相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、我們學(xué)校后面有一塊面積為我們學(xué)校后面有一塊面積為100100平方米，周長為平方米，周長為8080米的三米的三角形綠化地，現(xiàn)在被削去了一個三角形，變成了一個梯角形綠化地，現(xiàn)在被削去了一個三角形，變成了一個梯形，原綠化地一邊形，原綠化地一邊ABAB的長由原來的的長由原來的3030米縮短成米縮短成1818米米. .問問: :被削去的三角形面積有多大？它的周長是多少？被削去的三角形面積有多大？它的周長是多少？D DE E30m30m18m18mB BC CA AABCABC與與AAB BC C的相似比是多少？的相似比是多少？ABCABC與與AAB BC C的周長比是多少的周長比是多少? ? 面積比是多

2、少？面積比是多少？4 44 4正方形網(wǎng)格正方形網(wǎng)格ABCABC與與AAB BC C是否相似是否相似? ?為什么？為什么？ 驗(yàn)一驗(yàn)：驗(yàn)一驗(yàn)：是不是任何相似三角形都有此關(guān)系呢？你能加是不是任何相似三角形都有此關(guān)系呢？你能加以驗(yàn)證嗎？以驗(yàn)證嗎？ 你發(fā)現(xiàn)上面兩個相似三角形的周長你發(fā)現(xiàn)上面兩個相似三角形的周長比與相似比有什么關(guān)系？面積比與相比與相似比有什么關(guān)系？面積比與相似比又有什么關(guān)系？似比又有什么關(guān)系？（相似）（相似）周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方CABACB222225251552222 22 24 4A AB BC CA A/ /已知已知ABCA

3、ABCA/ B B/C C/ /，相似比為，相似比為k,k,求證求證: :kCBAABC的周長的周長/2/kSSCBAABC證明：證明： ABCAABCA/ B B/ C C/ ，相似比為，相似比為k kkCAACCBBCBAAB/AB=kAAB=kA/ /B B/ /，BC=kBBC=kB/ /C C/ /，AC=kAAC=kA/ /C C/ /（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）/CACBBAACBCABCBAABC的周長的周長kCACBBACACBBAk)()(/B B/ /C C/ /相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似相似三角形的周長比等于相似比，面積比等

4、于相似比的比的平方平方A AB BC CA A/B B/ /C C/D DD D/證明：作證明：作BCBC、B B/ /C C/ /邊上的高邊上的高ADAD、A A/ /D D/ /ABCABCA A/ /B B/ /C C/ /B=BB=B/ /（相似三角形的對應(yīng)角相等）（相似三角形的對應(yīng)角相等）ADAD、A A/ /D D/ /分別是分別是BCBC、B B/ /C C/ /邊上的高邊上的高ADB=AADB=A/ /D D/ /B B/ /=90=900 0ABDABDA A/ /B B/ /D D/ /kBAABDAAD/2121/DACBADBCSSCBAABC相似三角形的性質(zhì)：相似三角

5、形的性質(zhì)：（有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）（有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）2/kkkDAADCBBC/已知兩個三角形相似，請完成下列表格已知兩個三角形相似，請完成下列表格相似比相似比周長比周長比面積比面積比注：周長比等于相似比，注：周長比等于相似比，已知相似比或周長比，求面積比要已知相似比或周長比，求面積比要平方平方，而已知面積比，求相似比或周長比則要而已知面積比，求相似比或周長比則要開方開方。24100100100001913132練習(xí)練習(xí)2如圖如圖,D,E分別是分別是AC,AB上的點(diǎn)上的點(diǎn), ADE=B,AGBC于點(diǎn)于點(diǎn)G,AFDE于點(diǎn)于點(diǎn)F,若若AD=3,AB=5,求求:ABCG

6、EDF(1)AGAF(2) ADE與與ABC的周長之比的周長之比;(3) ADE與與ABC的面積之比的面積之比;5335925例例1 1如圖：是某市部分街道圖，比例尺為如圖：是某市部分街道圖，比例尺為1 1：10 00010 000；請；請估計三條道路圍成的三角形地塊估計三條道路圍成的三角形地塊ABCABC的實(shí)際周長和面積。的實(shí)際周長和面積。其中測得：其中測得：AB=3.4cmAB=3.4cm， BC=3.8cmBC=3.8cm，AC=2.5cmAC=2.5cm，高，高AD=2.2cmAD=2.2cmC CD D解：解：ABCABC的周長的周長=3.4+3.8+2.5=9.7cm=3.4+3.

