第3章_離散傅里葉變換

1、第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換3.1 傅里葉分析的離散性與周期性傅里葉分析的離散性與周期性3.2 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義3.3 離散傅里葉變換的作用離散傅里葉變換的作用3.4 離散傅里葉變換的程序?qū)崿F(xiàn)離散傅里葉變換的程序?qū)崿F(xiàn)3.5 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì)3.6 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）與離散時(shí)間傅里葉變換）與離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的關(guān)系）的關(guān)系3.7 離散傅里葉變換的應(yīng)用技術(shù)離散傅里葉變換的應(yīng)用技術(shù)本章內(nèi)容參考：本章內(nèi)容參考：鄭君里等鄭君里等信號(hào)與系統(tǒng)（第信號(hào)與系統(tǒng)（第3版）版）下冊(cè)下冊(cè)第九章第九章 離散傅里葉變換以及其他離

2、散正交變換離散傅里葉變換以及其他離散正交變換3.1 傅里葉分析的離散性與周期性傅里葉分析的離散性與周期性在第在第2章中，系統(tǒng)地討論了信號(hào)的頻譜章中，系統(tǒng)地討論了信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，給出了各種類型信號(hào)的分解與合成結(jié)構(gòu)，給出了各種類型信號(hào)的分解與合成公式，現(xiàn)歸納如下。根據(jù)離散性與周期性公式，現(xiàn)歸納如下。根據(jù)離散性與周期性的組合，信號(hào)共有四種基本形式：的組合，信號(hào)共有四種基本形式：（1）連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)）連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)（2）連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)）連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)（3）離散時(shí)間周期信號(hào)）離散時(shí)間周期信號(hào)（4）離散時(shí)間非周期信號(hào)）離散時(shí)間非周期信號(hào)與此相對(duì)應(yīng)，傅里葉變換的四種基本與此相對(duì)應(yīng)，傅里葉變換的四

3、種基本形式分別為：形式分別為：（1）連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)）連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（數(shù)（CTFS或或FS）時(shí)域：周期；連續(xù)時(shí)域：周期；連續(xù)頻域：離散；非周期頻域：離散；非周期 ntjnenXtx00 , 3, 2, 1, 0,12200ndtetxTnXTTtjn連續(xù)時(shí)間與離散頻率連續(xù)時(shí)間與離散頻率 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù))(txpt00T020( )()jkf tpkx tX kf e0020001()( )Tjkf tpX kfx t edtT周期性周期性002T001Tf 002 f0)(0kfX)(0kX0k0kf（2）連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉）連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換

4、（變換（CTFT或或FT）頻域：連續(xù)；非周期頻域：連續(xù)；非周期時(shí)域：非周期；連續(xù)時(shí)域：非周期；連續(xù) deXtxtj21 dtetxXtj連續(xù)時(shí)間與連續(xù)頻率連續(xù)時(shí)間與連續(xù)頻率 傅里葉變換傅里葉變換)(txat0dfefXtxftjaa2)(21)(dtetxfXftjaa2)()(f2f)( fXa0)(aX（3）離散時(shí)間周期信號(hào)的離散時(shí)間）離散時(shí)間周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（傅里葉級(jí)數(shù)（DTFS或或DFS）頻域：離散；周期頻域：離散；周期時(shí)域：周期；離散時(shí)域：周期；離散 1000NknjkekXnx 1, 2 , 1 , 0,11000NkenxNkXNnnjk離散時(shí)間與離散頻率離散時(shí)間與離

5、散頻率 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)0)(nxnt時(shí)域、頻域都是周期性的。時(shí)域、頻域都是周期性的。f0)(kXk（4）離散時(shí)間非周期信號(hào)的離散時(shí)）離散時(shí)間非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（間傅里葉變換（DTFT，不是，不是DFT）頻域：連續(xù)；周期頻域：連續(xù)；周期時(shí)域：非周期；離散時(shí)域：非周期；離散 2021deXnxnj nnjenxX離散時(shí)間與連續(xù)頻率離散時(shí)間與連續(xù)頻率 序列傅里葉變換序列傅里葉變換 )(nTxan0)(nxTt1( )()2jj nx nX eednnjjenxeX)()(周期性周期性)(jeX0T2T2離散性與周期性的總結(jié)：離散性與周期性的總結(jié)：時(shí)域時(shí)域頻域頻域連續(xù)信號(hào)連續(xù)

