離散型隨機變量的分布列(b)

1、普通高級中學教科書（必修）第二冊（下普通高級中學教科書（必修）第二冊（下B B）第九章：直線、平面、簡單幾何體第九章：直線、平面、簡單幾何體第一章第一章 概率概率統(tǒng)計統(tǒng)計離散型隨機變量的分布列的性質：離散型隨機變量的分布列的性質：一、知識回顧：一、知識回顧：定義定義1:1:如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做這樣的變量叫做隨機變量隨機變量。隨機變量常用希臘字母。隨機變量常用希臘字母、表示。表示。定義定義2 2：隨機變量：隨機變量的可能取值可的可能取值可按一定次序一一列出按一定次序一一列出，這樣的隨機變量稱為這樣的隨機變量稱為離散

2、型隨機變量離散型隨機變量。 ,2, 1,0 ipi121 pp隨機變量隨機變量離散型隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量引例引例1：在一次試驗中，某事件發(fā)生的概率為在一次試驗中，某事件發(fā)生的概率為p，現(xiàn)進行，現(xiàn)進行n次獨立重復試驗，在次獨立重復試驗，在n次試驗中該事件恰好發(fā)生的次數(shù)是次試驗中該事件恰好發(fā)生的次數(shù)是個隨機變量，寫出該隨機變量的分布列。個隨機變量，寫出該隨機變量的分布列。解：解：數(shù)次試驗中恰好發(fā)生的次表示在設n), 1 , 0,1( ,)(nkpqqpCkPknkkn則pnk1000nnC p q111nnC p qkkn knC p q0nnnC p q的分布列為：

3、nnnkknknnnnnnpqCpqCpqCpqCpq011100)(二項展開式：我們稱這樣的隨機變量我們稱這樣的隨機變量服從服從二項分布二項分布),(pnB記作：( ; , )kkn knC p qb k n p二、特殊的分布列：二項分布二、特殊的分布列：二項分布1、重復拋一枚骰子、重復拋一枚骰子5次得到點數(shù)為次得到點數(shù)為6的次數(shù)記為的次數(shù)記為，)61, 5( B1(2;5, )6b3225)65()61(C2、重復拋一枚硬幣、重復拋一枚硬幣10次得到正面向上的次數(shù)記為次得到正面向上的次數(shù)記為，)21,10( B1(0;10, )2b100010)21()21(C練習：練習：) 1(,95)

4、 1(), 4(), 2(PPpBpB求已知設95)1 () 1(22212pCppCP94)1 (202pC31 p8165)32(1)0(1) 1(1) 1(404CPPP引例引例2.某人每次投籃投中的概率為某人每次投籃投中的概率為0.1，各次投籃的結果相，各次投籃的結果相互獨立互獨立.求他首次投籃投中時投籃次數(shù)的分布列，以及他求他首次投籃投中時投籃次數(shù)的分布列，以及他在在5次內投中的概率（精確到次內投中的概率（精確到0.01）.籃的次數(shù)為解：設首次命中時所投,., 3 , 2 , 1k則1 . 0) 1(P1 . 09 . 0)2(P1 . 09 . 0)3(2P1 . 09 . 0)(

5、1kkP的分布列為：所以123kP1 . 01 . 09 . 01 . 09 . 021 . 09 . 01k我們稱這樣的隨機變量我們稱這樣的隨機變量服從服從幾何分布幾何分布), 2 , 1, 1( ,),(1kqppqpkgk記作： 在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作試驗的次數(shù)在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作試驗的次數(shù)也是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量也是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量 . “=k” 表示在第表示在第k次次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生 . 如果把第如果把第k次試驗時事件次試驗時事件A發(fā)生發(fā)生記為記為Ak 、 事件事件A不發(fā)生記為不

6、發(fā)生記為 Ak ，pAPk )(，qAPk )(那么那么 )(kP 根據相互獨立事件的概率乘法公式，根據相互獨立事件的概率乘法公式，)()()()()()(1321kkAPAPAPAPAPkP .1pqk )321(， k2Pk31于是得到隨機變量于是得到隨機變量的概率分布的概率分布pqppq2pqk 1 我們稱我們稱服從幾何分布，并記服從幾何分布，并記，pqpkgk 1)( 其中其中.3211， kpq)(1321kkAAAAAP 三、特殊的分布列：幾何分布三、特殊的分布列：幾何分布特殊的分布列之一特殊的分布列之一二項分布（重點掌握）二項分布（重點掌握）pnk1000nnC p q111nn