7、8+2.5=9.7cm1000017 . 9三角形地塊的實(shí)際周長三角形地塊的實(shí)際周長為三角形地塊的實(shí)際周長為9.79.710104 4cmcm，即，即970m970mSSABCABC=3.8=3.82.22.22=4.182=4.18（cmcm2 2）210000118. 4）（三角形地塊的實(shí)際面積三角形地塊的實(shí)際面積為三角形地塊的實(shí)際面積為4.184.18108cm108cm2 2，即，即41800m41800m2 2答：估計三角形地塊的周長為答：估計三角形地塊的周長為970cm970cm，實(shí)際面積為，實(shí)際面積為41800m41800m2 2。A AB B探究活動探究活動 已知已知ABCAB

8、C如圖，如果要作與如圖，如果要作與BCBC平行的直線把平行的直線把ABCABC劃分成兩部分，使這兩部分（三角形與四邊形）劃分成兩部分，使這兩部分（三角形與四邊形）的面積之比為的面積之比為1 1：1 1，該怎樣作？如果要使劃分成的兩，該怎樣作？如果要使劃分成的兩部分的面積之比為部分的面積之比為1 1：2 2呢？如果要使劃分成的兩部分呢？如果要使劃分成的兩部分的面積之比為的面積之比為1 1：n n呢？呢？A AB BC C1、在、在ABC中，中，DEBC，E、D分別在分別在AC、AB上，上，EC=2AE，則，則S ADE：S四邊四邊形形DBCE的比為的比為_嘗試運(yùn)用嘗試運(yùn)用2、如圖，、如圖， 中，

9、中，則，則:四邊形四邊形:四邊形四邊形18= 1:3: 5B BA AC CD DE E如圖，已知如圖，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m,ABCDE/BC,AB=30m,BD=18m,ABC的周長為的周長為80m80m，面積為，面積為100m100m2 2, ,求求ADEADE的周的周長和面積長和面積30m18mDE/BC解：解： ADE ABC254)3012()(22ABADSSABCADE2216100mSmSADEABCmCmCABADCCADEABCABCADE3280523012答： ADE的周長是的周長是32m,面積為面積為16m2 作業(yè)作業(yè)n當(dāng)天作業(yè)當(dāng)天作業(yè): 課堂作

10、業(yè)本n回家作業(yè)回家作業(yè): 同步練習(xí)n挑戰(zhàn)作業(yè)挑戰(zhàn)作業(yè): 求證求證：相似三角形的：相似三角形的對應(yīng)高的比對應(yīng)高的比， 對應(yīng)中線的比對應(yīng)中線的比與與對應(yīng)角平分線的比對應(yīng)角平分線的比 都等于相似比。都等于相似比。笛笛卡爾說過卡爾說過: :我所解決的每一個問題我所解決的每一個問題都將成為一個都將成為一個范例范例, ,以用于解決其以用于解決其他問題他問題, ,這便是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真諦這便是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真諦! !A ADE E1.1.過過E E作作EF/ABEF/AB交交BCBC于于F,F,其他條件不其他條件不變，則變，則EFCEFC的面積等于多少？的面積等于多少？ 2. 2.若設(shè)若設(shè)sABC=S, SADE=SsABC=S, SADE=S1 1, SEFC=S, SEFC=S2.2.請猜想：請猜想：S S與與S S1 1、S S2 2之間存在怎樣的關(guān)系？之間存在怎樣的關(guān)系？你能加以驗(yàn)證嗎？你能加以驗(yàn)證嗎？ S = S = S1+ S2B BC CF F36m36m2 2證明：證明：DE/BCADEABCABCS1S=(A CA E)2EF/ABEFCABCABCS2S=A CC E()2SSSS1 1=A CA ESSSS2 2A CC E=SSSSSS2 2SS1 1+=1SS1 1SS2 2+SS=1616363630m30m18m18mACB