高中數(shù)學必修3概率加法公式

1、例：例：拋擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，拋擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件設(shè)事件A為為“出現(xiàn)奇數(shù)點出現(xiàn)奇數(shù)點”，B為為“出現(xiàn)出現(xiàn)2點點”.求求P(A)及及 P(B).問：問：1. A、B兩個事件能同時發(fā)生嗎？兩個事件能同時發(fā)生嗎？ 2.設(shè)設(shè)“出現(xiàn)奇數(shù)點或出現(xiàn)奇數(shù)點或2點點”的事件的事件C，它與它與A和和B之間有怎樣的關(guān)系？之間有怎樣的關(guān)系？1()2PA1()6P B1.事件事件A與事件與事件B不可能同時發(fā)生，這種不可能同時發(fā)生，這種不不可能同時發(fā)生可能同時發(fā)生的兩個事件叫做的兩個事件叫做互斥事件互斥事件（或稱互不相容事件）（或稱互不相容事件）互斥事件互斥事件：AB注注:兩個事件互斥的定義還可以

2、推廣到兩個事件互斥的定義還可以推廣到n個事個事件中去件中去如如: “x0”是彼此互斥的是彼此互斥的.問：問：1. A、B兩個事件能同時發(fā)生嗎？兩個事件能同時發(fā)生嗎？練習：練習：對著飛機連續(xù)發(fā)射兩次，每次發(fā)射一枚對著飛機連續(xù)發(fā)射兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)炮彈，設(shè)A=兩次都擊中兩次都擊中,B兩次都沒有擊中兩次都沒有擊中，C恰有一彈擊中飛機恰有一彈擊中飛機,D=至少有一彈擊中飛機至少有一彈擊中飛機.其中彼此互斥的事件有哪幾對其中彼此互斥的事件有哪幾對?A與與BB與CA與CB與D 設(shè)事件設(shè)事件C為是一個隨機事件為是一個隨機事件. 事件事件C與事件與事件A、B的關(guān)系是：若事件的關(guān)系是：若事件A和事件和事

3、件B中至少有一個發(fā)生，則中至少有一個發(fā)生，則C發(fā)生；發(fā)生；若若C發(fā)生，則發(fā)生，則A，B中至少有一個發(fā)生，中至少有一個發(fā)生，我們稱事件我們稱事件C為為A與與B的的并并(或或和和) 如圖中陰影部分所表示的就是如圖中陰影部分所表示的就是AB. 問問: :2.2.設(shè)設(shè)“出現(xiàn)奇數(shù)點或出現(xiàn)奇數(shù)點或2 2點點”的事件的事件C C，它與它與A A和和B B之間有怎樣的關(guān)系？之間有怎樣的關(guān)系？2 2事件的并事件的并：AB在同一事件中在同一事件中，事件，事件 至少有一個發(fā)生，至少有一個發(fā)生，即表示事件即表示事件C C發(fā)生發(fā)生nAAA,2121nAAAC事件表示這樣一個事件：表示這樣一個事件：事件事件A AB B是

4、由事件是由事件A A或或B B所包含的基本事件所組成的集合所包含的基本事件所組成的集合. . 由事件由事件A A和和B B至少有一個至少有一個發(fā)生（即發(fā)生（即A A發(fā)發(fā)生，或生，或B B發(fā)生，或發(fā)生，或A A、B B都發(fā)生）所構(gòu)成的事件都發(fā)生）所構(gòu)成的事件C C，稱為事件稱為事件A A與與B B的并（或和）的并（或和）. .記作記作C=AB. 假定事件假定事件A與與B互斥，則互斥，則P(AB)=P(A)+P(B). 3. 互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式 證明：假定證明：假定A、B為互斥事件，在為互斥事件，在n次試驗次試驗中，事件中，事件A出現(xiàn)的頻數(shù)為出現(xiàn)的頻數(shù)為n1，事件，事件B

