第二節(jié)平面簡諧波的波動方程

1、第二節(jié)平面簡諧波的波動方程機械波機械波電磁波電磁波機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播. .交變電磁場在空間的傳播交變電磁場在空間的傳播. .兩類波的不同之處兩類波的不同之處v機械波的傳播需有傳機械波的傳播需有傳播振動的彈性介質(zhì)播振動的彈性介質(zhì); ;v電磁波的傳播可磁波的傳播可不需介質(zhì)不需介質(zhì). .2反射反射2折射折射2疊加性疊加性2衍射衍射兩類波的共同特征兩類波的共同特征彈性介質(zhì)和波源彈性介質(zhì)和波源（機械波產(chǎn)生的條件）（機械波產(chǎn)生的條件）縱波和橫波：縱波和橫波：(1) 質(zhì)元并未質(zhì)元并未“隨波逐流隨波逐流” 波的傳播不是媒波的傳播不是媒 質(zhì)質(zhì)元的傳播質(zhì)質(zhì)元的傳播(2) “上游上

2、游”的質(zhì)元依次帶動的質(zhì)元依次帶動“下游下游”的質(zhì)元振動的質(zhì)元振動(3) 某時刻某質(zhì)元的振動狀態(tài)將在較晚時刻某時刻某質(zhì)元的振動狀態(tài)將在較晚時刻 于于“下游下游”某處出現(xiàn)某處出現(xiàn)-波是振動狀態(tài)的傳播波是振動狀態(tài)的傳播數(shù)學函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點的振動狀態(tài)隨時間變化數(shù)學函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點的振動狀態(tài)隨時間變化的關(guān)系的關(guān)系.平面簡諧波：平面簡諧波：波面為平面的簡諧波波面為平面的簡諧波.簡諧波：簡諧波：在均勻、無吸收的介質(zhì)中，波源作簡諧在均勻、無吸收的介質(zhì)中，波源作簡諧振動時，在介質(zhì)中形成的波動振動時，在介質(zhì)中形成的波動.xy 平面簡諧波傳播時，平面簡諧波傳播時，介質(zhì)中各質(zhì)點都作同一頻介質(zhì)中各質(zhì)點都作同一頻

3、率的振動，在任一時刻，率的振動，在任一時刻，各點的振動相位一般不同各點的振動相位一般不同，它們的位移也不相同。，它們的位移也不相同。據(jù)波陣面的定義可知，任據(jù)波陣面的定義可知，任一時刻在同一波陣面上的一時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位，它們各點有相同的相位，它們離開各自的平衡位置有相離開各自的平衡位置有相同的位移。同的位移。yxxPtypO點處質(zhì)點的振動表達式為：點處質(zhì)點的振動表達式為：P處質(zhì)點在時刻處質(zhì)點在時刻t t 的位移為：的位移為： 波動表達式：描述介質(zhì)中各質(zhì)點的位移隨時間的變化波動表達式：描述介質(zhì)中各質(zhì)點的位移隨時間的變化關(guān)系關(guān)系. .P處質(zhì)點在時刻處質(zhì)點在時刻t 的位移為的位移為

4、： 因此，波線上任一點在任一時刻的位移都能由因此，波線上任一點在任一時刻的位移都能由上式給出。此即所求的沿上式給出。此即所求的沿x x 軸正方向前進的平軸正方向前進的平面簡諧波的波函數(shù)。面簡諧波的波函數(shù)。 波函數(shù)波函數(shù)沿沿x x軸負方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)：軸負方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)：沿沿x軸正方向軸正方向傳播傳播沿沿x軸負方向傳播軸負方向傳播P P點落后點落后o o點點xuP P點超前點超前o o點點xyPxyP時間時間時間時間波函數(shù)為：波函數(shù)為： 上述過程給出了一個寫出簡諧波方程的步驟：上述過程給出了一個寫出簡諧波方程的步驟： 已知某點的振動方程（不一定是波源）已知某點的振動方程

5、（不一定是波源） 根據(jù)波的傳播方向，判斷各點振動的先后次序根據(jù)波的傳播方向，判斷各點振動的先后次序, , 找出時間差找出時間差 ( 0 0) 將時間差將時間差 代入已知振動方程，即可得波方程：代入已知振動方程，即可得波方程：( (P先振先振) )0( , )cos ()xy x tAtu0( , )cos ()xy x tAtu( (P后振后振) )波函數(shù)其它形式波函數(shù)其它形式角波數(shù)角波數(shù)：表示單表示單位長度上位長度上波的相位波的相位變化變化 利用關(guān)系式利用關(guān)系式22TuT，得，得和和0( , )cos ()xy x tAtu波動表達式的意義：波動表達式的意義： 上式代表上式代表x1處質(zhì)點在其

6、平衡位置附近以角頻率處質(zhì)點在其平衡位置附近以角頻率 作作振動。振動。即即x 一定：令一定：令x=x1，則質(zhì)點位移則質(zhì)點位移y 僅是時間僅是時間t 的函數(shù)。的函數(shù)。tyOAT即即 以以y為縱坐標、為縱坐標、x 為橫坐標，得到一條余弦曲線，它是為橫坐標，得到一條余弦曲線，它是t1時刻波線上各個質(zhì)點偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形時刻波線上各個質(zhì)點偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線曲線( (波形圖波形圖) )。xyt 一定一定: :令令t=t1，則質(zhì)點位移，則質(zhì)點位移y 僅是僅是x 的函數(shù)。的函數(shù)。沿波線方向，任意兩點沿波線方向，任意兩點x1、x2的簡諧運動相位差為：的簡諧運動相位差為：x、t