6、信號(hào)非周期頻譜非周期頻譜離散信號(hào)離散信號(hào)周期頻譜周期頻譜時(shí)域時(shí)域頻域頻域周期信號(hào)周期信號(hào)離散頻譜離散頻譜非周期信號(hào)非周期信號(hào)連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜注意：常數(shù)注意：常數(shù)2在公式中的位置。在公式中的位置。問題：在上述問題：在上述4組公式中，那些適用于數(shù)值計(jì)算？組公式中，那些適用于數(shù)值計(jì)算？第一個(gè)域第一個(gè)域離散函數(shù)離散函數(shù)第二個(gè)域第二個(gè)域周期函數(shù)周期函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)非周期函數(shù)非周期函數(shù)且易證明：且易證明： 一個(gè)域中的周期函數(shù)的周期一個(gè)域中的周期函數(shù)的周期 離散間隔另一個(gè)域中離散函數(shù)的)2( 13.2 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換運(yùn)算時(shí)，要求：用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換運(yùn)算

7、時(shí)，要求：（1）時(shí)域和頻域的自變量均為離散的；）時(shí)域和頻域的自變量均為離散的； （2）時(shí)域和頻域的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)均為有限的。）時(shí)域和頻域的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)均為有限的。 在離散傅里葉級(jí)數(shù)（在離散傅里葉級(jí)數(shù)（DTFS）中，由于其）中，由于其時(shí)域和頻域均為周期序列，在整個(gè)域中都存在時(shí)域和頻域均為周期序列，在整個(gè)域中都存在非零的序列值。但同時(shí)可注意到，其時(shí)域與頻非零的序列值。但同時(shí)可注意到，其時(shí)域與頻域之間的映射關(guān)系在一個(gè)周期內(nèi)便可以完全地域之間的映射關(guān)系在一個(gè)周期內(nèi)便可以完全地反映出來。反映出來。)(kX1N主值序列)(nx主值序列)(kX1NDFT變換對(duì)DFS變換對(duì)0)(nxnk0離散傅里葉變換的定義：離散傅里

8、葉變換的定義：設(shè)設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為M點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，定義點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，定義x(n)的的N點(diǎn)（點(diǎn)（NM）離散傅里葉變換）離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）為）為 1, 2 , 1 , 0,102NkenxnxDFTkXNnknNj其中其中N稱為稱為DFT的變換區(qū)間長(zhǎng)度。的變換區(qū)間長(zhǎng)度?？梢宰C明（與可以證明（與IDTFS的證明方法相同），的證明方法相同），X(k)的離散傅里葉逆變換（的離散傅里葉逆變換（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT）為）為 1, 2 , 1 , 0,1102NnekXNkXIDF

9、TnxNkknNj稱稱x(n)和和X(k)組成組成N點(diǎn)離散傅里葉變換對(duì)，記作點(diǎn)離散傅里葉變換對(duì)，記作 kXnxDFT 注意：常數(shù)注意：常數(shù)N的在公式中的位置定義的在公式中的位置定義。對(duì)比對(duì)比DFT與與DTFS，常數(shù)常數(shù)N的位置的位置不同。不同。時(shí)域頻域DFTDFSx(n)有限長(zhǎng)序列(長(zhǎng)度N) = )()(nRnxN周期序列)(nx取主值區(qū)間 X(k)有限長(zhǎng)序列(長(zhǎng)度N) = )()(kRkXN周期序列 )(kX取主值區(qū)間 )(nx周期序列(周期N) = Nnx)(有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓)(kX周期序列(周期N) = NkX)(有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓DFT與與DFS的關(guān)系：常數(shù)的關(guān)系