5、出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻數(shù)為頻數(shù)為n2，則事件，則事件AB出現(xiàn)的頻數(shù)正好是出現(xiàn)的頻數(shù)正好是n1+n2，所以事件，所以事件AB的頻率為的頻率為 1212nnnnnnn 如果用如果用n(A)表示在表示在n次試驗中事件次試驗中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)的頻率，則有的頻率，則有n(AB)=n(A)+n(B). 由概率的統(tǒng)計定義可知，由概率的統(tǒng)計定義可知，P(AB)=P(A)+P(B).一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An彼此互彼此互斥，那么斥，那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) +P(An)，即彼此互斥事件，即彼此互斥事件和的概率和的概率等等于于概率的和概率的和. 互斥事件的概率加法公式具有互斥事件

6、的概率加法公式具有“化化整為零、化難為易整為零、化難為易”的功效，但需要注的功效，但需要注意的是使用該公式時意的是使用該公式時必須檢驗是否滿足必須檢驗是否滿足它的前提條件它的前提條件“彼此互斥彼此互斥”.例例2 2： 在數(shù)學考試中，小明的成績在數(shù)學考試中，小明的成績在在9090分以上的概率是分以上的概率是0.180.18，在，在80808989分的概率是分的概率是0.510.51，在在70707979分的概率是分的概率是0.150.15，在，在60606969分的概率是分的概率是0.090.09，計算計算: :( (1).1).小明在數(shù)學考試中取得小明在數(shù)學考試中取得8080分以上成績的概率分

7、以上成績的概率 (2).(2).小明考試及格的概率？小明考試及格的概率？解：解： 分別記小明的成績在分別記小明的成績在90分以上，在分以上，在8089分，在分，在7079分，在分，在6069分為事件分為事件B，C，D，E，這四個事件，這四個事件是彼此互斥的是彼此互斥的. 根據(jù)概率的加法公式，小明的考試成績在根據(jù)概率的加法公式，小明的考試成績在80分以分以上的概率是上的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考試及格的概率為小明考試及格的概率為 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.AAAA

8、若令“小明考試及格”，“小明考試不及格”問：與能同時發(fā)生嗎？最多能發(fā)生幾個？最少能發(fā)生幾個？AAAAAA即必有一個發(fā)生，或且是互斥事件，與顯然對立事件：AA事 件 A的 對 立 事 件 記 作 A不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件對立事件的概率對立事件的概率 若事件若事件A的對立事件為的對立事件為A，則，則P(A)=1P(A).證明：事件證明：事件A與與A是互斥事件，所以是互斥事件，所以P(AA)=P(A)+P(A)，又，又AA=， 而由必然事件得到而由必然事件得到P()=1, 故故P(A)=1P(A).例例2 2： 在數(shù)學考試中，小明的成績在數(shù)學考試中，小明的成績在在9090分以上的概率是

9、分以上的概率是0.180.18，在，在80808989分的概率是分的概率是0.510.51，在在70707979分的概率是分的概率是0.150.15，在，在60606969分的概率是分的概率是0.090.09，計算計算 (2)(2)小明考試及格的概率？小明考試及格的概率？解：解： 分別記小明的成績在分別記小明的成績在90分以上，在分以上，在8089分，在分，在7079分，在分，在6069分為事件分為事件B，C，D，E，這四個事件，這四個事件是彼此互斥的是彼此互斥的.小明考試及格的概率為小明考試及格的概率為 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.1

10、5+0.09=0.93.若令若令A=“小明考試及格小明考試及格”,則則A=“小明考試不及格小明考試不及格”如果求小明考試不及格的概率如果求小明考試不及格的概率P(A)=1P(A)=10.93=0.07.即小明考試不及格的概率是即小明考試不及格的概率是0.07.例例3. 判斷下列給出的每對事件，（判斷下列給出的每對事件，（1）是否為）是否為互斥事件，（互斥事件，（2）是否為對立事件，并說明理由）是否為對立事件，并說明理由. 從從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花，張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從點數(shù)從110各各4張）中，任取張）中，任取1張：張：（1）“抽出紅桃抽出紅桃”與與“抽出黑桃