7、 都變化都變化: :實線：實線：t1 時刻波形時刻波形；虛線：虛線：t2 時刻波形時刻波形uxyo12cosxyAt當當t=t1時時，當當t2= t1+t時，時， 在在t1和和t1+t時刻時刻，對應的質(zhì)點平衡位置用對應的質(zhì)點平衡位置用x1和和x2表示，則表示，則uxyo 令令 ，得得21xxt 在在t 時間內(nèi)時間內(nèi), ,整個波形向波的傳播方向移動整個波形向波的傳播方向移動了了 ，波速波速u 是整個波形向前傳是整個波形向前傳播的速度。播的速度。21xxxu t uxyo1x例例1 頻率為頻率為12.5kHz的平面余弦波沿細長的的平面余弦波沿細長的金屬棒傳播，波速為金屬棒傳播，波速為35.0 10

8、 m/s.如以棒上某點取為如以棒上某點取為坐標原點，已知原點處質(zhì)點振動的振幅為坐標原點，已知原點處質(zhì)點振動的振幅為0.1mmA，試求試求：（：（1）原點處質(zhì)點的振動表達式；）原點處質(zhì)點的振動表達式；（2） 波函數(shù)（向右傳播）；波函數(shù)（向右傳播）；（3）離原點）離原點10cm處質(zhì)點的振動表達式；處質(zhì)點的振動表達式；（4）離原點）離原點20cm和和30cm處質(zhì)點的振動相位差；處質(zhì)點的振動相位差；（5）在原點振動）在原點振動0.0021s時的波形；時的波形；解：解：由題意由題意波長波長周期周期（1）原點處質(zhì)點的振動表達式（設(shè)其初相位為零）原點處質(zhì)點的振動表達式（設(shè)其初相位為零）（2）波函數(shù)）波函數(shù)（

9、3）原點）原點10cm處質(zhì)點的振動表達式處質(zhì)點的振動表達式兩點間距離兩點間距離相位差相位差y（4）離原點）離原點20cm和和30cm處質(zhì)點的振動相位差；處質(zhì)點的振動相位差；（5）時的波形時的波形0.0021st xyOy 例例2一橫波沿一弦線傳播。設(shè)已知一橫波沿一弦線傳播。設(shè)已知t =0時的波形曲時的波形曲線如下圖中的虛線所示。波速線如下圖中的虛線所示。波速u為為12m/s，求，求(1)振幅；振幅；(2)波長；波長；(3)波的周期；波的周期；(4)弦上任一質(zhì)點的最大速率；弦上任一質(zhì)點的最大速率；(5)圖中圖中a、b兩點的相位差；兩點的相位差；(6)3T/4時的波形曲線時的波形曲線.（a、b兩兩

10、點的對應的橫坐標分別為點的對應的橫坐標分別為15和和35cm）/cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab t =0解解: : 由波形曲線圖可看出：由波形曲線圖可看出：(2) (2) 波長波長 =40cm；(1)(1)振幅振幅 A=0.5cm；(3)(3)波的周期波的周期 /cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab t =0(4)(4)質(zhì)點的最大速率質(zhì)點的最大速率 (5)(5)a、b兩點相隔半個波長，兩點相隔半個波長，b點處質(zhì)點比點處質(zhì)點比a點處

11、質(zhì)點的相位點處質(zhì)點的相位落后落后 。 (6)(6)3T/4時的波形如下圖中實線所示，波峰時的波形如下圖中實線所示，波峰M1和和M2已已分別右移分別右移 而到達而到達 和和 處。處。 431M2M/cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab1M2Mt=3T/4例例3 ：如圖是一平面余弦橫波在時刻：如圖是一平面余弦橫波在時刻t=0的波形。此波形以的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿的速度沿ox軸正向傳播。軸正向傳播。 求：求：(1) a、b兩點振動方向兩點振動方向; (2) O點振動方程點振動方程; (3) 波動表

12、達式波動表達式解：解： 由于波沿由于波沿x正向傳播，因此任意正向傳播，因此任意時刻任意點都將重復其前的點（圖中左時刻任意點都將重復其前的點（圖中左側(cè)點）的振動，由此可知：側(cè)點）的振動，由此可知： 這個問題也可以由下一時刻這個問題也可以由下一時刻的波形曲線得到，如左圖黃線示的波形曲線得到，如左圖黃線示，而且比較直觀。，而且比較直觀。 此外此外： a點將向下振動；點將向下振動； b點將向上振動。點將向上振動。 由已知圖可得：由已知圖可得： 至此可寫出波動表達式為：至此可寫出波動表達式為： 例例4：一列沿：一列沿ox正向傳播的簡諧波，在時刻正向傳播的簡諧波，在時刻t1=0,t2=0.25s的兩個的兩個 波形如圖所示。求：波形如圖所示。求：(1)P的振動表達式，的振動表達式，(2)此波的波動表式，此波的波動表式，(3)畫畫出出O點的振動曲線。點的振動曲線。解：解： 由已知圖分析可得：由已知圖分析可得：當當t=0時時,對對P點有：點有： 任意位置任意位置x與與P點的距離為點的距離為(x-OP) 由圖可知：由圖可知： 當當t=0時，時，O點有：點有：（或不判斷初相而直接由原圖分析）（或不判斷初相而直接由原圖分析）則有則有O點振動曲線如下點振動曲線如下:例例5：平面簡諧波某時刻波形如圖。求：平