10、：常數(shù)N的位置的位置不同。不同。)()(kXnxDFT)()(10kRWnxNNnnkN)()(nxkXIDFT)()(110nRWkXNNNknkNDFT變換對(duì)的另外一種寫法：令變換對(duì)的另外一種寫法：令2jNNWeDFT是一種數(shù)學(xué)上的映射關(guān)系，反映了時(shí)是一種數(shù)學(xué)上的映射關(guān)系，反映了時(shí)域上的域上的N點(diǎn)與頻域上的點(diǎn)與頻域上的N點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 1, 1 , 0,10NkWnxkXNnknN 10233200000NNNNWWWWX jWWWWXNNNN1233213210 0233226420NNNNWWWWX jWWWWXNNNN1233239630例：計(jì)算下列例：計(jì)算下列

11、4點(diǎn)序列的點(diǎn)序列的DFT：x(n)=2 3 3 2解：根據(jù)解：根據(jù)DFT的定義直接計(jì)算。的定義直接計(jì)算。NjNeW2424jeW3.3 離散傅里葉變換的作用離散傅里葉變換的作用DFT對(duì)有限長(zhǎng)非周期信號(hào)在時(shí)域和頻域?qū)τ邢揲L(zhǎng)非周期信號(hào)在時(shí)域和頻域同時(shí)進(jìn)行了離散化，從而實(shí)現(xiàn)了采用計(jì)算機(jī)同時(shí)進(jìn)行了離散化，從而實(shí)現(xiàn)了采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)處理的可能。對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)和連進(jìn)行信號(hào)處理的可能。對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)和連續(xù)頻譜進(jìn)行離散化所產(chǎn)生的誤差，可以控制續(xù)頻譜進(jìn)行離散化所產(chǎn)生的誤差，可以控制在一定的范圍之內(nèi)。此即為數(shù)值計(jì)算方法的在一定的范圍之內(nèi)。此即為數(shù)值計(jì)算方法的思想。思想。DFT的作用：的作用：（1）利用）利用DF

12、T可以近似計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的可以近似計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。頻譜。 nxDFTTXtxnxtxFTXnTt證明：證明：DFT的作用：的作用：（2）利用）利用IDFT可以近似計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以近似計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域波形樣點(diǎn)值。的時(shí)域波形樣點(diǎn)值。證明：證明： 000012120kXIDFTTtxTNTNXkXXIFTtxsk3.4 離散傅里葉變換的程序?qū)崿F(xiàn)離散傅里葉變換的程序?qū)崿F(xiàn)（1）DFT的程序?qū)崿F(xiàn)方法之一：的程序?qū)崿F(xiàn)方法之一：根據(jù)根據(jù)DFT的定義直接進(jìn)行編程。的定義直接進(jìn)行編程。這種方法，與在一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算這種方法，與在一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算DTFS的程的程序算法類似，但是系數(shù)序算法類似，但是系

13、數(shù)1/N的位置不同。此時(shí)可的位置不同。此時(shí)可以用矩陣運(yùn)算或循環(huán)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)以用矩陣運(yùn)算或循環(huán)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)DFT。例：計(jì)算下列例：計(jì)算下列4點(diǎn)序列的點(diǎn)序列的DFT：x(n)=0 1 2 3方法一：根據(jù)方法一：根據(jù)DFT的定義直接編程。的定義直接編程。序列序列的時(shí)域波形：的時(shí)域波形：序列的序列的DFT：實(shí)部和虛部。：實(shí)部和虛部。計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：Xk=6.0000, -2.0000+2.0000i, -2.0000-0.0000i, -2.0000-2.0000i序列的序列的DFT：幅值和相位。：幅值和相位。（2）DFT的程序?qū)崿F(xiàn)方法之二：的程序?qū)崿F(xiàn)方法之二：離散傅里葉變換的快速算法，簡(jiǎn)稱快速離散傅

14、里葉變換的快速算法，簡(jiǎn)稱快速傅里葉變換（傅里葉變換（FFT）算法。）算法。MATLAB函數(shù)：函數(shù)：fftDiscrete Fourier transformSyntax: fft(x) Description:fft(x) is the discrete Fourier transform (DFT) of the Galois vector x. If x is in the Galois field GF(2m), the length of x must be 2m-1.例：計(jì)算下列例：計(jì)算下列4點(diǎn)序列的點(diǎn)序列的DFT：x(n)=0 1 2 3方法二：方法二：DFT具有高效的具有高效的F