7、C p qkkn knC p q0nnnC p q),(pnB記作：( ; , )kkn knC p qb k n p特殊的分布列之二特殊的分布列之二幾何分布（了解）幾何分布（了解）123kPpqppq2pqk 1), 2 , 1, 1( ,),(1kqppqpkgk記作：“=k”表示在第表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生。次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生。“=k”表示在第表示在第n次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生的次數(shù)。次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生的次數(shù)。例例1. 某廠生產電子元件，其產品的次品率為某廠生產電子元件，其產品的次品率為5%現(xiàn)從一現(xiàn)從一批產品中任意地連續(xù)取出批產品中任意地連續(xù)取出

8、2件，寫出其中次品數(shù)件，寫出其中次品數(shù)的概率分的概率分布布解：解：依題意，隨機變量依題意，隨機變量B(2，5%)所以，所以，因此，次品數(shù)因此，次品數(shù)的概率分布是的概率分布是0. .00250. .0950. .9025P210 0)0)P(P( 2 20 02 21001009595C C)(0.9025,0.9025, 1)1)P(P( 10010095951001005 5C C1 12 2 ，0.0950.095 2)2)P(P( 2 22 22 21001005 5C C)(. .0 0. .0 00 02 25 5 例例2 某人每次射擊擊中目標的概率是某人每次射擊擊中目標的概率是0.

9、2，射擊中每次射擊，射擊中每次射擊的結果是相互獨立的，求他在的結果是相互獨立的，求他在10次射擊中擊中目標的次數(shù)次射擊中擊中目標的次數(shù)不超過不超過5次的概率（精確到次的概率（精確到0.01）.解：解：設在設在10次射擊中擊中目標的次數(shù)是次射擊中擊中目標的次數(shù)是，則則B(10，0.2)，P(5) =P(= 0) + P(= 1) + P(= 5) 555109110100108 . 02 . 08 . 02 . 08 . 0 CCC.99. 0 答：他在答：他在10次射擊中擊中目標的次數(shù)不超過次射擊中擊中目標的次數(shù)不超過5次的概率為次的概率為 0.99. 例例3 某人每次投籃投中的概率為某人每次

10、投籃投中的概率為0.1，各次投籃的結果相互，各次投籃的結果相互獨立獨立 . 求他首次投籃投中時投籃次數(shù)的分布列，以及他在求他首次投籃投中時投籃次數(shù)的分布列，以及他在5次內投中的概率（精確到次內投中的概率（精確到0.01）.解：解：設他首次投籃投中時投籃次數(shù)為設他首次投籃投中時投籃次數(shù)為，則則服從幾何分布，服從幾何分布， 其中其中 p=0.1 .的分布列為：的分布列為：2Pk311 . 009. 0081. 01 . 09 . 01 k他在他在5次內投中的概率是次內投中的概率是 P(5)= P(= 1) + P(= 2) + P(= 3) + P(= 4) + P(= 5) 06561. 007

11、29. 0081. 009. 01 . 0 .41. 0 答：他在答：他在5次內投中的概率是次內投中的概率是 0.41 .例例4.射手有射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9，如果命，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù) 的分布列。的分布列。54321、的取值為解：據題意，: )41 ( ii表示前表示前i-1次沒有命中目標，第次沒有命中目標，第i次命中次命中:5表示前表示前4次沒有命中目標，第次沒有命中目標，第5次命中次命中或表示或表示5次都沒有命中目標次都沒有命中目標12354P0.909. 00

12、09. 00001. 09 . 01 . 0)41 ,(1iiiP4441 . 01 . 09 . 01 . 0)5(P的分布列為：0009. 0例例5.5.將數(shù)字將數(shù)字1 1、2 2、3 3、4 4排成一列，如果數(shù)字排成一列，如果數(shù)字k k恰好出現(xiàn)在恰好出現(xiàn)在第第k k個位置，則稱為有一個巧合，求巧合數(shù)個位置，則稱為有一個巧合，求巧合數(shù) 的分布列。的分布列。43210、的取值為解：據題意，:0表示數(shù)字與位置都不一致表示數(shù)字與位置都不一致: i2499)0(4404ACP的分布列為：表示有表示有i個數(shù)字出現(xiàn)在與這個數(shù)字相應的位置上個數(shù)字出現(xiàn)在與這個數(shù)字相應的位置上2482) 1(4414ACP

