第三章 線性方程組new.

1、11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 11112122122212,nnmmmmnAaaaAaaaAaaa 1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbxaaabxAxb 線性方程組線性方程組Axb 考慮再學 方程對應一個向量再學方程間方程間的關系的關系向量間向量間的關系的關系 向量組構成矩陣再學矩陣的性質(zhì)矩陣的性質(zhì)和運算和運算 教學內(nèi)容和基本要求教學內(nèi)容和基本要求 21021125cxAxbAxb ,APA bPb AxbPAxPbAxb ,A b ,A b .設設A Rn n , 則則

2、 有非零解有非零解 |A|=0.設設A Rm n, 則則有非零解有非零解 r(A)n有非零解有非零解 A不可逆，退化，奇異不可逆，退化，奇異.設設A Rn n , 則則 只有零解只有零解 |A| 0. A可逆，非退化，非奇異可逆，非退化，非奇異.123123123(1)0(1)0(1)0 xxxxxxxxx 對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣A作初等作初等變換變換, 化為階梯陣化為階梯陣.當當或或 = 時時, r(A)3, 當當且且 時時, r(A)=3, 注注1 1：基礎解系是：基礎解系是解向量組的解向量組的極大無關組極大無關組， 所以基礎解系所以基礎解系不唯一不唯一， 且任意兩個基礎解系且任意兩個基礎解

3、系等價等價； 注注2：解向量組的解向量組的秩秩是基礎解系含有的向是基礎解系含有的向 量的個數(shù)，即量的個數(shù)，即. .B123412341234 0223 20773 0 xxxxxxxxxxxx 1 1 1 12 2 3 2 7 7 3 1 1 1 0 1/50 0 1 4/50 0 0 01210,01 1212113411/510, (,R).04/50 1xxccc cxx 101/5 4/52112121222212nnnnnaa aa aa aaa aAa aa aa 121100,010001n 21aa 31aa 1naa 12000,000naaa 1r A 10a 是是Ax =

4、 0 的解的解. 12120ttABA B BBAB ABAB 證明：證明： r Bnr A12,tBBB可由可由Ax = 0的基礎解系線性表示的基礎解系線性表示.12,tBBB r Ar Bn 例例4. A Rs n, B Rn t. 若若AB=0, 則則 r(A)+r(B) n. r(A)n ()|An|=0 ()1 1 1 11 1 1 31 1 2 0 1 1/2 3 1/2 1/21 1 0 10 0 1 20 0 0 0 0 2/ 1 3213 0 432143214321xxxxxxxxxxxx1212341210 0,01 0,R.xxccxxc c 10121/21/2 32

5、1321321)(13)(10)(1xxxxxxxxx對增廣矩陣對增廣矩陣(A, b)作初等作初等變換變換, 化為階梯陣化為階梯陣.本質(zhì)是解向量組的極大無關組本質(zhì)是解向量組的極大無關組, 秩為秩為n-r(A)初等行變換初等行變換 1212,nnAB 極大無關組不唯一，任兩個極大無關組都等價極大無關組不唯一，任兩個極大無關組都等價,且含有相同個數(shù)且含有相同個數(shù)(秩秩)的向量的向量.命題：如果命題：如果中任意中任意個個無關的向量均為無關的向量均為的極大無關組的極大無關組. 12,siii 12,siii 初等行變換初等行變換 1212,nnAB 12,siii 12,siii 121211,ssi

6、iiiiiAB 12,siii 12,siii 12,siii 12,siii 初等行變換初等行變換 1212,nnAB 12,siii 12,siii 12,siii 12,siii 對應的原矩陣的列對應的原矩陣的列也是原矩陣也是原矩陣的的極大無關組極大無關組；初等行變換初等行變換 1212,nnAB 12,siii 12,siii 12121212ssjiisijiisikkkkkk 12,siii 12,siii 對應的原矩陣的列對應的原矩陣的列也是原矩陣也是原矩陣的的極大無關組極大無關組； 初等行變換初等行變換,AA(階梯陣階梯陣)若要將若要將非主列非主列用極大無關組用極大無關組線性表

7、示線性表示, 則要化則要化成成行最簡形矩陣行最簡形矩陣. 對應的原矩陣的列對應的原矩陣的列也是原矩陣也是原矩陣的的極大無關組極大無關組；2 1 1 1 21 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9A 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 43 6 9 7 9A 10104011030001300000 本質(zhì)是解向量組的極大無關組本質(zhì)是解向量組的極大無關組, 秩為秩為n-r(A)1. 設設A是是6 5矩陣矩陣, 若若Ax= 的解空間是的解空間是2維的維的, 則則AT x= 的解空間是的解空間是 維的維的; 32. 設設x R3, r(A)=2, 是是Ax=b的解的解

8、,123, 123(1,1,1) ,(2,4,6)TTAx=b 20r AAx 的基礎解系有的基礎解系有1個解向量個解向量 23120A 0,2,4T 0,2,41,1,1,TTkkR Ax=b假若假若k1 + k2( 1+ ) + k3( 2+ ) = 0, 即即k1 = k2 = k3 = 0. 則則(k1 + k2 + k3) + k2 1 + k3 2 = 0.于是于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0,所以所以 , 1+ , 2+ 線性無關線性無關. 下證下證 , 1, 2線性無關線性無關.否則否則 能由能由 1, 2線性表示線性表示, 從而從而 是線性方程組是

9、線性方程組Ax = 0的解的解, 矛盾矛盾! 所以所以 , 1+ , 2+ 線性無關線性無關. 下證下證 , 1, 2線性無關線性無關.否則否則 能由能由 1, 2線性表示線性表示, 從而從而 是線性方程組是線性方程組Ax = 0的解的解, 矛盾矛盾! 11010 ,1111ab 2111101001011001A 所以所以r(A) = 1, 因而因而 = 1. 此時，此時，211111010000001000 0111 1012 11010 ,1111ab 不存在更多的線性無關的解向量不存在更多的線性無關的解向量, 試確定這時參試確定這時參數(shù)數(shù) 及及a的值的值, 并求這時并求這時Ax = b

10、的通解的通解.2. 若在若在Ax = b的解集中存在的解集中存在兩個線性無關的解向量兩個線性無關的解向量, 但但若在若在Ax = b的解集中存在兩個線性無關的解的解集中存在兩個線性無關的解向量向量, 但不存在更多的線性無關的解向量但不存在更多的線性無關的解向量, 則則Ax =0的基礎解系中只有一個線性無關的解向量的基礎解系中只有一個線性無關的解向量. 所以所以r(A, b) = r(A) = 2. 此時此時 = 1. 1111013/2,020 1010 1/211110002aA ba a = 2, 02/ 12/3101321cxxx11113120,132k 1111103/41/431

11、20011/43/4132000Akk 13/41/4,10 21/43/401 秩秩(A) = 2.3. 問是否存在秩大于問是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 為什么為什么?3113 4004B 11113120,132k 秩秩(A) = 2.3. 問是否存在秩大于問是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 為什么為什么? 1, 2由于任何一個滿足由于任何一個滿足AM = O的矩陣的矩陣M的的列向量組列向量組都可以由都可以由 1, 2線性表示線性表示, 因而不存在秩大于因而不存在秩大于2的矩陣的矩陣M使得使得AM = O. 所以這樣的矩陣所以這樣的矩陣M的秩一定的秩一定 2. 填空題選擇題：作為課