11、抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌抽出紅色牌”與與“抽出黑色牌抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點數(shù)為抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)的倍數(shù)”與與“抽出的抽出的牌點數(shù)大于牌點數(shù)大于9”.解：（解：（1）是互斥事件，不是對立事件；）是互斥事件，不是對立事件；（2）既是互斥事件，又是對立事件；）既是互斥事件，又是對立事件；（3）不是互斥事件，當然不可能是對立事件；）不是互斥事件，當然不可能是對立事件； 所以所以對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件定是對立事件.例例4. 某戰(zhàn)士射擊一次，問：某戰(zhàn)士射擊一次，問：(1)若事件若事件A=“中靶中靶”的概率為的概率為0.9

12、5，則，則A的概率為多少？的概率為多少？(2)若事件若事件B=“中靶環(huán)數(shù)大于中靶環(huán)數(shù)大于5”的概率為的概率為0.7 ，那么事件，那么事件C=“中靶環(huán)數(shù)小于中靶環(huán)數(shù)小于6”的概率為多少？的概率為多少？(3)事件事件D=“中靶環(huán)數(shù)大于中靶環(huán)數(shù)大于0且小于且小于6”的概率是多少？的概率是多少？ 解：因為解：因為A與與A互為對立事件，互為對立事件，(1)P(A)=1P(A)=0.05； (2)事件事件B與事件與事件C也是互為對立事件，也是互為對立事件，所以所以P(C)=1P(B)=0.3；(3)事件事件D的概率應(yīng)等于中靶環(huán)數(shù)小于的概率應(yīng)等于中靶環(huán)數(shù)小于6的概率的概率減去未中靶的概率，即減去未中靶的概率

13、，即P(D)=P(C)P(A)=0.30.05=0.25例例5. 盒內(nèi)裝有各色球盒內(nèi)裝有各色球12只，其中只，其中5紅、紅、4黑、黑、2白、白、1綠，綠，從中取從中取1球，設(shè)事件球，設(shè)事件A為為“取出取出1只紅球只紅球”，事件，事件B為為“取出取出1只黑球只黑球”，事件，事件C為為“取出取出1只白球只白球”，事件，事件D為為“取出取出1只綠球只綠球”.已知已知P(A)= ，P(B)= , P(C)= ，P(D)= ， 求：求： （1）“取出取出1球為紅或黑球為紅或黑”的概率；的概率； （2）“取出取出1球為紅或黑或白球為紅或黑或白”的概率的概率.5121316112解解:(1)“取出紅球或黑球

14、取出紅球或黑球”的概率為的概率為P(AB)=P(A)+P(B)=43(2)“取出紅或黑或白球取出紅或黑或白球”的概率為的概率為P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=1112法法2:ABC的對立事件為的對立事件為D，所以所以P(ABC)=1P(D)= 即為所求即為所求.：1112例例6. 某公務(wù)員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機某公務(wù)員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火車或乘飛機去的概率；）求他乘火車或乘飛機去的概率；（2）求他不乘輪船去的概率；）求他不乘輪船去的概率；（3）如果他乘某種交通工具去開會的概率為）如果

15、他乘某種交通工具去開會的概率為0.5，請，請問他有可能是乘何種交通工具去的？問他有可能是乘何種交通工具去的？ 解：記解：記“他乘火車去他乘火車去”為事件為事件A，“他乘輪船去他乘輪船去”為事件為事件B，“他乘汽車去他乘汽車去”為事件為事件C，“他乘飛機去他乘飛機去”為事件為事件D，這四個事件不可能同時發(fā)生，故它們彼此，這四個事件不可能同時發(fā)生，故它們彼此互斥，互斥， （1）故）故P(AC)=0.4； （2）設(shè)他不乘輪船去的概率為）設(shè)他不乘輪船去的概率為P，則，則P=1P(B)=0.8； （3）由于）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火車，故他有可能乘火車或乘輪船去，也有可