15、FT算法。算法。xn=0 1 2 3;%時(shí)間序列時(shí)間序列Xk=fft(xn)%采用采用FFT計(jì)算計(jì)算DFT計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：Xk=6.0000-2.0000 + 2.0000i-2.0000-2.0000 - 2.0000i3.5 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì)（1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)如果如果則則證明：略證明：略 kXnxFii niiiniiikXanxaDFT11說明：時(shí)域 )()()(213nbxnaxnx1N2NN,max21NNN NNN頻域 )()()(213kbXkaXkX（2）DFT隱含周期性隱含周期性如果如果則則證明：略證明：略 kXnxDFT NkXkX Nnx

16、nx在在DFT隱含周期性的基礎(chǔ)上，定義循環(huán)隱含周期性的基礎(chǔ)上，定義循環(huán)移位（也稱圓周移位）的概念。將移位（也稱圓周移位）的概念。將N點(diǎn)有限長(zhǎng)點(diǎn)有限長(zhǎng)序列序列x(n)循環(huán)右移循環(huán)右移m位，記作位，記作Nmnx或或Nmnxmod,圓周移位：m0，左移；mmaxN,M。序列序列x(n)只有前只有前N個(gè)是非零值，后個(gè)是非零值，后L-N個(gè)為補(bǔ)充的個(gè)為補(bǔ)充的零值。零值。序列序列h(n)只有前只有前M個(gè)是非零值，后個(gè)是非零值，后L-M個(gè)為補(bǔ)充的個(gè)為補(bǔ)充的零值。零值。為了分析為了分析x(n)與與h(n)的循環(huán)卷積，首先考察的循環(huán)卷積，首先考察x(n)和和h(n)的周期延拓：的周期延拓：rqrLnhnhqLnx

17、nx)()()()(x(n)和和h(n)的周期卷積為：的周期卷積為： rrLmLmrLmLmlrLnymrLnhmxmrLnhmxmnhmxmnhmxny)()()()()()()()()()(10101010其中其中y(n)就是線性卷積。也就是說，就是線性卷積。也就是說，x(n)和和h(n)周周期延拓后的周期卷積，就是期延拓后的周期卷積，就是x(n)和和h(n)線性卷積的線性卷積的周期延拓，周期為周期延拓，周期為L(zhǎng)。根據(jù)前面的分析，根據(jù)前面的分析，y(n)具有具有N+M-1個(gè)非零序列值。因此，個(gè)非零序列值。因此，如果周期卷積的周期如果周期卷積的周期LN+M-1，那么，那么y(n)周期延拓后，

18、周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重疊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。只有必然有一部分非零序列值要重疊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。只有當(dāng)當(dāng)LN+M-1時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生交疊，這時(shí)時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生交疊，這時(shí)y(n)的周期延拓的周期延拓 中每一個(gè)周期中每一個(gè)周期L內(nèi)，前內(nèi)，前N+M-1個(gè)序列值是個(gè)序列值是y(n)的全部非零的全部非零序列值，而剩下的序列值，而剩下的L-(N+M-1)點(diǎn)的序列則是補(bǔ)充的零值。點(diǎn)的序列則是補(bǔ)充的零值。循環(huán)卷積正是周期卷積取主值序列：循環(huán)卷積正是周期卷積取主值序列：所以使循環(huán)卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件所以使循環(huán)卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是：是：LN+M-1)()()()()()(

19、)(nRrLnynRnynhnxnyLrLll)(nyl3.7.2 頻譜分析技術(shù)頻譜分析技術(shù) 采用采用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析的一般步驟：對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析的一般步驟：（1）預(yù)處理：用預(yù)濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使得）預(yù)處理：用預(yù)濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使得連續(xù)信號(hào)的帶寬小于折疊頻率，以滿足采樣定理。連續(xù)信號(hào)的帶寬小于折疊頻率，以滿足采樣定理。（2）采樣。）采樣。（3）同時(shí)為了滿足存儲(chǔ)和計(jì)算的要求，對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)）同時(shí)為了滿足存儲(chǔ)和計(jì)算的要求，對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行截?cái)?。根?jù)頻率分辨率和采樣頻率的要求確定采的信號(hào)進(jìn)行截?cái)?。根?jù)頻率分辨率和采樣頻率的