13、2461)2(4424ACP00)3(4434ACP2411)4(4444ACP01243P8331412410例例6 （05浙江）袋子浙江）袋子A和和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中中 摸出一個紅球的概率是摸出一個紅球的概率是1/3，從，從B中摸出一個紅球的概率為中摸出一個紅球的概率為p () 從從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止次摸到紅球即停止(1)求恰好摸求恰好摸5次停止的概率次停止的概率;(2)記記5次之內次之內(含含5次次)摸到紅球的次數(shù)為摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量求隨機變量的分布列的分布列

14、() 若若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為兩個袋子中的球數(shù)之比為1：2，將，將A、B中的球裝在一中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是起后，從中摸出一個紅球的概率是2/5，求，求p的值的值分析：這是獨立重復試驗，分析：這是獨立重復試驗，5次內（含次內（含5次）摸到紅球的次數(shù)次）摸到紅球的次數(shù)的的概率分布屬于二項分布概率分布屬于二項分布.解：解： () (1) 31)32()31(2224 C.818 ()隨機變量隨機變量的取值為：的取值為： 0、1、2、3. 由由n次獨立重復試驗概率公式次獨立重復試驗概率公式 knkknnPPCkP 132(0)243P，80(1)243P，即即B(5，1/3

15、) .80(2)243P，17(3)81P，解解()設袋子設袋子A中有中有m個球個球,則袋子則袋子B中有中有2m個球個球,由由，523231 mmpm得得.3013 p例例6 （05浙江）袋子浙江）袋子A和和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中中 摸出一個紅球的概率是摸出一個紅球的概率是1/3，從，從B中摸出一個紅球的概率為中摸出一個紅球的概率為p () 從從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止次摸到紅球即停止(1)求恰好摸求恰好摸5次停止的概率次停止的概率;(2)記記5次之內次之內(含含5次次)摸到紅球的次數(shù)為

16、摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量求隨機變量的分布列的分布列 () 若若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為兩個袋子中的球數(shù)之比為1：2，將，將A、B中的球裝在一中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是起后，從中摸出一個紅球的概率是2/5，求，求p的值的值32102433224380243808117P則分布列為：則分布列為：確定分布列的類型非常重要，其中二項分布對應獨立重復試驗，這確定分布列的類型非常重要，其中二項分布對應獨立重復試驗，這一點是我們判斷一個分布列是否為二項分布的標準一點是我們判斷一個分布列是否為二項分布的標準 .單點分布單點分布cP1兩點分布兩點分布01Ppq01,1ppq（其中且）超幾

17、何分布超幾何分布N-NMN()(0,M)N,M, mmn mMMnNmC Cpmml lnC一般的，設有 件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取n件（n），這n件中所含這類物品數(shù)是一個離散型隨機變量，他取值為 時的概率為：為 和中較小的一個服從參數(shù)為 的超幾何分布。例2、某校高三年級某班的數(shù)學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學競賽考試，用 表示其中男生人數(shù)，求 的分布列。464410(0,1,2,3,4)kkC CpkkC分析：本題是超幾何分布： ( = )=22PPP16xy練習1、拋擲兩顆骰子，取其中一顆的點數(shù)為點 的橫坐標，另一顆的點數(shù)為點 的橫坐標，求連續(xù)拋

18、擲這兩顆骰子三次，點 在圓內的次數(shù) 的分布列。練習練習2、(2006年全國卷年全國卷)第第18題：題： A.B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比實驗，每個試驗組由行對比實驗，每個試驗組由4只小白鼠組成，其中只小白鼠組成，其中2只服只服用用A，另兩只服用，另兩只服用B。然后觀察療效，若在一個試驗組。然后觀察療效，若在一個試驗組中，服用中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就有效的多，就稱試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用稱試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A有效的概率為有效的概率為23，12。服用服用B有效有效）求一個試驗組為甲類組的概率。）求一個試驗組為甲類組的概率。）觀察三個試驗組，用）觀察三個試驗組，用表示表示3個試驗組中甲類組的個個試驗組中甲類組的個數(shù)。求數(shù)。求的分布列和數(shù)學期望。的分布列和數(shù)學期望。的概率為的概率為112124339P AC222433