aa bb 36 129672 解：解：a+kb與與a-kb互相垂直的條件是互相垂直的條件是.,., 4| , 3|4垂垂直直與與向向量量何何值值時時為為不不共共線線與與且且、已已知知例例bkabkakbaba （ a+kb） （a-kb）=0即即aa-kkbb=02k9-16 =