20、要求確定采樣點(diǎn)數(shù)。樣點(diǎn)數(shù)。 （3）DFT計(jì)算。計(jì)算。說明：采用說明：采用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析是近似的分析。對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析是近似的分析。DFT計(jì)算為最后一道工序。計(jì)算為最后一道工序。 頻率分辨率頻率分辨率F的概念：的概念：21100( ) ( )( )( )NNjknknNNNnnX kDFT x nx n Wx n e 由由k值對(duì)應(yīng)的模擬頻率值可以計(jì)算出兩個(gè)頻率之間的間距，值對(duì)應(yīng)的模擬頻率值可以計(jì)算出兩個(gè)頻率之間的間距，即即頻率分辨率頻率分辨率F（兩個(gè)（兩個(gè)k之間的頻譜未知）：之間的頻譜未知）：22kskksksfFkTfkNFN 根據(jù)，可得()( ) ( )jj n

21、nX ex n eDTFT x n 其中其中Fs為采樣頻率，為采樣頻率，Tp=NT為信號(hào)截?cái)嗟臅r(shí)間長(zhǎng)度。為信號(hào)截?cái)嗟臅r(shí)間長(zhǎng)度。定義定義頻率分辨率頻率分辨率F為：為：111skkkspFFfffNNTT 直接由分析的結(jié)果直接由分析的結(jié)果X(k)看不到看不到Xa(j)的全部頻譜特性，而只能的全部頻譜特性，而只能看到看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)個(gè)離散采樣點(diǎn)fk的譜線，這就是所謂的柵欄效應(yīng)（的譜線，這就是所謂的柵欄效應(yīng)（Fence effect？）。？）。對(duì)于實(shí)數(shù)信號(hào)，其頻譜函數(shù)具有共軛對(duì)稱性，所以只需計(jì)算和對(duì)于實(shí)數(shù)信號(hào)，其頻譜函數(shù)具有共軛對(duì)稱性，所以只需計(jì)算和分析分析0, Fs/2的頻譜，這就是分析的范圍。的

22、頻譜，這就是分析的范圍。在對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，主要關(guān)心兩個(gè)問題，這就在對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，主要關(guān)心兩個(gè)問題，這就是譜分析范圍和頻率分辨率。是譜分析范圍和頻率分辨率。譜分析范圍為譜分析范圍為0, Fs/2，直接受采樣頻率，直接受采樣頻率Fs的限制。的限制。為了不產(chǎn)生頻率混疊失真，通常要求信號(hào)的最高頻率為了不產(chǎn)生頻率混疊失真，通常要求信號(hào)的最高頻率fcFs/2。頻率分辨率用頻率采樣間隔頻率分辨率用頻率采樣間隔F描述，描述，F(xiàn)表示譜分析中能夠表示譜分析中能夠分辨的兩個(gè)頻譜分量的最小間隔。顯然，分辨的兩個(gè)頻譜分量的最小間隔。顯然，F(xiàn)越小，譜分析就越越小，譜分析就越接近接近Xa(jf)。所以，。

23、所以，F(xiàn)較小時(shí)，我們稱頻率分辨率較高。較小時(shí)，我們稱頻率分辨率較高。下面討論用下面討論用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)譜分析的參數(shù)選擇原則。對(duì)連續(xù)信號(hào)譜分析的參數(shù)選擇原則。已知信號(hào)的最高頻率已知信號(hào)的最高頻率fc(即譜分析范圍即譜分析范圍)時(shí)，為了避免頻率時(shí)，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣頻率Fs滿足下式的采樣定理：滿足下式的采樣定理：cs2fF 按照上式采樣定理的要求，譜分辨率為按照上式采樣定理的要求，譜分辨率為F=Fs/N。如果。如果保持采樣點(diǎn)數(shù)保持采樣點(diǎn)數(shù)N 不變，要想提高頻譜分辨率不變，要想提高頻譜分辨率(減小減小F)，就必須，就必須降低采樣頻率降低采樣頻率Fs 。但是，降低采