16、能乘汽車或乘飛機去或乘輪船去，也有可能乘汽車或乘飛機去.1.某射手在一次射擊中射中某射手在一次射擊中射中10環(huán)、環(huán)、9環(huán)、環(huán)、8環(huán)、環(huán)、7環(huán)、環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為環(huán)以下的概率分別為0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.計算這個射手在一計算這個射手在一次射擊中：次射擊中：（1）射中）射中10環(huán)或環(huán)或9環(huán)的概率，環(huán)的概率，（2）至少射中）至少射中7環(huán)的概率；環(huán)的概率；（3）射中環(huán)數(shù)不足）射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率環(huán)的概率. 0.520.870.29練習題：練習題：2從從1，2，9中任取兩數(shù)，其中：中任取兩數(shù)，其中：恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；至少有至少有一個

17、奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；至少有一個至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；至少有一個奇數(shù)至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)和至少有一個偶數(shù).在上述事件中，是對在上述事件中，是對立事件的是（立事件的是（ ） （A） （B） （C） （D）C3.甲、乙甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是人下棋，下成和棋的概率是 ,乙獲勝的概率是乙獲勝的概率是 ，則甲不勝的概率是，則甲不勝的概率是（ ） A. B. C. D. 121312561623B4. 從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件取兩個球，那么互斥而不對立的兩個

18、事件是（是（ ）A.“至少有一個黑球至少有一個黑球”與與“都是黑球都是黑球”B.“至少有一個黑球至少有一個黑球”與與“至少有一個紅至少有一個紅球球”C.“恰有一個黑球恰有一個黑球”與與“恰有兩個黑球恰有兩個黑球”D.“至少有一個黑球至少有一個黑球”與與“都是紅球都是紅球” C5.抽查抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件：至少有兩件次品，則次品，則A的對立事件為（的對立事件為（ ） A. 至多兩件次品至多兩件次品 B. 至多一件次品至多一件次品 C. 至多兩件正品至多兩件正品 D. 至少兩件正品至少兩件正品B6. 從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量

19、小于小于4.8 g的概率為的概率為0.3，質(zhì)量小于，質(zhì)量小于4.85 g的的概率為概率為0.32，那么質(zhì)量在，那么質(zhì)量在4.8，4.85) (g)范范圍內(nèi)的概率是圍內(nèi)的概率是 （ ） A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68C7.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為率為0.03、丙級品的概率為、丙級品的概率為0.01，則對成，則對成品抽查一件抽得正品的概率為（品抽查一件抽得正品的概率為（ ） A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96D8.某射手射擊一次擊中某射

20、手射擊一次擊中10環(huán)、環(huán)、9環(huán)、環(huán)、8環(huán)的環(huán)的概率分別是概率分別是0.3，0.3，0.2，那么他射擊一，那么他射擊一次不夠次不夠8環(huán)的概率是環(huán)的概率是 . 0.29. 某人在打靶中，連續(xù)射擊某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件次，事件“至少有一次中靶至少有一次中靶”的互斥事件的互斥事件是是 .兩次都不中靶兩次都不中靶10. 我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：則年降水量在則年降水量在200，300（mm）范圍內(nèi)）范圍內(nèi)的概率是的概率是_.0.251、投擲一枚硬幣，考察正面還是反面朝上。、投擲一枚硬幣，考察正面還是反面朝上。 A=正面朝上正面朝上 ，B=反面朝上反面朝上 A，B是對立事件是對立事件A，B是互斥（事件）是互斥（事件）2、某人對靶射擊一次，觀察命中環(huán)數(shù)、某人對靶射擊一次，觀察命中環(huán)數(shù) A =“命中偶數(shù)環(huán)命中偶數(shù)環(huán)” B =“命中奇數(shù)環(huán)命中奇數(shù)環(huán)” C =“命中命中 0 數(shù)環(huán)數(shù)環(huán)”A，B是互斥是互斥