24、樣頻率。但是，降低采樣頻率Fs ，會(huì)引起譜分析范，會(huì)引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如果保持采樣頻率圍變窄和頻譜混疊失真。如果保持采樣頻率Fs不變，為了提高不變，為了提高頻率分辨率頻率分辨率F，可以增加采樣點(diǎn)數(shù)，可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)樗?，只有增加?duì)信號(hào)的觀察時(shí)間所以，只有增加對(duì)信號(hào)的觀察時(shí)間Tp，才能增加采樣點(diǎn)數(shù)，才能增加采樣點(diǎn)數(shù)N。Tp和和N可以按照下面兩式進(jìn)行選擇：可以按照下面兩式進(jìn)行選擇：1spFTTNT，F(xiàn)fNc2FT1p例：對(duì)實(shí)數(shù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率例：對(duì)實(shí)數(shù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F10 Hz，信號(hào)最高頻率信號(hào)最高頻率fc=2.5 kHz。試確定最小記錄時(shí)間

25、。試確定最小記錄時(shí)間Tp min，最大的采樣間隔最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果保持。如果保持采樣頻率采樣頻率fc不變，要求譜分辨率提高不變，要求譜分辨率提高1倍，最少的采樣點(diǎn)倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少？數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少？解：解：因此，因此，Tp min=0.1 s。因?yàn)橐?。因?yàn)橐驠s2fc，所以，所以s 1 . 01011pFT50010250022s102 . 025002121cmin3cmaxFfNfT為了使用為了使用DFT的快速算法的快速算法FFT，希望，希望N符合符合2的整數(shù)的整數(shù)冪，因此選用冪，因此選用N =512點(diǎn)。

26、為了使頻率分辨率提高點(diǎn)。為了使頻率分辨率提高1倍，即倍，即F=5 Hz，則要求：，則要求：采用快速算法采用快速算法FFT計(jì)算時(shí)，選用計(jì)算時(shí)，選用N=1024點(diǎn)。點(diǎn)。為了提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須為了提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須增長(zhǎng)記錄時(shí)間增長(zhǎng)記錄時(shí)間Tp，增加采樣點(diǎn)數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜，增加采樣點(diǎn)數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜分辨率的條件是必須滿足時(shí)域采樣定理，甚至采樣速率分辨率的條件是必須滿足時(shí)域采樣定理，甚至采樣速率Fs取得更高。取得更高。minp min2 25001000510.2 s5NT 采用采用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題進(jìn)行譜分析的誤差問題

27、DFT(實(shí)際中用實(shí)際中用FFT計(jì)算計(jì)算)可用來對(duì)連續(xù)信號(hào)和數(shù)字可用來對(duì)連續(xù)信號(hào)和數(shù)字信號(hào)進(jìn)行譜分析。但分析是近似的。下面分別對(duì)可能產(chǎn)信號(hào)進(jìn)行譜分析。但分析是近似的。下面分別對(duì)可能產(chǎn)生誤差的三種現(xiàn)象進(jìn)行討論。生誤差的三種現(xiàn)象進(jìn)行討論。(1) 混疊現(xiàn)象。混疊現(xiàn)象。不滿足采樣定理會(huì)引起混疊。不滿足采樣定理會(huì)引起混疊。 采樣速率采樣速率Fs必須滿足采樣定理，否則會(huì)在必須滿足采樣定理，否則會(huì)在=(對(duì)對(duì)應(yīng)模擬頻率應(yīng)模擬頻率f=Fs/2)附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這時(shí)用附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這時(shí)用DFT分析的結(jié)果必然在分析的結(jié)果必然在f=Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須滿足

28、上必須滿足Fs2fc(fc為連續(xù)信號(hào)的最高頻率為連續(xù)信號(hào)的最高頻率)。對(duì)。對(duì)Fs確定的確定的情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率Fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。 (2) 柵欄效應(yīng)。柵欄效應(yīng)。我們知道，我們知道，N點(diǎn)點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間是在頻率區(qū)間0，2上對(duì)上對(duì)時(shí)域離散信號(hào)的頻譜進(jìn)行時(shí)域離散信號(hào)的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之間的頻譜函數(shù)是看不到的。這就好像從間的頻譜函數(shù)是看不到的。這就好像從N個(gè)柵欄縫隙中個(gè)柵欄縫隙中觀看信號(hào)的頻譜情況，僅得到觀看信號(hào)的頻譜情況，僅得到

29、N個(gè)縫隙中看到的頻譜函個(gè)縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)，有數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉可能漏掉(擋住擋住)大的頻譜分量。大的頻譜分量。為了把原來被為了把原來被“柵欄柵欄”擋住的頻譜分量檢測(cè)出來，擋住的頻譜分量檢測(cè)出來，對(duì)有限長(zhǎng)序列，可以在原序列尾部補(bǔ)零；對(duì)無限長(zhǎng)序列，對(duì)有限長(zhǎng)序列，可以在原序列尾部補(bǔ)零；對(duì)無限長(zhǎng)序列，可以增大截取長(zhǎng)度及可以增大截取長(zhǎng)度及DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，從而使頻域采變換區(qū)間長(zhǎng)度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原來樣間隔變小，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測(cè)出來。漏

30、掉的某些頻譜分量被檢測(cè)出來。對(duì)連續(xù)信號(hào)的譜分析，只要采樣速率對(duì)連續(xù)信號(hào)的譜分析，只要采樣速率Fs足夠高，足夠高，且采樣點(diǎn)數(shù)滿足頻率分辨率要求，就可以認(rèn)為且采樣點(diǎn)數(shù)滿足頻率分辨率要求，就可以認(rèn)為DFT后所后所得離散譜的包絡(luò)近似代表原信號(hào)的頻譜。得離散譜的包絡(luò)近似代表原信號(hào)的頻譜。 (3) 截?cái)嘈?yīng)。截?cái)嘈?yīng)。實(shí)際中遇到的序列實(shí)際中遇到的序列x(n)可能是無限長(zhǎng)的，用可能是無限長(zhǎng)的，用DFT對(duì)其進(jìn)對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將其截短，形成有限長(zhǎng)序列行譜分析時(shí)，必須將其截短，形成有限長(zhǎng)序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)稱為窗函數(shù)，長(zhǎng)度為稱為窗函數(shù)，長(zhǎng)度為N。w(n)=RN(n), 稱為矩形窗函數(shù)。稱

31、為矩形窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有)( jjjjjd)e ()e (21)e ()e (21)(FT)e (WXWXnyY其中其中對(duì)矩形窗函數(shù)對(duì)矩形窗函數(shù)w(n)=RN(n)，有，有矩形窗函數(shù)的頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜Wg()曲線如下圖所示。曲線如下圖所示。Wg()以以2為周期，只畫低頻部分。圖中，為周期，只畫低頻部分。圖中，|2/N的部分稱為主瓣，的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。其余部分稱為旁瓣。jj(e)FT ( ),(e)FT ( )Xx nWw n1jjj ()2gsin(/ 2)(e)FT ( )e( )esin(/ 2)NNWw nW )2

32、/sin()2/sin()(NWg矩形窗函數(shù)的幅值譜例：例：x(n)=cos(0n)，0=/4,，其頻譜為，其頻譜為lllX2424)e (jx(n)的頻譜的頻譜X(ej)如下圖如下圖(a)所示。所示。將將x(n)截?cái)嗪?，截?cái)嗪?，y(n)=x(n)RN（n)的幅頻曲線如下圖的幅頻曲線如下圖(b)所示。所示。x(n)=cos(0n)加矩形窗前后的幅頻特性加矩形窗前后的幅頻特性本例總結(jié)：本例總結(jié)：由上述可見，截?cái)嗪笮蛄械念l譜由上述可見，截?cái)嗪笮蛄械念l譜Y(ej)與原序列頻譜與原序列頻譜X(ej)必必然有差別，這種差別對(duì)譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面：然有差別，這種差別對(duì)譜分析的影響主要表現(xiàn)在如

33、下兩個(gè)方面： (a)泄露。由圖泄露。由圖(b)可知，原來序列可知，原來序列x(n)的頻譜是離散譜線，的頻譜是離散譜線，經(jīng)截?cái)嗪螅乖瓉淼碾x散譜線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄經(jīng)截?cái)嗪?，使原來的離散譜線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄露。顯然，泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低。從圖中可以看露。顯然，泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低。從圖中可以看出，頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關(guān)?？梢宰C出，頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關(guān)。可以證明，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅明，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。度也最大。(b)譜間干擾。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率譜間干擾。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